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Pythagore n'est pas un fait concernant les triangles
Fixez les côtés de l'angle droit à 3 et 4, maintenez l'angle entre eux à exactement 90°, et tracez le triangle sur une sphère plutôt que sur une page. L'hypoténuse s'élève à 4,57.
Prenez un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4. L'hypoténuse vaut 5, et elle vaut 5 depuis aussi longtemps que l'on se pose la question. À présent, conservez les deux côtés à 3 et 4, maintenez l'angle entre eux à exactement 90°, et tracez ce même triangle sur la surface d'une sphère. L'hypoténuse n'est plus égale à 5. Sur une sphère de rayon 3,62, elle est d'environ 4,57. Tracez-le sur une surface hyperbolique de même rayon et elle est d'environ 5,31.
Rien dans le triangle n'a changé. L'angle droit est toujours un angle droit ; les deux côtés de l'angle droit valent toujours 3 et 4. Ce qui a changé, c'est l'espace.
Ce qui le remplace
Sur une sphère de rayon R, la relation entre les trois côtés d'un triangle rectangle est
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
et sur une surface hyperbolique, c'est la même formule avec les fonctions hyperboliques :
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Aucune de ces formules ne ressemble à a² + b² = c². Mais si l'on développe l'une ou l'autre en série pour de petites valeurs de a/R et b/R — c'est-à-dire si l'on laisse la surface devenir grande par rapport au triangle —, le premier terme qui subsiste est le carré. Toutes deux se réduisent à a² + b² = c². Le théorème familier est le cas limite des deux lois courbes à la fois, ce qui est une position étrange et assez belle à occuper.
Il ne s'agit pas d'une curiosité sur la géométrie exotique. C'est la raison pour laquelle le théorème est équivalent au postulat des parallèles d'Euclide : admettez l'un ou l'autre et vous pouvez démontrer le second. Pendant deux mille ans, les mathématiciens ont tenté de déduire le postulat des parallèles des quatre autres axiomes d'Euclide, et la raison pour laquelle ils ont échoué est qu'il n'est pas déductible — c'est un choix, et le choisir revient exactement à affirmer que a² + b² = c².
Le second symptôme
L'hypoténuse n'est pas la seule chose qui varie. Observez les angles.
Sur la sphère, ce triangle 3-4 présente des angles d'environ 50,7° et 69,7° aux côtés de son angle droit — soit un total de 210,3°, alors qu'un triangle plat donnerait 180°. Sur la surface hyperbolique, ces deux mêmes côtés donnent 26,8° et 40,9°, pour un total de 157,7°. La somme des angles dépasse 180° sur une sphère et reste en dessous dans l'espace hyperbolique, et elle atteint 180° en un seul endroit.
Les deux symptômes ne sont pas indépendants. Sur une surface de courbure constante, les trois côtés étant pris le long de géodésiques, l'écart entre la somme des angles et 180° est exactement égal à la courbure multipliée par l'aire du triangle. C'est le théorème de Gauss–Bonnet sous sa forme la plus simple — en général, il intègre la courbure sur la région au lieu de la multiplier par celle-ci — et il a une conséquence qui mérite qu'on s'y arrête : vous pouvez déterminer l'aire d'un tel triangle en ne mesurant rien d'autre que ses trois angles. Aucune longueur n'est requise.
Le Pythagoras Lab fait exactement cela. Faites glisser le curseur de courbure et les deux valeurs varient ensemble tandis que les côtés et l'angle droit restent fixes.
Pourquoi cela importe
Un géomètre mesurant un terrain à bâtir peut utiliser a² + b² = c² sans arrière-pensée ; sur une centaine de mètres, la courbure de la Terre engendre une erreur bien inférieure à la précision du ruban métrique. Un géodésien établissant un réseau géodésique national ne le peut pas. L'écart entre la réponse plane et la réponse sphérique croît avec le carré de la taille du triangle, c'est pourquoi les réseaux de triangulation couvrant un pays ont toujours été calculés avec des formules sphériques ou ellipsoïdales, et pourquoi les mathématiques d'un récepteur GPS ne sont pas celles d'un manuel scolaire.
Et en relativité générale, la courbure n'est pas une propriété d'une surface plongée dans l'espace — c'est une propriété de l'espace-temps lui-même, ayant pour source la masse et l'énergie. L'affirmation « l'espace est plat ici » est une assertion physique sur la distribution locale de la matière, vérifiable en mesurant des triangles. C'est en ce sens que Pythagore est une proposition empirique plutôt qu'une certitude mathématique : il est vérifié là où l'espace-temps est plat, et l'espace-temps n'est pas plat partout.
La démonstration porte sur la forme, pas sur la taille
Étant donné à quel point le théorème dépend de la planéité, sa démonstration dans le cas plan est remarquablement simple.
Abaissez la perpendiculaire issue de l'angle droit sur l'hypoténuse. Elle tombe en un point, divisant l'hypoténuse de longueur c en deux segments, p et q. Observez les deux triangles plus petits ainsi créés : chacun possède un angle droit, et chacun partage l'un de ses autres angles avec le triangle d'origine. Trois angles identiques signifient que les triangles ont la même forme — ils sont semblables au triangle d'origine et semblables entre eux.
Des triangles semblables ont des côtés proportionnels. Appliquez cela à chaque morceau et vous obtenez a² = c·p et b² = c·q. Additionnez-les : a² + b² = c(p + q) = c². Tout le théorème se réduit à une droite perpendiculaire et au fait que des angles égaux imposent des côtés proportionnels.
Ce dernier fait est lui-même euclidien, ce qui boucle la boucle. Sur une sphère, il n'existe aucun triangle semblable de tailles différentes : fixer les trois angles fixe également l'aire, de sorte qu'on ne peut pas changer l'échelle d'un triangle sans modifier sa forme. La démonstration et le théorème qu'elle démontre s'imposent ou s'effondrent ensemble, et tous deux ne tiennent que sur une surface plane.
Vous pouvez observer chaque étape dans le Similar Triangles Lab, où ce fait euclidien est mis à l'épreuve : faites glisser le facteur d'échelle d'un quart à six, et les trois valeurs d'angles refusent de bouger.
Une note sur les carrés
Encore une chose dont le théorème n'a pas besoin : les carrés.
Construisez n'importe quelle forme de votre choix sur les trois côtés — demi-cercles, pentagones, silhouettes de chats — et pourvu qu'elles soient toutes trois semblables entre elles, les deux sur les côtés de l'angle droit s'additionnent toujours pour donner celle sur l'hypoténuse. Euclide l'énonce dans les Éléments VI.31, et cela s'applique pour la même raison que tout le reste ici : l'aire varie comme le carré de la longueur, de sorte que le rapport des trois figures est fixé par le rapport des trois côtés, quelles que soient les figures.
Utilisez des demi-cercles, et un résultat saisissant en découle. Le demi-cercle construit sur l'hypoténuse passe exactement par le sommet de l'angle droit, et les deux lunules laissées à l'extérieur ont une aire combinée exactement égale à celle du triangle. Hippocrate de Chios a découvert cela vers 440 av. J.-C., et c'était la première fois que l'on démontrait qu'une région à bords courbes pouvait avoir précisément l'aire d'une figure à côtés droits — un résultat remarquable, deux millénaires avant que le calcul infinitésimal ne rende de telles choses banales.