Fläche und Umfang

Double every length: what doubles, and what quadruples?

Rechenbeispiel — Fläche und Umfang

Perimeter	26,00 u
Area	40,00 u²
Scaled perimeter	52,00 u
Scaled area	160,00 u²
Kompaktheit Q	0,744
Original	26,00 u · 40,00 u²

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Umfang ist linear und Fläche quadratisch 🖖

Wird jede Länge mit k multipliziert, wächst der Umfang mit k. Eine Fläche braucht zwei Richtungen und wächst deshalb mit k².

Eine größere Pizza zeigt das Quadrat 🖖

Eine 12-Zoll-Pizza entspricht nicht zwei 6-Zoll-Pizzen. Ihr Radius ist verdoppelt, daher vervierfacht sich der Flächeninhalt, während sich der Umfang lediglich verdoppelt.

Fläche bestimmt den Umfang nicht 🖖

Dieselbe Fläche kann viele Umfänge haben. Wird ein Rechteck bei festem Produkt ab gestreckt, wächst sein Rand.

Aufgabe vollständig gelöst

Was 24,94 Meter Einfassung hätten fassen können 6 Schritte
Lade die Voreinstellung trapezium: parallele Seiten von 10 m und 6 m, 4 m von der einen zur anderen, wobei das u des Werkzeugs dein Meter ist. Berechne die Fläche des Beets und die Einfassung, die es braucht. Entscheide dann, ob dich die Form oder die Größe Pflanzfläche kostet, und ob ein um die Hälfte größeres Beet das beheben würde.
1. Die beiden parallelen Seiten sind verschieden lang, also gilt es zuerst die eine Breite zu finden, die dieselbe Arbeit leistet. Schneide das rechtwinklige Dreieck an einem Ende ab und setze es ans andere: Die Kerbe, die es hinterlässt, ist genau die Form, die es füllt, und übrig bleibt ein Rechteck von 8 m Breite und 4 m Höhe. Die Schräge geht in die Fläche überhaupt nicht ein.
  
  $\frac{a + b}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8 m, A = 8 \times 4 = 32.00 m^{2}$
2. Die Einfassung sind alle vier Seiten, und zwei davon stehen schräg. Das Beet verliert über seine Höhe 4 m an Breite, 2 m an jedem Ende, also ist jede schräge Seite die Hypotenuse eines Dreiecks von 4 m Höhe und 2 m Breite: √20, knapp 4,5 m. Die Umfangskarte zeigt 24,94 m.
  
  $\frac{a - b}{2} = 2, c = 4^{2} + 2^{2} = 20 = 4.4721, P = 10 + 6 + 2 c = 24.94 m$
3. Die dritte Karte, die Kompaktheit, zeigt 0,646. Q ist als 4πA/P² definiert, was wie eine Punktzahl ohne Substanz aussieht, bis du fragst, was P²/4π für sich genommen ist.
  
  $Q = \frac{4 π A}{P ^{2}} = \frac{4 π \times 32.00}{24.9 4 ^{2}} = 0.646$
4. Es ist die Fläche eines Kreises aus derselben Einfassung. Bieg die 24,94 m gerade, schließ sie zu einem Ring, und der Radius ist P/2π = 3,9700 m und umschließt 49,51 m². Q ist also die Fläche dieses Beets geteilt durch die des Kreises, und 0,646 sagt, dass das Trapez keine zwei Drittel dessen behält, was seine eigene Einfassung fassen kann.
  
  $r_{\circ} = \frac{P}{2 π} = \frac{24.9443}{2 π} = 3.9700 m, A_{\circ} = π r_{\circ}^{2} = \frac{P ^{2}}{4 π} = 49.51 m^{2}$
5. Die Lücke sind 17,51 m² Beet, die du bezahlt hast und nicht bepflanzen kannst. Dreh es um, und es ist derselbe Satz: Ein rundes Beet, das deine 32,00 m² fasst, braucht 20,05 m Einfassung, 4,89 m weniger, etwa ein Fünftel der Rolle.
  
