Koordinatengeometrie-Explorer

Zwei Punkte bestimmen eine Strecke und eine ganze Gerade. Zieh einen Punkt und verbinde rechtwinkliges Dreieck, exakten Abstand, Mittelpunkt, Richtungsvektor, Neigung, Geradengleichungen und Mittelsenkrechte.

Rechenbeispiel — Koordinatengeometrie-Explorer

Waagerechte Kathete Δx	3,0
Senkrechte Kathete Δy	4,0
Abstand AB	5,00
Exakter Abstand	5
Mittelpunkt	(2,5; 3)
Richtungsvektor	(3; 4)
Steigung	4/3
Neigungswinkel θ	53,1°

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Die Abstandsformel ist Pythagoras mit wegradiertem Dreieck 🖖

Die Formel wird meist als etwas zum Auswendiglernen gelehrt, und das ist sie nicht: Fällt man vom einen Punkt eine Waagerechte und vom anderen eine Senkrechte, treffen sie sich im rechten Winkel. Die Katheten sind Δx und Δy, die Strecke ist die Hypotenuse, und d² = Δx² + Δy² ist a² + b² = c² mit ungezeichnetem Dreieck. Dieses Werkzeug zeichnet es. Probiere die 3-4-5-Voreinstellung — Katheten 3 und 4, Abstand genau 5 — es ist dasselbe Dreieck, das seit Euklid auf jedem Übungsblatt steht.

Eine senkrechte Strecke hat eine Länge und keine Steigung 🖖

Legt man beide Punkte auf x = 3, meldet das Werkzeug einen Abstand von 10 und eine Steigung von undefiniert. Beides stimmt, und gerade das Nebeneinander ist der Punkt. Die Strecke ist sichtbar da und sichtbar 10 Einheiten lang, „undefiniert“ kann also nicht heißen, die Gerade fehle oder sei seltsam — es heißt, dass Δy ÷ Δx durch null teilt, und das Versagen gehört der Formel, nicht der Geraden. Eine senkrechte Gerade hat weiterhin eine Gleichung, x = 3; sie hat nur nicht die Form y = mx + c, weil diese Form voraussetzt, dass zu jedem x genau ein y gehört.

Der Mittelpunkt ist exakt, wo der Abstand es nicht ist 🖖

Der Mittelpunkt ist ein Mittelwert: die beiden x-Werte addieren, halbieren, dasselbe für y. Das ist Arithmetik und landet auf einer Zahl, die man exakt hinschreiben kann. Der Abstand braucht eine Wurzel, und Wurzeln aus Quadratsummen sind fast nie rational. Die Einheitsdiagonale zeigt beides auf einmal — der Mittelpunkt ist exakt (0,5; 0,5), während der Abstand 1,41 beträgt und immer weitergeht. Dieselben zwei Punkte, eine Antwort exakt und eine genähert, und der Unterschied liegt ausschließlich darin, zu welcher Rechenoperation man greifen musste.

Die Mittelsenkrechte ist eine Gleichung der Gleichheit 🖖

Schalte die Mittelsenkrechte ein. Jeder Punkt P auf der grünen Geraden erfüllt PA = PB. Beim Quadrieren und Ausmultiplizieren fallen x² und y² weg: Aus einer scheinbar quadratischen Bedingung wird eine Gerade. Beim 3-4-5-Beispiel ist sie 6x + 8y = 39.

Aufgaben vollständig gelöst

Der Abstand des Ursprungs zur Geraden 4x − 3y = 1 7 Schritte
Das Werkzeug gibt die Gerade durch A und B als 4x − 3y = 1 an und die Strecke als exakt 5. Fragst du es nach dem Abstand zu einem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, etwa dem Ursprung, so erhältst du keine Antwort. Leite diesen Abstand allein aus den beiden Punkten ab.
1. Alles Weitere basiert auf einer einzigen Subtraktion. B − A beschreibt den Weg von A nach B: drei nach rechts, vier nach oben. Exakt das melden die beiden Zeilen für die Katheten.
  
  $A B = B - A = (4 - 1, 5 - 1) = (3, 4)$
2. Diese Katheten bilden die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse die Strecke ist. Ihre Länge berechnet sich also ganz simpel nach Pythagoras. Hierbei geht die Wurzel glatt auf. Da 25 eine Quadratzahl ist, gibt die Zeile für den exakten Wert eine 5 aus anstatt eines Wurzelausdrucks.
  
  $∣ A B ∣ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$
3. Die Gleichung kommt völlig ohne Division aus. Jeder Punkt auf der Geraden bildet mit A dieselbe Steigung. Befreist du die Gleichung von Brüchen, entsteht der Ausdruck Δy·x − Δx·y. Dieser ist identisch mit dem Wert, den die Kombination im Punkt A annimmt. Genau diese Form siehst du auf der Seite. Sie behält auch bei einer senkrechten Strecke ihre Gültigkeit, für die du y = mx + c gar nicht aufschreiben kannst.
  
