Dies ist eine maschinelle Übersetzung; die englische Fassung ist das Original. Original lesen
Doppelt so hoch heißt viermal so viel Farbe und achtmal so viel Beton
Eine 16-Zoll-Pizza enthält 78 % mehr Pizza als eine 12-Zoll-Pizza. Fast niemand sagt 78 %, und in der Lücke zwischen dem, was die Leute sagen, und 78 % steckt sehr viel Geld.
Eine Pizza mit doppeltem Durchmesser ist vier Pizzen. Nicht zwei.
Zuverlässiger lässt sich ein ansonsten rechenfester Erwachsener kaum erwischen, und der Fehler steckt nicht im Rechnen. Auf die Frage „was ist 2 zum Quadrat“ antwortet niemand falsch. Der Fehler passiert früher, in jenem Schritt, in dem ein inneres Bild von „doppelt so groß“ entsteht und stillschweigend die Zahl 2 zugewiesen bekommt.
Die Regel
Skaliert man eine Figur mit dem Faktor k, multipliziert also jede Länge mit k und lässt jeden Winkel unangetastet, geschehen drei Dinge in drei verschiedenen Geschwindigkeiten.
- Jede Länge wird mit k multipliziert. Seiten, Umfänge, Diagonalen, Kreisumfänge.
- Jede Fläche wird mit k² multipliziert. Oberflächen, Querschnitte, Grundflächen, die Menge an Farbe.
- Jedes Volumen wird mit k³ multipliziert. Inhalte, die Masse bei fester Dichte, die Menge an Beton.
- Jeder Winkel bleibt unverändert. Genau das heißt „dieselbe Form“.
Euklid formuliert die Flächenhälfte davon für Dreiecke in den Elementen VI.19: „Ähnliche Dreiecke stehen zueinander im doppelten Verhältnis entsprechender Seiten“, wobei „doppeltes Verhältnis“ seine Wendung für das Quadrat des Verhältnisses ist. In VI.20 dehnt er die Aussage auf ähnliche Vielecke allgemein aus.
Das k² lässt sich abzählen, statt es nur zu behaupten. Skaliert man ein Dreieck mit einer ganzen Zahl, zerfällt das große in genau k² Kopien des kleinen: vier beim Doppelten, neun beim Dreifachen, sechzehn beim Vierfachen. Das Werkzeug Similar Triangles Lab zeichnet diese Unterteilung, sodass der Faktor etwas ist, das man zählt, und nicht etwas, das man gesagt bekommt.
Wo es Geld kostet
Farbe und Material. Ein Modell im Maßstab 1:2 braucht ein Viertel der Beschichtung, nicht die Hälfte. Wer den Neuanstrich eines Gebäudes anbietet, das doppelt so hoch ist wie das vorige, braucht bei gleicher Form die vierfache Menge Farbe.
Pizza und Kaffee. Eine 16-Zoll-Pizza hat die 1,78-fache Fläche einer 12-Zoll-Pizza und ist damit 78 % mehr wert, nicht 33 %. Eine Preisgestaltung, die Linearität unterstellt, liegt systematisch falsch, zugunsten des Verkäufers, in fast jedem Imbiss der Welt.
Bilder. Verdoppeln Sie die Breite eines Fotos, und Sie brauchen viermal so viele Pixel, viermal so viel Speicher und ungefähr viermal so viel Rechenzeit. Deshalb ist ein harmlos klingendes Ticket „wir unterstützen jetzt Retina-Displays“ kein kleines Ticket.
Heizen und Kühlen. Wärme geht über die Oberfläche verloren (k²) und wird im Volumen gespeichert (k³), das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen fällt also mit 1/k. Ein großes Gebäude verliert anteilig weniger Wärme als ein kleines gleicher Form, ein kleines Tier verliert anteilig mehr, und ein zerstoßener Eiswürfel schmilzt schneller als ein ganzer derselben Gesamtmasse, weil das Zerstoßen die Oberfläche vervielfacht, ohne das Volumen anzurühren.
Wo es Dinge daran hindert zu existieren
Die Kluft zwischen k² und k³ ist nicht bloß eine Frage der Buchhaltung. Sie setzt harte Grenzen dafür, was gebaut werden kann und was leben kann.
Die Tragfähigkeit eines Beins, eines Knochens oder einer Säule richtet sich nach der Querschnittsfläche, nach k². Das Gewicht, das getragen werden muss, richtet sich nach dem Volumen, nach k³. Vergrößert man ein Tier bei unveränderten Proportionen um den Faktor zehn, wird es tausendmal schwerer, während seine Knochen nur hundertmal so viel aushalten. Die Spannung im Knochen steigt auf das Zehnfache.
Deshalb ist ein Elefant keine vergrößerte Gazelle. Seine Beine sind anteilig weit dicker, stehen gerader unter ihm, und springen kann er nicht. Deshalb sind die Rieseninsekten der Filme unmöglich: Eine Ameise in Pferdegröße bräche unter ihrem eigenen Gewicht zusammen, lange bevor ihre Tracheenatmung versagte. Galilei hat das 1638 in den Discorsi ausgerechnet und den absurd verdickten Knochen gezeichnet, den ein großes Tier bräuchte.
Deshalb sind sehr große Schiffe konstruktiv andere Gegenstände als kleine und nicht deren vergrößerte Ausgabe, und deshalb besteht das Hochskalieren eines Brückenentwurfs nie darin, die Zeichnungen zu multiplizieren.
Warum der Fehler so hartnäckig ist
Weil „doppelt so groß“ eine Aussage über Wahrnehmung ist, und die Wahrnehmung ist in keiner der drei Einheiten geeicht.
Zeigt man zwei Kreise, von denen einer die vierfache Fläche des anderen hat, sagen die meisten Menschen nicht „viermal“. Sie sagen etwas, das näher bei zweieinhalb liegt. Die empfundene Größe folgt der physikalischen nicht linear, sondern einem Potenzgesetz, und für Flächen liegt der in der psychophysischen Literatur gemessene Exponent deutlich unter eins, je nach Aufgabe etwa bei 0,7 bis 0,9. Die Folge ist, dass der Fehler eine feste Richtung hat. Menschen unterschätzen systematisch, um wie viel größer das größere Ding ist. Deshalb führen Blasendiagramme in die Irre, und deshalb tun sie es weit schlimmer, wenn die Software die Blasen nach dem Durchmesser statt nach der Fläche bemisst, was ein zweites Quadrieren auf eine Wahrnehmungsverzerrung setzt, die ohnehin schon in dieselbe Richtung zeigt.
Rechnen behebt keine Wahrnehmungsverzerrung. Ein Bild vielleicht schon. Die vier Kopien in das verdoppelte Dreieck zu zeichnen, statt ×4 danebenzuschreiben, lohnt sich deshalb, weil der Leser nicht am Multiplizieren scheitert, sondern am Sehen.
Eine Faustregel
Sagt jemand, etwas sei „doppelt so groß“, fragen Sie, welche der drei Größen gemeint ist. Doppelte Länge, vierfache Fläche und achtfaches Volumen heißen in der Alltagssprache alle „doppelt so groß“, und zwischen den Extremen liegt ein Faktor vier.