See on masintõlge; originaalartikkel on inglise keeles. Loe originaali
Kaks korda kõrgem on neli korda rohkem värvi ja kaheksa korda rohkem betooni
16-tollisel pitsal on 78% rohkem pitsat kui 12-tollisel. Peaaegu keegi ei ütle 78%, ja vahes, mis jääb inimeste vastuse ja 78% vahele, elab päris palju raha.
Kahekordse läbimõõduga pitsa on neli pitsat. Mitte kaks.
See on kõige kindlam viis muidu arvudega hästi läbi saav täiskasvanu vahele võtta, ja viga ei ole arvutusviga. Keegi, kellelt küsida, mis on 2 ruudus, ei vasta valesti. Viga sünnib varem, selles sammus, kus tekib kujutluspilt „kaks korda suuremast“ ja sellele omistatakse vaikselt arv 2.
Reegel
Skaleeri kuju teguriga k, iga pikkus korrutatakse k-ga ja iga nurk jäetakse rahule, ning kolm asja toimub kolme erineva kiirusega.
- Iga pikkus korrutatakse k-ga. Küljed, ümbermõõdud, diagonaalid, ringjoone pikkused.
- Iga pindala korrutatakse k²-ga. Pinnad, ristlõiked, aluspinnad, värvi hulk.
- Iga ruumala korrutatakse k³-ga. Sisu, mass püsiva tiheduse juures, betooni hulk.
- Iga nurk jääb muutumatuks. Just seda „sama kuju“ tähendabki.
Eukleides sõnastab sellest pindala-poole kolmnurkade jaoks Elementide VI.19-s: „sarnased kolmnurgad suhtuvad teineteisesse vastavate külgede kahekordses suhtes“, kus „kahekordne suhe“ on tema väljend suhte ruudu kohta. VI.20-s laiendab ta selle sarnastele hulknurkadele üldiselt.
k² saab teha loendatavaks, selle asemel et seda väita. Skaleeri kolmnurka täisarvuga ja suure saab lõigata täpselt k² koopiaks väikesest: neli kahekordistamisel, üheksa kolmekordistamisel, kuusteist neljakordistamisel. Similar Triangles Lab joonistab selle jaotuse välja, nii et tegur on midagi, mida sa loendad, mitte midagi, mida sulle öeldakse.
Kus see raha maksma läheb
Värv ja materjalid. Mudel mõõtkavas 1:2 vajab veerandit pinnakattest, mitte poolt. Tee pakkumine maja ülevärvimiseks, mis on eelmisest kaks korda kõrgem, ja värvi kulub neli korda rohkem, eeldusel et kuju on sama.
Pitsa ja kohv. 16-tollise pitsa pindala on 1,78 korda suurem kui 12-tollisel, nii et ta on väärt 78% rohkem, mitte 33% rohkem. Hinnastamine, mis eeldab lineaarsust, on süstemaatiliselt vale, müüja kasuks, peaaegu igas maailma söögikohas.
Pildid. Kahekordista foto laius ja vaja läheb neli korda rohkem piksleid, neli korda rohkem mälu ja umbes neli korda rohkem arvutust. Seepärast ei ole süütu pilet „hakkame toetama ka retinaekraane“ väike pilet.
Küte ja jahutus. Soojust kaotatakse pinna kaudu (k²) ja salvestatakse ruumalasse (k³), nii et pinna ja ruumala suhe kahaneb nagu 1/k. Suur hoone kaotab võrdeliselt vähem soojust kui sama kujuga väike, väike loom kaotab võrdeliselt rohkem, ja purustatud jääkuubik sulab kiiremini kui sama kogumassiga terve, sest purustamine korrutab pinda, ruumala puutumata.
Kus see keelab asjadel olemas olla
k² ja k³ lahknemine ei ole pelk raamatupidamise küsimus. See seab kõvad piirid sellele, mida saab ehitada ja mis saab elada.
Jala, luu või samba tugevust määrab tema ristlõike pindala, k². Raskust, mida ta peab kandma, määrab ruumala, k³. Skaleeri loom kümme korda suuremaks, proportsioonid muutmata, ja ta muutub tuhat korda raskemaks, samal ajal kui ta luud muutuvad ainult sada korda tugevamaks. Pinge luus kasvab kümnekordseks.
Seepärast ei ole elevant suureks skaleeritud gasell. Tema jalad on võrdeliselt palju jämedamad, seisavad tema all sirgemalt, ja hüpata ta ei saa. Seepärast on filmide hiidputukad võimatud: hobuse suuruseks kasvatatud sipelga purustaks tema enda kaal ammu enne, kui trahheedega hingamine alt veaks. Galilei arvutas selle välja 1638. aastal raamatus Kaks uut teadust ja joonistas absurdselt jämedaks aetud luu, mida suur loom vajaks.
Seepärast on väga suured laevad väikestest ehituslikult teistsugused objektid, mitte nende suuremad versioonid, ja seepärast ei tähenda sillakonstruktsiooni skaleerimine kunagi joonistel olevate arvude korrutamist.
Miks see viga nii visa on
Sest „kaks korda suurem“ on lause taju kohta, ja taju ei ole kalibreeritud üheski neist kolmest ühikust.
Kui näidata kahte ringi, millest ühe pindala on teisest neli korda suurem, ei ütle enamik inimesi „neli korda“. Nad ütlevad midagi kahe ja poole lähedast. Tajutav suurus ei järgi füüsikalist suurust lineaarselt, vaid järgib astmeseadust, ja pindala puhul on psühhofüüsikas mõõdetud astendaja tublisti alla ühe, ülesandest sõltuvalt umbes 0,7 kuni 0,9. Tagajärg on see, et veal on püsiv suund. Inimesed alahindavad süstemaatiliselt, kui palju suurem suurem asi on, ja seepärast eksitavad mullidiagrammid, ning seepärast eksitavad nad palju rängemalt, kui tarkvara mõõdab mullid läbimõõdu, mitte pindala järgi, mis laob teise ruututõstmise juba samas suunas osutava tajunihke otsa.
Aritmeetika ei paranda tajunihet. Pilt ehk parandab. Põhjus, miks joonistada kahekordistatud kolmnurga sisse neli koopiat, selle asemel et kirjutada kõrvale ×4, on see, et lugeja ei jäta korrutamata. Ta jätab nägemata.
Rusikareegel
Kui keegi ütleb, et miski on „kaks korda suurem“, küsi, millist kolmest ta mõtleb. Kaks korda pikem, neli korda suurema pindalaga ja kaheksa korda suurema ruumalaga on igapäevakõnes kõik „kaks korda suuremad“, ja äärmuste vahe on neljakordne.