  $Δ y x - Δ x y = Δ y a_{x} - Δ x a_{y} : 4 x - 3 y = 4 (1) - 3 (1) = 1$
4. Betrachte nun die Koeffizienten, die du gerade berechnet hast. (4; −3) ist (Δy; −Δx): die um einen rechten Winkel gedrehte Strecke. Eine Drehung ändert die Länge eines Vektors nicht. Die Normale ist also 5 lang. Das ist dieselbe 5 wie bei AB. Dies ist bei dieser Voreinstellung kein Zufall. Es gilt für jedes beliebige Punktepaar und macht die nächste Zeile so einfach.
  
  $n = (Δ y, - Δ x) = (4, - 3), ∣ n ∣ = 4^{2} + (- 3)^{2} = 5 = ∣ A B ∣$
5. Bewegst du dich eine Einheit entlang der Normalen, ändert sich die linke Seite um 5. Das entspricht der eigenen Länge der Normalen. An jedem beliebigen Punkt ist der Wert also der fünffache Abstand zur Geraden. Setzt du den Ursprung ein, reduziert sich der Zähler auf 1. Der Nenner ist wieder jene 5, und die Gerade verfehlt den Ursprung um exakt ein Fünftel.
  
  $d (P) = \frac{∣4 p _{x} - 3 p _{y} - 1∣}{∣ n ∣}, d (O) = \frac{∣0 - 0 - 1∣}{5} = \frac{1}{5} = 0.2$
6. Gehst du dieses Fünftel entlang, solltest du genau auf der Geraden landen. Der Lotfußpunkt liegt bei (0,16; −0,12). Das erneute Einsetzen in 4x − 3y liefert 0,64 + 0,36 = 1. Du befindest dich auf der Geraden, 0,2 von deinem Startpunkt entfernt.
  
  $F = O - \frac{n \cdot O - 1}{∣ n ∣ ^{2}} n = \frac{1}{25} (4, - 3) = (0.16, - 0.12), 4 (0.16) - 3 (- 0.12) = 0.64 + 0.36 = 1$
7. Eine Schlussfolgerung ergibt sich von selbst. Ist der Nenner der Abstandsformel |AB|, dann entspricht |AB| multipliziert mit diesem Abstand der doppelten Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten O, A und B.
  
  $[O A B] = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ d (O) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.2 = 0.5, \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣ = \frac{1}{2} ∣1 \cdot 5 - 4 \cdot 1∣ = 0.5$
Antwort

Die Gerade verläuft im Abstand 0,2 vom Ursprung, und das Dreieck OAB hat eine Fläche von exakt ½. Überprüfe die Fläche auf einem Weg, der Abstände überhaupt nicht erwähnt: Die Gaußsche Flächenformel liefert ½|x_Ay_B − x_By_A| = ½|5 − 4| = ½. Das sind zwei Herleitungen, die nach der ersten Subtraktion nichts mehr gemeinsam haben und bei derselben Zahl landen. Das Werkzeug folgt dir bis zur dritten Zeile und schweigt dann. Der Abstand zu einem Punkt, der Lotfußpunkt und die Fläche sind alles Werte, die es nicht berechnet.

$d (P) = \frac{∣ n \cdot P - c ∣}{∣ n ∣}, ∣ n ∣ = ∣ A B ∣ = 5 ⟹ d (O) = \frac{1}{5} = 0.2, [O A B] = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.2 = 0.5$
Was die beiden Kathetenwerte über das Gitter verraten 6 Schritte
Auf der Anzeige stehen Δx = 10,0 und Δy = −10,0. Berechne, wie viele Gitterpunkte diese Strecke auf ihrem Weg kreuzt. Überlege dann, ob dir die beiden Katheten allein diese Frage bereits beantwortet haben.
1. Zuerst die Länge, denn durch die wird später noch geteilt. √(10² + 10²) = √200 = 10√2. Diesen Wert liefert die Anzeige gleich zweimal: gerundet als 14,14 und exakt als 10√2.
  
  $A B = (10, - 10), ∣ A B ∣ = 1 0^{2} + 1 0^{2} = 200 = 102 = 14.14$
2. Beschreibe die Strecke als Weg. X(t) = A + t(Δx, Δy) = (−5 + 10t, 6 − 10t), wobei t von 0 bis 1 läuft.
  
