Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

Labor: Ähnliche Dreiecke

Setze die drei Seiten, dann zieh den Streckfaktor. Die Winkel bleiben stehen, die Seiten folgen k, die Fläche folgt k × k.

Interaktive Simulation wird geladen...

Doppelt so hoch ist viermal so viel Farbe 🖖

Das ist wohl der folgenschwerste Rechenfehler, den die meisten Menschen machen. Dabei liegt es gar nicht an der Rechnung. Wird eine Form in ihren Längen verdoppelt, entspricht ihre Fläche vier Exemplaren der ursprünglichen Form. Eine Pizza mit doppeltem Durchmesser ist so groß wie vier Pizzen. Ein Foto mit doppelter Breite braucht viermal so viele Pixel. Für ein Modell im Maßstab 1:2 genügt ein Viertel des Materials, nicht die Hälfte. Stell k auf eine ganze Zahl. Dann zeigt das Werkzeug den großen Körper in genau die Teilfiguren zerlegt, aus denen er besteht, sodass du sie selbst zählen kannst.

Warum es genau k² sind 🖖

Teile jede Seite des skalierten Dreiecks in k gleiche Stücke und verbinde die Teilpunkte durch Parallelen zu den drei Seiten. Das Ergebnis pflastert lückenlos, und alle Kacheln sind zum Ausgangsdreieck kongruent — k² Stück, davon k in der untersten Reihe. In diesem Argument kommt nirgends vor, welche Form das Dreieck hatte; deshalb liefert der schmale Splitter dieselben 16 wie das 3-4-5-Dreieck. Euklid formuliert das allgemein in den Elementen VI.19: „Ähnliche Dreiecke verhalten sich zueinander wie das Doppelverhältnis der entsprechenden Seiten“ — und „Doppelverhältnis“ ist bei ihm das Quadrat des Verhältnisses.

Das ist die Messung, die Thales zugeschrieben wird 🖖

Ein Stock und sein Schatten bilden ein Dreieck, ein Baum und sein Schatten ein zweites. Die Sonne steht weit genug entfernt, dass ihre Strahlen parallel ankommen, also haben beide Dreiecke gleiche Winkel und damit verhältnisgleiche Seiten — und eine Höhe, an die niemand herankommt, wird zu drei Längen, die jeder abschreiten kann. Genau so misst du eine Pyramide an ihrem Schatten, und es ist dasselbe Quadrat, das du im Kreuzmultiplikations-Gitter ausfüllst: 3 verhält sich zu 4 wie der Baum zu 20. Ähnliche Dreiecke sind es, die dieses Gitter zu mehr machen als einem Trick.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Wie viele Kopien des ursprünglichen 3-4-5-Dreiecks in die Vergrößerung passen 5 Schritte

    Verdoppelt man jede Seite eines 3-4-5-Dreiecks, verdoppelt sich der Flächeninhalt nicht. Bestimmen Sie, wie sich jede Größe verändert und wie viele Kopien des Originals in die Vergrößerung passen.

    1. Die Skalierung aller drei Seiten um denselben Faktor erhält die Ähnlichkeit des Dreiecks, und 6-8-10 erfüllt weiterhin den Satz des Pythagoras — wie es sein muss, da die Beziehung in den Seiten homogen ist.

    2. Der Umfang ist eine Summe von Längen, skaliert also um denselben Faktor. Aus zwölf wird vierundzwanzig.

    3. Der Flächeninhalt ist das Produkt zweier Längen, skaliert also um den Quadratfaktor. Aus sechs wird vierundzwanzig — hier dieselbe Zahl wie beim Umfang, was ein Zufall dieser speziellen Seiten ist und ein guter Grund, nicht von einem einzelnen Beispiel aus zu verallgemeinern.

    4. Die Winkel verändern sich überhaupt nicht. Sie hängen nur von Seitenverhältnissen ab, und die Skalierung lässt jedes Verhältnis unverändert — was genau das ist, was ähnlich bedeutet.

    5. Somit passen vier Kopien des Originals in die Vergrößerung, und man kann es sehen: Das verdoppelte Dreieck lässt sich in vier zum Original kongruente Dreiecke zerlegen.

    Antwort

    Das Werkzeug zeigt die Seitenlängen 6, 8, 10, den Umfang 12 → 24, die Fläche 6 → 24, unveränderte Winkel und 4 passende Kopien. Die Regel lässt sich knapp fassen: Längen skalieren mit k, Flächen mit k², Volumina mit k³ und Winkel mit k⁰. Der Exponent entspricht der Dimension der gemessenen Größe. Deshalb vervierfacht eine Backform mit doppelten Abmessungen die Grundfläche, sodass der Kuchen misslingt. Ein doppelt so großes Tier müsste das achtfache Gewicht auf nur die vierfache Knochenquerschnittsfläche verteilen. Die Belastung seiner Beine verdoppelt sich; es kann also nicht einfach eine vergrößerte Kopie seiner selbst sein. Stell den Faktor auf 3, dann wächst die Fläche auf das Neunfache.

Lernpfad

Die Dreiecksregeln und woher sie kommen

Führt zu Pythagoras den Maßstabsfaktor — dass eine Vergrößerung jede Länge mit k multipliziert und keinen einzigen Winkel verändert.

Quellen (3)

· Aktualisiert

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Mathematik →

Beispielaufgaben

  • Verdoppeln - Aus den Seiten 3, 4, 5 werden 6, 8, 10. Der Umfang verdoppelt sich, von 12 auf 24 — die Fläche aber geht von 6 auf 24, also auf das Vierfache, und das große Dreieck ist mit genau 4 Kopien des kleinen gezeichnet.
  • Stock und Baum - Ein 3 m hoher Stock mit 4 m Schatten und ein Baum, dessen Schatten 20 m misst. Dieselbe Sonne, dasselbe Dreieck, also ist der Baum 15 m hoch. Seine Fläche ist allerdings das 25-Fache, nicht das 5-Fache.
  • Gleichseitig - Alle drei Winkel bleiben bei 60°, was k auch tut. Aus den Seiten 6 werden 9, aus dem Umfang 18 werden 27, und die Fläche wird mit 2,25 multipliziert.
  • Auf die Hälfte - Verkleinern ist dieselbe Regel rückwärts. Halbierst du jede Seite, halbiert sich der Umfang von 48 auf 24, und die Fläche viertelt sich von 96 auf 24.
  • Ein schmaler Splitter - Form heißt Winkel, nicht Aussehen. Dieser Splitter skaliert genau wie ein bequemes Dreieck: ×4 bei den Seiten, ×16 bei der Fläche, und 16 Kopien passen hinein.