Dreiecksrechner: SSS, SWS, WSW, WWS & SSW

Löse Dreiecke aus bekannten Seiten und Winkeln. Sieh jeden Rechenschritt, vergleiche SSW-Lösungen und lerne, wann Sinus- oder Kosinussatz gilt.

Rechenbeispiel — Dreiecksrechner

Fall	SSS

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Wenn ein Datensatz die Realität spaltet 🖖

Drei Messwerte bedeuten nicht immer drei eindeutige Tatsachen. Im SSW-Fall beschreiben dieselben Zahlen zwei verschiedene Dreiecke, denn der Sinus unterscheidet einen Winkel nicht von seinem Supplementwinkel: sin(θ) = sin(180° − θ). Ein Satz von Ausgangswerten führt zu zwei Dreiecken, und rechnerisch ist keines von beiden vorzuziehen.

Warum immer eine Länge nötig ist 🖖

Drei bekannte Werte legen ein Dreieck meist fest, aber mindestens einer muss eine Seite sein. Drei Winkel allein (AAA) bestimmen nur die Form, nicht die Größe: ein winziges und ein riesiges Dreieck können identische Winkel haben. Das Werkzeug nutzt zwei Regeln: den Kosinussatz bei drei bekannten Seiten (SSS) oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SAS), sonst den Sinussatz.

Ein verborgener Kreis bestimmt das Verhältnis 🖖

Im Sinussatz hat a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) einen Wert, der auch für sich genommen aufschlussreich ist. Er entspricht 2R, also dem Durchmesser des eindeutig bestimmten Kreises durch alle drei Eckpunkte, des Umkreises. Zu jedem Dreieck gehört damit ein Kreis, dessen Größe der Sinussatz erfasst. Verdoppelst du den Umkreisradius, verdoppelt sich auch jedes Verhältnis von Seitenlänge zu Sinuswert.

Dreieckstheorie — Fall für Fall

Welchen Dreiecksfall hast du?

Beginne mit den als bekannt markierten Größen. Ihr Muster—nicht das Aussehen des Dreiecks—bestimmt die Methode. Für ein lösbares Dreieck muss mindestens eine Seite bekannt sein.

SSS - drei Seiten c² = a² + b² − 2ab cos C

SWS - zwei Seiten und eingeschlossener Winkel c² = a² + b² − 2ab cos C

WSW/WWS - zwei Winkel und eine Seite C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

SSW - mehrdeutiger Fall sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

WWW — drei Winkel reichen nicht A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

SSS - drei Seiten

Was bekannt ist: Alle drei Seitenlängen: a, b und c.

Methode: c² = a² + b² − 2ab cos C

Rechenbeispiel: a = 3, b = 4, c = 5 ergibt ein rechtwinkliges Dreieck.

Diesen Fall öffnen: SSS

SSS - drei Seiten. SSS: Drei feste Seiten bestimmen genau ein Dreieck, wenn die Dreiecksungleichung gilt. Alle drei Seitenlängen: a, b und c. — SSS: Drei feste Seiten bestimmen genau ein Dreieck, wenn die Dreiecksungleichung gilt.

SWS - zwei Seiten und eingeschlossener Winkel

Was bekannt ist: Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel.

Methode: c² = a² + b² − 2ab cos C

Rechenbeispiel: a = 7, b = 5, C = 60° legt die Gegenseite c fest.

Diesen Fall öffnen: SWS

SWS - zwei Seiten und eingeschlossener Winkel. SWS: Die markierten Seiten und ihr eingeschlossener Winkel bestimmen ein eindeutiges Dreieck. Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel. — SWS: Die markierten Seiten und ihr eingeschlossener Winkel bestimmen ein eindeutiges Dreieck.

WSW/WWS - zwei Winkel und eine Seite

Was bekannt ist: Zwei Winkel und eine beliebige Seite (WSW oder WWS).

Methode: C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

Rechenbeispiel: A = 40°, B = 75°, c = 8 liefert zuerst C = 65°.

