Kreiswinkelsätze

A und B liegen auf dem Kreis bei 330° und 110°, P liegt bei 220°. Die Anzeige gibt für den Winkel bei P 70° und für den Mittelpunktswinkel 140° an. Beweise den Faktor zwei, statt ihn nur abzulesen, und finde anschließend heraus, welche stillschweigende Annahme der Beweis über die Lage von P macht.

1. Messen Sie zuerst den Bogen. Gegen den Uhrzeigersinn von A bei 330° rund zu B bei 110° überstreicht man 140°, und das ist genau der Bogen, auf dem P nicht liegt. Der darauf stehende Mittelpunktswinkel beträgt per Definition 140°, weil ein Mittelpunktswinkel schlicht seinem Bogen entspricht.

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=110^{\circ }-330^{\circ }(\text{mod }360)=140^{\circ }$$

2. Nun die Konstruktion, und sie ist schon der ganze Beweis: Ziehen Sie die Linie von P durch den Mittelpunkt O und lassen Sie sie den Kreis bei D verlassen. Mehr wird nicht hinzugefügt.

3. OA und OP sind beide Radien, daher ist das Dreieck OAP gleichschenklig und die Winkel bei A und bei P sind gleich. Nennen wir diesen Winkel α, sodass ∠OPA = ∠OAP = α.

   $$OA=OP=r\Rightarrow \angle OPA=\angle OAP=\alpha$$

4. Der Winkel ∠AOD ist ein Außenwinkel des Dreiecks OAP bei O, und ein Außenwinkel ist gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel: ∠AOD = α + α = 2α.

   $$\angle AOD=\alpha +\alpha =2\alpha$$

5. Dieselbe Überlegung auf der anderen Seite ergibt ∠DOB = 2β mit β = ∠OPB. Addiere beide Winkel. Das ist möglich, solange die Verlängerung von OP den Kreis auf dem Bogen AB schneidet: ∠AOB = 2α + 2β = 2(α + β), und α + β ist genau ∠APB.

   $$\angle AOB=2\alpha +2\beta =2(\alpha +\beta )=2\angle APB$$

6. Der Mittelpunktswinkel ist also doppelt so groß wie der zugehörige Umfangswinkel; hier gilt 2 × 70° = 140°. Sieh dir noch einmal an, worauf der Beweis beruht: zwei Radien, auf jeder Seite ein gleichschenkliges Dreieck und ein Außenwinkel. Weder Längen noch Koordinaten oder die Größe des Kreisbogens werden benötigt.

   $$2\times 70^{\circ }=140^{\circ }$$

Von beiden markierten Punkten erscheint die Sehne AB unter einem Winkel von 60°. Finde heraus, wie groß der Winkel für einen Punkt abseits der Kreislinie wäre. Bestimme dann, wo sich ein Schütze aufstellen sollte, um die Malstangen unter dem größtmöglichen Winkel zu sehen.

1. A und B liegen bei 320° und 80°. Der Bogen dazwischen, auf dem P nicht liegt, misst also 120°. Die Hälfte davon sind 60°. Für Q ergibt sich derselbe Wert, da dieser Punkt über demselben Bogen liegt wie P.

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=80^{\circ }-320^{\circ }(\mathrm{mod}360)=120^{\circ }⟹\angle APB=\angle AQB=60^{\circ }$$

2. Nun zur Sehne selbst. Der Mittelpunktswinkel über diesem Bogen ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Da die Länge einer Sehne 2R mal den Sinus des halben Mittelpunktswinkels beträgt, gilt in diesem Kreis mit Radius 1 also AB = 2 sin 60° = √3.

   $$AB=2R\sin (\angle APB)=2\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}=1.7321(R=1)$$

3. Lies diese Formel einmal rückwärts. Halte die Sehne fest und variiere den Kreis. Der Sinus des Umfangswinkels ist AB ÷ 2R, ein kleinerer Kreis durch A und B liefert also einen größeren Winkel. Der kleinstmögliche Kreis hat AB als Durchmesser und führt zu exakt 90°. Alles hängt davon ab, auf welchem Kreis du dich befindest.

   $$\sin (\angle APB)=\frac{AB}{2R}⟹R\text{smaller}\Rightarrow \angle APB\text{larger},R=\frac{AB}{2}\Rightarrow \angle APB=90^{\circ }$$

4. Abseits des Kreises beträgt der Winkel nicht mehr 60°. Im Inneren schneiden die beiden Linien noch einen zweiten Bogen aus, der Winkel ist dann die halbe Summe der beiden. Etwas nach innen versetzt misst er etwa 71,6°. Von außen ist es die halbe Differenz, rund 51,4°. Der Kreis ist die genaue Grenze zwischen einem größeren und einem kleineren Winkel.

   $$\text{inside: }\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=71.6^{\circ }>60^{\circ }>51.4^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}-\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)\text{: outside}$$

5. Damit lässt sich der Tritt berechnen. Rugby-Malstangen haben einen Abstand von 5,6 m. Ein Versuch wird 10 m neben der näheren Stange erzielt. Vom Fußpunkt der Anlauflinie sind die Stangen also 10 m und 15,6 m entfernt. Jeder Punkt, von dem aus man sie unter demselben Winkel sieht, liegt auf einem Kreis durch beide Stangen.

   $$a=10\mathrm{m},b=15.6\mathrm{m},\tan \angle =\frac{(b-a)x}{x^2+ab}$$

6. Jeder Punkt der Anlauflinie liegt auf genau einem solchen Kreis. Der Winkel wird auf dem kleinsten Kreis am größten, der die Linie überhaupt erreicht und sie folglich berührt. Die Strecke zum Berührpunkt ist ein Tangentenabschnitt vom Fußpunkt aus. Eine Tangentenlänge ist das geometrische Mittel der beiden Sekantenabschnitte: x² = 10 × 15,6 = 156.

   $$x^2=FA\cdot FB=ab=156⟹x^{\ast }=\sqrt{156}=12.49\mathrm{m}$$

7. Also ist x = √156 = 12,49 m, wo der Winkel 12,64° misst. An der 10-Meter-Marke liegt er bei 12,34°, bei 20 m ist er auf 11,39° gefallen und bei 30 m auf 9,04°.

   $$\tan {\angle }_{\max }=\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}=\frac{5.6}{24.98}=0.2242\Rightarrow 12.64^{\circ };\angle (10)=12.34^{\circ },\angle (20)=11.39^{\circ },\angle (30)=9.04^{\circ }$$