本稿は機械翻訳であり、原文は英語です。 原文を読む
ピタゴラスの定理は三角形についての事実ではない
直角を挟む2辺の長さを3と4にし、その間の角を正確に90°に保ったまま、紙の上ではなく球面上に三角形を描く。すると、斜辺の長さは4.57となる。
直角を挟む2辺の長さが3と4の直角三角形を考える。斜辺の長さは5であり、人々が問い続けてきた長い歴史の中で、常に5であり続けてきた。ここで、両方の直角辺を3と4のまま保ち、その間の角を正確に90°に保ったまま、紙の上ではなく球面上に同じ三角形を描いてみる。斜辺はもはや5ではない。半径3.62の球面上では、およそ4.57になる。同じ半径の双曲面上に描くと、およそ5.31になる。
三角形については何ひとつ変わっていない。直角は依然として直角であり、2つの直角辺も変わらず3と4である。変わったのは空間の方である。
何がそれに代わるのか
半径Rの球面上において、直角三角形の3辺の間の関係は次のようになる。
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
そして双曲面上では、双曲線関数を用いた同じ形の式となる。
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
これらのどちらも、a² + b² = c² には見えない。しかし、a/R および b/R が小さいとしていずれかを級数展開すると——つまり、三角形に対して曲面が十分大きくなると——生き残る最初の項は2乗の項である。どちらも a² + b² = c² に帰着する。見慣れたこの定理は、曲がった空間における2つの法則の双方に対する極限の姿であり、ひとつの命題が占める位置としては妙味があり、美しくもある。
これはエキゾチックな幾何学に関する単なる好奇心の対象ではない。それこそが、この定理がユークリッドの平行線公準と同値である理由なのだ。一方を仮定すれば、もう一方を証明することができる。2000年の間、数学者たちはユークリッドの他の4つの公理から平行線公準を導き出そうと試みたが、彼らが失敗した理由は、それが導出不可能だからである。それはひとつの選択であり、それを選ぶことは a² + b² = c² を主張することと全く同じ行為なのだ。
第2の症状
動くのは斜辺だけではない。角度に注目してみよう。
球面上では、その3-4の三角形は直角のほかに、およそ50.7°と69.7°の角を持ち、合計で210.3°となる（平坦な三角形であれば180°となる）。双曲面上では、同じ2つの直角辺から26.8°と40.9°の角が得られ、合計は157.7°となる。内角の和は球面上では超過し、双曲空間では不足する。そして、ちょうど180°になる場所はただ1つしか存在しない。
これら2つの症状は独立しているわけではない。測地線に沿って3辺をとった常曲率曲面において、内角の和が180°から外れる量は、曲率に三角形の面積を掛け合わせたものに正確に一致する。これが最も簡単な形でのガウス・ボネの定理である——一般には、単に曲率を掛け合わせるのではなく、領域全体にわたって曲率を積分する——そしてここには、じっくり思索するに値する帰結がある。このような三角形の面積は、3つの角度を測定するだけで決定できるということだ。長さの測定は一切不要である。
Pythagoras Lab はまさにこれを行う。直角辺と直角を固定したまま曲率スライダーをドラッグすると、2つの測定値が連動して変化する。
なぜこれが重要なのか
建築現場を測量する測量士は、何も思案することなく a² + b² = c² を使うことができる。100メートルの範囲では、地球の曲率がもたらす誤差は巻尺の精度よりはるかに小さいからだ。しかし、国家レベルの測量網を設計する測地学者はそうはいかない。平面での計算結果と球面上での計算結果との乖離は、三角形の大きさの2乗に比例して大きくなる。そのため、一国を網羅する三角網の計算には常に球面公式や楕円体公式が用いられてきたのであり、GPS受信機内部の数学が学校の教科書にある数学とは異なるのも、そのためである。
そして一般相対性理論において、曲率とは空間に埋め込まれた曲面の性質ではなく、質量とエネルギーを源泉とする時空そのものの性質である。「ここは空間が平坦である」という声明は、三角形を測定することによって検証可能な、物質の局所的分布に関する物理的な主張なのだ。ピタゴラスの定理が数学的な絶対的真理ではなく経験的命題であるというのは、まさにこのような意味においてである。それは時空が平坦な場所で成立するのであり、時空はあらゆる場所で平坦というわけではないからだ。
証明が扱っているのは大きさではなく形である
この定理が平坦さにいかに依存しているかを考えると、平面におけるその証明は驚くほど手軽である。
直角の頂点から斜辺へ垂線を下ろす。垂線は斜辺上のどこかに着地し、長さcの斜辺をpとqの2つの線分に分割する。これにより生成される2つのより小さな三角形に注目してみよう。それぞれが直角を持ち、かつ元の三角形と他の角の1つを共有している。3つの角がそれぞれ等しいということは、これらの三角形が同じ形であることを意味する——つまり、元の三角形およびお互いに相似なのである。
相似な三角形では、対応する辺の比が等しくなる。これをそれぞれの部分に適用すると、a² = c·p および b² = c·q が得られる。これらを足し合わせると、a² + b² = c(p + q) = c² となる。定理の全体像は、1本の垂線と、「等しい角によって辺の比例関係が決定される」という事実だけに由来している。
この最後の事実自体がユークリッド的であり、ここに論理の輪が閉じる。球面上には、異なる大きさを持つ相似な三角形はまったく存在しない。3つの角を固定すれば面積も固定されるため、形を変えずに三角形を拡大縮小することはできないのである。証明とその証明対象である定理は運命をともにしており、どちらも平坦な面の上でしか成り立たないのである。
その各ステップは Similar Triangles Lab で確認できる。ここではそのユークリッド的波及が検証される。拡大縮小の倍率を4分の1から6までドラッグしても、3つの角度の測定値は頑なに動かない。
正方形に関する補足
この定理が必要としないものがもう1つある。それは正方形である。
3つの辺の上に好きな形をどんなものでも作ってみよう——半円でも、五角形でも、猫のシルエットでもよい。3つの図形が互いに相似でありさえすれば、2つの直角辺上の図形の面積の和は、やはり斜辺上の図形の面積に等しくなる。ユークリッドは『原論』 VI.31でこれを述べており、これが成り立つ理由は本記事で述べた他のすべてのことと同じである。面積は長さの2乗に比例して拡大縮小するため、図形がどのようなものであっても、3つの図形の比率は3つの辺の比率によって固定されるからだ。
半円を用いると、驚くべき結果が得られる。斜辺上の半円は正確に直角の頂点を通る。そして、その外側に残された2つの月形の面積の合計は、元の三角形の面積と完全に等しくなる。キオスのヒポクラテスは紀元前440年頃にこれを発見した。曲線で囲まれた領域の面積が、直線で囲まれた領域の面積と精密に一致し得ることを示したのは、人類史上でこれが初めてのことであった——微分積分学によってそのような計算が日常的になるより、実に2千年前に達成された本物の成果である。