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Le théorème de Pythagore n'est pas une vérité sur les triangles
Fixez les côtés de l'angle droit à 3 et 4, maintenez l'angle entre eux à exactement 90°, et tracez le triangle sur une sphère plutôt que sur une feuille. L'hypoténuse donne 4,57.
Prenez un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4. L'hypoténuse vaut 5, et elle vaut 5 depuis aussi longtemps qu'on pose la question. Maintenant, conservez les deux côtés à 3 et 4, maintenez l'angle entre eux à exactement 90°, et tracez ce même triangle à la surface d'une sphère. L'hypoténuse ne vaut plus 5. Sur une sphère de rayon 3,62, elle vaut environ 4,57. Tracez-le sur une surface hyperbolique de même rayon, et elle vaut environ 5,31.
Rien n'a changé dans le triangle. L'angle droit est toujours un angle droit ; les deux côtés valent toujours 3 et 4. Ce qui a changé, c'est l'espace.
Ce qui le remplace
Sur une sphère de rayon R, la relation entre les trois côtés d'un triangle rectangle est
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
et sur une surface hyperbolique, c'est la même relation avec les fonctions hyperboliques :
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Aucune de ces deux formules ne ressemble à a² + b² = c². Mais développez l'une ou l'autre en série pour de petites valeurs de a/R et de b/R — c'est-à-dire en laissant la surface devenir grande par rapport au triangle — et le premier terme qui subsiste est le carré. Toutes deux se réduisent à a² + b² = c². Le théorème familier est le cas limite de ces deux lois courbes à la fois, une position singulière et plutôt remarquable à occuper.
Il ne s'agit pas d'une curiosité de géométrie exotique. C'est la raison pour laquelle ce théorème est équivalent au postulat des parallèles d'Euclide : supposez l'un, et vous pouvez démontrer l'autre. Pendant deux mille ans, les mathématiciens ont tenté de déduire le postulat des parallèles des quatre autres axiomes d'Euclide, et la raison de leur échec est qu'il n'en est pas déductible. C'est un choix, et le choisir revient exactement à affirmer que a² + b² = c².
Le second symptôme
L'hypoténuse n'est pas la seule à varier. Observez les angles.
Sur la sphère, ce triangle 3-4 présente, aux côtés de son angle droit, des angles d'environ 50,7° et 69,7°, soit un total de 210,3°, alors qu'un triangle plat donnerait 180°. Sur la surface hyperbolique, les deux mêmes côtés donnent 26,8° et 40,9°, soit un total de 157,7°. La somme des angles dépasse 180° sur une sphère et reste en deçà dans l'espace hyperbolique, et elle n'atteint exactement 180° qu'en un seul endroit.
Ces deux symptômes ne sont pas indépendants. Sur une surface de courbure constante, les trois côtés étant pris le long de géodésiques, l'écart entre la somme des angles et 180° est exactement égal à la courbure multipliée par l'aire du triangle. C'est le théorème de Gauss-Bonnet sous sa forme la plus simple ; dans le cas général, il intègre la courbure sur la région plutôt que de la multiplier. Ainsi, sur une surface dont la courbure est connue, les trois angles d'un triangle déterminent son aire. Nul besoin de longueurs.
Le Pythagoras Lab fait exactement cela. Déplacez le curseur de courbure et les deux valeurs varient ensemble, tandis que les côtés et l'angle droit restent fixés.
Pourquoi cela importe
Un géomètre mesurant un chantier peut utiliser a² + b² = c² sans arrière-pensée ; sur une centaine de mètres, la courbure de la Terre n'introduit qu'une erreur bien inférieure à la précision du ruban. Un géodésien établissant un réseau géodésique national ne le peut pas. L'erreur du calcul plan croît avec le cube de la taille du triangle : doublez chaque côté, et elle est multipliée par huit. C'est pourquoi les réseaux de triangulation couvrant un pays ont toujours été calculés avec des formules sphériques ou ellipsoïdales, et pourquoi les mathématiques d'un récepteur GPS ne sont pas celles d'un manuel scolaire.
Et en relativité générale, la courbure n'est pas la propriété d'une surface plongée dans l'espace ; c'est une propriété de l'espace-temps lui-même, engendrée par la masse et l'énergie. L'affirmation « l'espace est plat ici » est un énoncé physique sur la distribution locale de matière, vérifiable en mesurant des triangles. C'est en ce sens que le théorème de Pythagore est une proposition empirique plutôt qu'une certitude mathématique : il s'applique là où l'espace-temps est plat, et l'espace-temps n'est pas plat partout.
La démonstration repose sur la forme, non sur la taille
Compte tenu de la dépendance de ce théorème envers la planéité, sa démonstration plane est remarquablement simple.
Abaissez la perpendiculaire issue de l'angle droit sur l'hypoténuse. Elle coupe celle-ci en un point, divisant l'hypoténuse de longueur c en deux morceaux, p et q. Observez les deux petits triangles ainsi formés : chacun possède un angle droit, et chacun partage l'un de ses autres angles avec le triangle d'origine. Trois angles égaux signifient que les triangles ont la même forme : ils sont semblables au triangle initial et semblables entre eux.
Des triangles semblables ont des côtés proportionnels. Appliquez cela à chaque morceau et vous obtenez a² = c·p et b² = c·q. Additionnez-les : a² + b² = c(p + q) = c². Tout le théorème se résume à une perpendiculaire et au fait que des angles égaux imposent des côtés proportionnels.
Ce dernier fait est lui-même euclidien, et la boucle est ainsi bouclée. Sur une sphère, il n'existe aucun triangle semblable de tailles différentes : fixez les trois angles et vous fixez l'aire, si bien qu'on ne peut pas modifier l'échelle d'un triangle sans changer sa forme. La démonstration et le théorème qu'elle démontre tiennent ou s'effondrent ensemble, et ne tiennent tous deux que sur une surface plane.
Vous pouvez observer chaque étape dans le Similar Triangles Lab, où cette propriété euclidienne est mise à l'épreuve : faites glisser le facteur d'échelle d'un quart à six, et les trois mesures d'angles refusent de bouger.
Une remarque sur les carrés
Une dernière chose dont le théorème n'a pas besoin : les carrés.
Construisez n'importe quelle figure sur les trois côtés — des demi-cercles, des pentagones, des silhouettes de chats — et pourvu que toutes trois soient semblables entre elles, la somme des deux figures sur les côtés de l'angle droit est toujours égale à celle sur l'hypoténuse. Euclide l'énonce dans les Éléments VI.31, et cela s'explique par la même raison que tout le reste ici : l'aire varie comme le carré de la longueur, si bien que le rapport entre les trois figures est déterminé par le rapport entre les trois côtés, quelles que soient ces figures.
Utilisez des demi-cercles, et un résultat saisissant apparaît. Le demi-cercle sur l'hypoténuse passe exactement par le sommet de l'angle droit, et les deux lunules situées à l'extérieur ont une aire combinée exactement égale à celle du triangle. Hippocrate de Chios a découvert cela vers 440 av. J.-C., et c'était la première fois que l'on démontrait qu'une surface à bords courbes pouvait avoir exactement la même aire qu'une surface à côtés rectilignes — un résultat authentique, deux millénaires avant que le calcul infinitésimal ne rende ces questions banales.