  $A_{\circ} - A = 49.51 - 32.00 = 17.51 m^{2}, P_{\circ} = 2 π A = 2 32 π = 20.05 m$
6. Größe hilft nicht. Setz k auf 1,5, und das Beet erreicht 72,00 m² hinter 37,42 m Einfassung, und Q rührt sich nicht, weil das k², das die Fläche gewinnt, von dem k² aufgehoben wird, das aus dem Quadrieren des Umfangs kommt. Diese Form so weit zu skalieren, bis sie die 49,51 m² des Kreises erreicht, bräuchte k = 1,2439 und 31,03 m Einfassung, 6,08 m mehr, als der Kreis für dieselbe Fläche braucht.
  
  $k = 1.5 : P^{'} = 37.42, A^{'} = 72.00, Q^{'} = \frac{4 π k ^{2} A}{( k P ) ^{2}} = Q = 0.646; k = \frac{49.51}{32.00} = 1.2439 \Rightarrow P^{'} = 31.03 m$
Antwort

32,00 m² hinter 24,94 m Einfassung, und es ist die Form, die dich etwas kostet. Dieselbe Einfassung zu einem Kreis geschlossen fasst 49,51 m², es werden also 17,51 m² Beet gekauft und nicht geliefert. Es um die Hälfte größer zu bauen behebt gar nichts: Bei k = 1,5 erreicht die Fläche 72,00 m², und Q sitzt bei 0,646, genau dort, wo es angefangen hat.

Weil Q jeden Faktor k herauskürzt, ist es hier die einzige Karte, die die Form meldet statt der Größe. Es hat außerdem eine Obergrenze. Nichts an diesem Werkzeug erreicht ein Q über 1: Der Kreis umschließt mehr Fläche als jede andere Figur mit demselben Umfang. Jakob Steiner veröffentlichte das Argument dafür 1838, indem er zeigte, dass jede nicht kreisförmige Gestalt verbessert werden kann. Offen bleibt dabei, ob eine beste Form überhaupt existiert, und Weierstraß lieferte den fehlenden Existenzbeweis später nach. Ein regelmäßiges Vieleck klettert die Lücke Seite für Seite hinauf: 0,605 bei drei Seiten, 0,785 bei vier, 0,865 bei fünf, 0,907 bei sechs, und nie ganz ein Kreis.

$Q = \frac{A}{P ^{2} /4 π} = \frac{A}{A _{\circ}} \leq 1, Q (k) = Q \forall k > 0$

Lernpfad

Die Dreiecksregeln und woher sie kommen

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Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-04

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Beispielaufgaben

8 × 5 rectangle - Umfang 26,00 u und Flächeninhalt 40,00 u², neben der verdoppelten Kopie mit 52,00 u und 160,00 u². Beide Flächen liegen auf demselben Einheitsraster, denn die 40 Quadrate in der einen und die 160 in der anderen sind dazu da, von dir gezählt und nicht nur geglaubt zu werden.
6 to 12 inch pizza - Radius 3 ist die 6-Zoll-Pizza: 18,85 u Rand um 28,27 u² Belag. Die skalierte Zeile zeigt die 12-Zoll-Pizza mit 37,70 u und 113,10 u². Zwei 6-Zoll-Pizzen benötigen denselben Rand von 37,70 u, liefern dir aber nur halb so viel Pizza.
trapezium - Parallele Seiten der Länge 10 und 6 ergeben bei einer Höhe von 4 einen Flächeninhalt von 32,00 u², da hier nur der Mittelwert der beiden parallelen Seiten zum Tragen kommt. Der Umfang beträgt 24,94 u, und die Kompaktheit Q = 0,646 ist der niedrigste der drei Vorgabewerte: Diese Form liefert dir am wenigsten Fläche pro Einheit Umfang.