Diesen Fall öffnen: WSW

WSW/WWS - zwei Winkel und eine Seite. WSW/WWS: Zwei Winkel bestimmen die Form; eine Seite bestimmt den Maßstab. Zwei Winkel und eine beliebige Seite (WSW oder WWS). — WSW/WWS: Zwei Winkel bestimmen die Form; eine Seite bestimmt den Maßstab.

SSW - mehrdeutiger Fall

Was bekannt ist: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegenüber einer davon.

Methode: sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

Rechenbeispiel: a = 7, b = 9, A = 40° erzeugt zwei gültige Dreiecke.

Diesen Fall öffnen: SSW mehrdeutig

SSW - mehrdeutiger Fall. SSW: Dieselben Vorgaben können sich an zwei Stellen treffen und zwei Dreiecke erzeugen. Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegenüber einer davon. — SSW: Dieselben Vorgaben können sich an zwei Stellen treffen und zwei Dreiecke erzeugen.

WWW — drei Winkel reichen nicht

Was bekannt ist: Alle drei Winkel, aber keine Seitenlänge.

Methode: A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

Rechenbeispiel: 30°, 60°, 90° beschreibt unendlich viele verschieden große Dreiecke.

WWW braucht eine Seite — WSW/WWS öffnen

WWW — drei Winkel reichen nicht. WWW: Gleiche Winkel beschreiben ein kleines und ein großes ähnliches Dreieck. Alle drei Winkel, aber keine Seitenlänge. — WWW: Gleiche Winkel beschreiben ein kleines und ein großes ähnliches Dreieck.

Aufgaben vollständig gelöst

Berechnung des 3-4-5-Dreiecks allein aus den drei Seiten 5 Schritte
Das 3-4-5-Dreieck hat einen rechten Winkel, und man muss niemandem sagen, in welcher Ecke er liegt. Berechnen Sie es allein aus den drei Seiten und finden Sie dann die zwei darin verborgenen Kreise. Dies ist der Fall SSS.
1. Sind drei Seiten und keine Winkel gegeben, ist der einzige Ansatz der Kosinussatz, umgeformt nach dem Kosinus des Winkels, der der links freigestellten Seite gegenüberliegt.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = 0.8 ⟹ A = 36.869 9^{\circ}$
2. Wiederholen Sie dies für den zweiten Winkel. Hier ist noch nichts eine Näherung — 0,8 und 0,6 sind exakt, und Dezimalstellen treten erst auf, wenn der Arkuskosinus gebildet wird.
  
  $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = 0.6 ⟹ B = 53.130 1^{\circ}$
3. Der dritte Winkel ergibt sich ohne Aufwand aus der Winkelsumme. Wendet man den Kosinussatz dennoch darauf an, lautet der Zähler 9 + 16 − 25 = 0, sodass der Kosinus exakt null ist: Dieses Dreieck ist rechtwinklig, weil 3² + 4² zufällig gleich 5² ist, und aus keinem anderen Grund.
  
  $C = 18 0^{\circ} - A - B = 9 0^{\circ}, cos C = \frac{9 + 16 - 25}{24} = 0$
4. Die heronsche Formel benötigt nur den Umfang und die drei Seiten. Sie liefert 6, was auch ½ × 3 × 4 entspricht — die beiden Formeln müssen übereinstimmen, und hier kann man dabei zusehen.
  
  $s = \frac{12}{2} = 6, K = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 = \frac{1}{2} ab$
5. Zwei Radien, die das Bedienfeld nicht erwähnt. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse ein Durchmesser des Umkreises, also R = 2,5. Der Inkreis hat r = (a + b − c)/2 = 1, und der Flächeninhalt entspricht r × s, was erneut 6 ergibt.
  
  $R = \frac{c}{2} = 2.5, r = \frac{a + b - c}{2} = 1, K = r s = 1 \times 6 = 6$
Antwort

Das Werkzeug gibt A = 36,8699°, B = 53,1301°, C = 90° und einen Umfang von 12 aus. Schritt 3 ist der entscheidende: Der Satz des Pythagoras ist kein separates Theorem neben dem Kosinussatz, sondern der Kosinussatz ausgewertet bei 90°, wo der Term −2ab·cos C verschwindet. Alles, wofür der rechte Winkel bekannt ist, rührt davon her, dass dieser eine Term zu null wird; deshalb gilt der Kosinussatz für jedes Dreieck und Pythagoras für genau eine Art.

