Geometría de la Pirámide

geometría al estilo del antiguo Egipto para pirámides cuadrangulares

Valores iniciales — Geometría de la Pirámide

Longitud del lado de la base (s)	230,4
Altura vertical (h)	146,6

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

Cargando simulación interactiva...

El un tercio es exacto, pero no se puede demostrar cortando 🖖

Una pirámide contiene exactamente un tercio del prisma que comparte su base y su altura — no aproximadamente, exactamente. En dos dimensiones el hecho equivalente se ve con facilidad: un triángulo es la mitad de su rectángulo, y puedes demostrarlo cortando el rectángulo y recolocando las piezas. En tres dimensiones esa vía está cerrada. Hilbert preguntó en 1900 si dos sólidos de igual volumen pueden siempre cortarse en un número finito de piezas y recomponerse uno en el otro, y Max Dehn demostró en 1901 que no — un tetraedro regular y un cubo del mismo volumen no son alcanzables entre sí mediante ningún conjunto finito de cortes. El factor 1/3 es por tanto genuinamente un resultado sobre límites, y por eso llega con el cálculo y no con unas tijeras.

Dos números definen toda la pirámide 🖖

Una pirámide cuadrada queda totalmente determinada por solo dos medidas: el lado de la base s y la altura vertical h. Todo lo demás surge de un triángulo rectángulo que va del centro de la base al punto medio de una arista. La apotema de la pirámide es su hipotenusa, l = √(h² + (s/2)²), y con l ya salen la superficie y el volumen. Cambia una entrada y cada resultado se recalcula a la vez.

Cómo los egipcios medían la pendiente al revés 🖖

Los antiguos egipcios no usaban ángulos. En el papiro de Rhind anotaban la pendiente de una pirámide como su seked: el avance horizontal, en palmos, por cada codo real (7 palmos) de subida vertical — en esencia la cotangente, la inversa de nuestra pendiente moderna. El seked de la Gran Pirámide es de unos 5½ palmos, lo que da un ángulo de cara cercano a 51,84°. La salida seked de esta herramienta revive esa convención de hace 3600 años.

Problema resuelto al detalle

Dos coincidencias de la Gran Pirámide, resueltas con un número 6 pasos
La Gran Pirámide: base de 230,4 m, altura de 146,6 m. Halle la apotema, las áreas, el volumen y el ángulo de la cara; después, resuelva las dos famosas coincidencias con un solo número.
1. La apotema es la hipotenusa del triángulo que va desde el centro de la base hasta el punto medio del lado y sube hasta el vértice: la mitad de la base, no la base completa, que es el error más frecuente en este caso.
  
  $ℓ = h^{2} + (\frac{s}{2})^{2} = 146. 6^{2} + 115. 2^{2} = 34 762.6 = 186.4473 m$
2. La superficie lateral consta de cuatro triángulos, cada uno con base s y altura ℓ, por lo que 4 × ½sℓ se reduce a 2sℓ. Añada la base para obtener el total.
  
  $A_{b} = s^{2} = 53 084.16, A_{l} = 2 s ℓ = 85 914.92, A = 138 999.08 m^{2}$
3. El volumen es un tercio del prisma, y ese tercio no es una aproximación: es exacto para cualquier pirámide sobre cualquier base.
  
  $V = \frac{1}{3} s^{2} h = \frac{1}{3} (53 084.16) (146.6) = 2594 045.95 m^{3}$
4. El ángulo de la cara se obtiene de la altura sobre la semibase. El seked es su recíproco, y ese es el número con el que los constructores trabajaban en realidad.
  
  $θ = arctan \frac{2 h}{s} = arctan \frac{293.2}{230.4} = 51.839 3^{\circ}, k = \frac{s /2}{h} = 0.7858$
5. Compare el seked medido con la fracción más simple cercana a él. Cinco palmos y medio por codo de siete palmos equivale a 11/14, y coincide con una precisión de una parte en ocho mil.
  
  $k = \frac{5 \frac{1}{2} palms}{7 palms} = \frac{11}{14} = 0.785714 (measured 0.785812)$
6. Ahora deduzca la razón de π a partir de esa única fracción. No es un hecho independiente sobre la pirámide; es 8k, y resulta que 8 × 11/14 se encuentra a un 0,04% de 2π.
  
  $k = \frac{s /2}{h} \Rightarrow h = \frac{s}{2 k} \Rightarrow \frac{4 s}{h} = 8 k = 8 \cdot \frac{11}{14} = 6.28571 against 2 π = 6.28319$
Respuesta

Ambas coincidencias son la misma, y se trata de una fracción de constructores: un seked de 11/14. Los egipcios no definían la pendiente como un ángulo, sino que especificaban cuántos palmos de avance horizontal correspondían a un codo de altura, y un codo equivale a siete palmos. Elige 5½ palmos y el seked, como proporción pura, es 11/14 = 0,785714, frente al 0,785812 que mide realmente la pirámide. Todo lo demás se deriva de esto. El perímetro sobre la altura es exactamente 8 veces el seked, así que 8 × 11/14 = 6,28571 frente a 2π = 6,28319, y la proporción entre la apotema y la semibase resulta ser 1,6186 frente a φ = 1,618034. No se introdujeron ni π ni φ. Una única pendiente racional, elegida por ser fácil de trazar con cuerda y plomada, genera ambos valores con tres cifras exactas.

$k = \frac{11}{14} ⟹ \frac{4 s}{h} = 6.2857 \approx 2 π and \frac{ℓ}{s /2} = 1.6186 \approx φ$

Referencias (2)

Insight block 1 — why the factor of 1/3 cannot be shown with scissors: M. Dehn, "Ueber den Rauminhalt." Mathematische Annalen 55(3), 465–478, 1901 — the negative answer to Hilbert's third problem.
Insight block 3 — the seked, and the 5½ palms of the Great Pyramid: A. B. Chace, The Rhind Mathematical Papyrus, problems 56–60. Mathematical Association of America, 1927–29.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.