  $X (t) = A + t (Δ x, Δ y) = (- 5 + 10 t, 6 - 10 t), 0 \leq t \leq 1$
3. X(t) besitzt ganzzahlige Koordinaten, wenn tΔx und tΔy beide ganzzahlig sind. Das ist genau dann der Fall, wenn t ein Vielfaches von 1/g ist. Dabei steht g für den größten gemeinsamen Teiler von |Δx| und |Δy|. Hier ist g = ggT(10, 10) = 10, also durchläuft t die Zehntel.
  
  $X (t) \in Z^{2} ⟺ t Δ x, t Δ y \in Z ⟺ t = \frac{m}{g}, g = g cd (∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣) = g cd (10, 10) = 10$
4. Jedes Zehntel bringt dich um (Δx/g, Δy/g) = (1, −1) voran. So erhältst du neun Punkte, die echt zwischen den Endpunkten liegen: (−4, 5), (−3, 4) und so weiter bis (4, −3). Sie sind gleichmäßig verteilt und haben jeweils den Abstand √2 zueinander, da sich auch die Gesamtlänge durch g teilt.
  
  $(\frac{Δ x}{g}, \frac{Δ y}{g}) = (1, - 1) : (- 4, 5), (- 3, 4), \dots, (4, - 3) — g - 1 = 9 points, spaced \frac{∣ A B ∣}{g} = 2$
5. Diese Zerlegung verrät auch, wann die Länge glatt aufgeht. |AB| = g√((Δx/g)² + (Δy/g)²), der Wurzelterm steckt also vollständig im gekürzten Paar. Hier lautet dieses Paar (1, 1) und nichts kann die √2 auflösen. Bei der 3-4-5-Voreinstellung ist g = 1. Das gekürzte Paar (3, 4) bildet ein Kathetenpaar eines pythagoreischen Tripels, weshalb die Anzeige für diese Distanz exakt 5 ausgibt.
  
  $∣ A B ∣ = g (\frac{Δ x}{g})^{2} + (\frac{Δ y}{g})^{2} = 10 1^{2} + 1^{2}; (3, 4) : g = 1, 3^{2} + 4^{2} = 5$
6. Für den Mittelpunkt brauchst du keine eigene Rechnung. Er liegt bei t = ½. Er landet also genau dann auf dem Gitter, wenn ½ ein Vielfaches von 1/g ist, wenn g also gerade ist. Hier ist g = 10 und der Mittelpunkt (0, 1) ist der fünfte der neun Gitterpunkte. Bei der 3-4-5-Voreinstellung ist g = 1, und der Punkt (2,5; 3) fällt zwischen die Gitterlinien.
  
  $M = (\frac{a _{x} + b _{x}}{2}, \frac{a _{y} + b _{y}}{2}) \in Z^{2} ⟺ Δ x, Δ y both even : (0, 1) ✓, (3, 4) \Rightarrow (2.5, 3) \times$
Antwort

Neun, und ja. Der größte gemeinsame Teiler der beiden Katheten entscheidet alles, und beide Katheten stehen auf der Anzeige. Eine Strecke zwischen Gitterpunkten kreuzt g − 1 weitere. Ihre Länge ist nur rational, wenn das gekürzte Paar pythagoreisch ist. Ihr Mittelpunkt ist nur bei einem geraden g ein Gitterpunkt. Diese letzte Regel hat eine Konsequenz, die du dir unbedingt merken solltest. Ein Gitterpunkt fällt durch die Parität seiner beiden Koordinaten in eine von vier Klassen. Unter fünf beliebigen Punkten müssen sich demnach zwei in derselben Klasse befinden, und der Mittelpunkt genau dieser beiden landet stets auf dem Gitter.

$g = g cd (∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣) : g - 1 lattice points between, ∣ A B ∣ \in Q ⟺ (\frac{Δ x}{g}, \frac{Δ y}{g}) is a Pythagorean pair$

Lernpfad

Die Dreiecksregeln und woher sie kommen

Quellen (2)

the origin of describing a curve by the coordinates of its points Descartes, R. (1637). La Géométrie, appendix to Discours de la méthode. Leiden: Jan Maire.
the theorem the distance formula is an application of Euclid. Elements, Book I, Proposition 47.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-20

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Mathematik →

Beispielaufgaben

3-4-5 - Katheten von 3 und 4 ergeben einen Abstand von genau 5 — Pythagoras, in Koordinaten.
Waagerecht - Ein waagerechtes Paar: die Steigung ist 0 und der Abstand ist einfach die Strecke, 10.
Senkrecht - 10 Einheiten lang und ganz ohne Steigung — „undefiniert“ ist eine Aussage über die Formel, nicht über die Gerade.
Negative Steigung - Genau so schnell nach unten wie zur Seite: Steigung -1, Abstand 14,14.
Einheitsdiagonale - Der Mittelpunkt ist exakt (0,5; 0,5), während der Abstand, 1,41, nie abbricht.