$cos C = 0 ⟺ a^{2} + b^{2} = c^{2} : Pythagoras is the cosine law at 9 0^{\circ}$
Zwei Seiten von 7 und 5 mit einem 60°-Winkel dazwischen 5 Schritte
Zwei Seiten von 7 und 5 mit einem 60°-Winkel dazwischen. Bestimmen Sie die dritte Seite und beide verbleibenden Winkel — und berechnen Sie den zweiten Winkel absichtlich über den Kosinussatz anstatt über den Sinussatz. Dies ist der Fall SWS.
1. Der bekannte Winkel liegt zwischen den beiden bekannten Seiten; das ist genau die Konstellation, für die der Kosinussatz gebaut ist: Er liefert die diesem Winkel gegenüberliegende Seite.
  
  $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 49 + 25 - 2 (35) (\frac{1}{2}) = 39 ⟹ c = 6.245$
2. Bei 60° ist der Kosinus exakt ½, sodass der gesamte Term −2ab·cos C zu −ab kollabiert und der Ausdruck zu a² + b² − ab wird. Das ist eine nützliche Form, die man wiedererkennen sollte; 60° ist der einzige Winkel, bei dem sie auftritt.
  
  $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} ⟹ c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$
3. Nun zum Winkel A. Der Sinussatz würde funktionieren und lässt sich leichter eintippen, aber der Arkussinus liefert einen Winkel im ersten Quadranten, und sein Nebenwinkel ist ebenso gültig — er würde also zwei Kandidaten liefern ohne Möglichkeit zur Auswahl. Der Kosinussatz liefert einen Kosinus mit Vorzeichen, und der Kosinus ist über den gesamten Bereich, den ein Dreieckswinkel annehmen kann, eineindeutig.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 39 - 49}{62.45} = 0.2402 ⟹ A = 76.102 1^{\circ}$
4. Der letzte Winkel ergibt sich aus der Winkelsumme, die nicht mehrdeutig sein kann.
  
  $B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 76.102 1^{\circ} = 43.897 9^{\circ}$
5. Für den Flächeninhalt benötigt man weder einen der eben gefundenen Winkel noch die dritte Seite: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel reichen bereits aus.
  
  $K = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} (7) (5) sin 6 0^{\circ} = 15.155$
Antwort

Das Werkzeug gibt c = 6,245, A = 76,1021° und B = 43,8979° aus. Schritt 3 zeigt, warum SWS ein sicherer Fall ist und SSW nicht. Der Kosinussatz kann niemals mehrdeutig sein, da cos θ jeden Wert zwischen 0° und 180° genau einmal annimmt; der Sinussatz kann es immer sein, da sin θ jeden Wert zweimal annimmt. Sind zwei Seiten und ein eingeschlossener Winkel gegeben, ist das Dreieck bereits bestimmt, und die Arithmetik liest dies lediglich ab. Das nächste Problem zeigt, was passiert, wenn dem nicht so ist.

$SAS is never ambiguous: cos θ is one-to-one on (0^{\circ}, 18 0^{\circ})$
Der SSA-Fall mit a = 7, b = 9, A = 40° 5 Schritte
a = 7, b = 9, A = 40° — und das Bedienfeld meldet zwei Lösungen, zeigt aber nur ein Dreieck an. Finden Sie das andere. Dies ist der Fall SSW.
1. Fällen Sie das Lot vom gegenüberliegenden Eckpunkt auf die Gerade, auf der der bekannte Winkel liegt. Seine Länge beträgt h = b·sin A = 5,7851, und die Seite a muss diese Gerade erreichen: Ist sie zu kurz, gibt es kein Dreieck; ist sie genau gleich h, gibt es eines; ist sie länger als h, gibt es zwei — bis a größer als b wird, woraufhin die zweite Lösung entfällt. Hier gilt h < a < b, also zwei.
  
  $h = b sin A = 9 sin 4 0^{\circ} = 5.7851, h < a < b$
2. Der Sinussatz liefert den Sinus von B, und der Arkussinus gibt den spitzen Zweig zurück.
  
  $sin B = \frac{b sin A}{a} = \frac{9 sin 4 0 ^{\circ}}{7} = 0.826441 ⟹ B_{1} = 55.734 9^{\circ}$
3. Der stumpfe Zweig hat denselben Sinus. Er bleibt nur bestehen, wenn er noch Raum für einen dritten Winkel lässt, und 40° + 124,2651° liegt unter 180°, sodass dies der Fall ist.
  
  $B_{2} = 18 0^{\circ} - 55.734 9^{\circ} = 124.265 1^{\circ}, A + B_{2} = 164.2 7^{\circ} < 18 0^{\circ}$
4. Vervollständigen Sie das erste Dreieck: dritter Winkel, dann die dritte Seite über den Sinussatz, danach der Flächeninhalt.
  
  $C_{1} = 84.265 1^{\circ}, c_{1} = \frac{a sin C _{1}}{sin A} = 10.8356, K_{1} = 31.3423$
5. Vervollständigen Sie das zweite auf dieselbe Weise. Gleiches a, gleiches b, gleiches A — und ein Dreieck von weniger als ein Drittel der Größe.
  
  $C_{2} = 15.734 9^{\circ}, c_{2} = \frac{a sin C _{2}}{sin A} = 2.9532, K_{2} = 8.5424$
Antwort

Das Bedienfeld meldet SSW (2 Lösungen) und gibt h = 5,7851, B = 55,7349°, c = 10,8356 sowie einen Flächeninhalt von 31,3423 aus — den ersten Zweig. Der zweite, mit c = 2,9532 und einem Flächeninhalt von 8,5424, bleibt Ihnen überlassen, und das ist der ehrliche Befund: Die Daten bestimmen das Dreieck nicht eindeutig, somit kann Ihnen kein Taschenrechner die Antwort liefern. Alles, was auf diese Weise gemessen wird — eine Peilung und zwei Entfernungen, eine Radarentfernung mit einem Winkel abseits der Hauptachse —, birgt dieselbe Zwiespältigkeit, und der Ausweg liegt nie in noch mehr Arithmetik. Er besteht in einer weiteren Messung oder in einem physikalischen Grund, warum eine der beiden Möglichkeiten ausgeschlossen ist.

$sin θ = sin (18 0^{\circ} - θ) : two triangles, and the panel prints one$

Lernpfad

Die Dreiecksregeln und woher sie kommen

Führt zu Kreiswinkelsätze

Quellen (1)

The circle hiding behind the law of sines, and why one dataset can describe two triangles: G. Van Brummelen, "Sines, cosines, and their relatives", chapter 2 of Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

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Beispielaufgaben

SSS - Drei Seiten, aber kein Winkel: Hier führt nur der Kosinussatz weiter. Beim 3-4-5-Dreieck ergibt sich ein rechter Winkel. Das zeigt schon die Rechnung: 9 + 16 − 25 ist null, also ist der Kosinus dieses Winkels genau null.
SWS - Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel. Zuerst Kosinussatz anwenden: Für den Sinussatz brauchst du zunächst eine Seite und den ihr gegenüberliegenden Winkel, doch dieses Paar ist noch nicht gegeben.
WSW - Mit zwei Winkeln erhältst du den dritten sofort: Bei 40° und 75° bleiben 65°. Danach genügt ein einziges Verhältnis aus dem Sinussatz; die gegebene Seite bestimmt den Maßstab des gesamten Dreiecks.
SSW mehrdeutig - Hier ergeben drei Messwerte keine eindeutige Lösung. Aus denselben Ausgangswerten erhältst du für die fehlende Seite entweder 10,836 oder 2,953. Der Sinus unterscheidet 55,7° nicht von 124,3°, und mit beiden Winkeln lässt sich ein Dreieck schließen.