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ピタゴラスは三角形についての事実ではない
直角をはさむ2辺を3と4に保ち、その間の角を正確に90°に保ったまま、紙の上ではなく球面上にその三角形を描いてみる。斜辺は4.57になる。
直角をはさむ2辺が3と4の直角三角形を考える。斜辺は5であり、人が問い始めて以来ずっと5であり続けてきた。ここで両方の辺を3と4のまま保ち、その間の角を正確に90°に保ったまま、同じ三角形を球面上に描いてみる。斜辺はもはや5ではない。半径3.62の球面上では、およそ4.57になる。同じ半径の双曲面上に描くと、およそ5.31になる。
三角形は何一つ変わっていない。直角は依然として直角のままであり、2つの辺も3と4のままである。変わったのは空間のほうだ。
何がそれに代わるのか
半径Rの球面上において、直角三角形の3辺の関係は次のようになる。
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
そして双曲面上では、双曲線関数を用いた同じ関係式になる。
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
どちらの式も、a² + b² = c² には似ていない。だが、いずれの式も a/R と b/R が小さいとして級数展開してみる——すなわち、三角形に比べて曲面を十分大きくしてみると——生き残る最初の項は2乗の項である。どちらも a² + b² = c² に帰着する。親しみ深いこの定理は、曲面におけるこれら2つの法則双方の極限例を同時に占めているのであり、それは奇妙でありながら実に美しい立ち位置である。
これは風変わりな幾何学についての単なる物珍しい話題ではない。この定理がユークリッドの平行線公準と同値である理由は、まさにここにある。すなわち、一方を仮定すれば他方を証明できるのである。2000年もの間、数学者たちは平行線公準をユークリッドの他の4つの公理から導こうと試みたが、それが失敗に終わったのは、そもそも導出不可能だったからである。それは一つの選択であり、それを選ぶことは、a² + b² = c² であると主張することとまったく同じ行為なのだ。
第2の兆候
変化するのは斜辺だけではない。角に注目してほしい。
球面上では、その3-4の三角形は直角のほかに約50.7°と69.7°の角を持ち、合計は210.3°となるが、平坦な三角形なら180°である。双曲面上では、同じ2辺から26.8°と40.9°の角が生じ、合計は157.7°となる。内角の和は球面上では超過し、双曲空間では不足し、ちょうど180°に達する場所はたった1箇所しか存在しない。
これら2つの兆候は独立したものではない。定曲率曲面において、3辺を測地線に沿って取った場合、内角の和が180°から外れる量は、まさに曲率に三角形の面積を掛け合わせたものになる。それが最も単純な形におけるガウス・ボネの定理である。一般的には、単に曲率を掛け合わせるのではなく、その領域全体にわたって曲率を積分する。したがって、曲率が既知である曲面上では、三角形の3つの角がその面積を決定する。長さの情報は一切必要ない。
Pythagoras Lab はまさにこれを行う。曲率のスライダーをドラッグすると、直角をはさむ2辺と直角は固定されたまま、両方の測定値が連動して変化する。
なぜこれが重要なのか
建設現場を測定する測量士なら、何の気兼ねもなく a² + b² = c² を使うことができる。100メートル程度の距離では、地球の曲率がもたらす誤差は巻尺の精度よりはるかに小さいからだ。しかし、国家の測量網を設計する測地学者にそれはできない。平坦であることを前提とした解の誤差は、三角形の大きさの3乗に比例して増大する。すべての辺を2倍にすれば、誤差は8倍になる。国全体を覆う三角測量網が昔から常に球面や回転楕円体の公式で計算されてきたのも、GPS受信機の中の数学が学校の教科書の数学とは異なるのも、そのためである。
そして一般相対性理論において、曲率は空間に埋め込まれた曲面の性質ではない。それは質量とエネルギーによって生じる時空そのものの性質である。「この場所の空間は平坦である」という言明は、局所的な物質の分布に関する物理学的主張であり、三角形を測定することによって検証できる。ピタゴラスが数学的必然というよりも経験的な命題であるというのは、まさにこうした意味においてである。それは時空が平坦な場所で成り立ち、そして時空はあらゆる場所で平坦なわけではない。
証明が扱っているのは大きさではなく形である
この定理が平坦さにどれほど依存しているかを考えると、平坦な面におけるその証明は驚くほどあっけない。
直角から斜辺へ垂線を下ろす。その垂線は斜辺のどこかに交わり、長さcの斜辺をpとqという2つの部分に分割する。これによって生じる2つの小さな三角形を見てみよう。それぞれが直角を持ち、それぞれが直角以外の角の1つをもとの三角形と共有している。3つの角が一致することは、それらの三角形が同じ形をしていることを意味する。すなわち、もとの三角形とも、また互い同士とも相似なのである。
相似な三角形の対応する辺の比は等しい。これをそれぞれの三角形に適用すると、a² = c·p および b² = c·q が得られる。両者を足し合わせれば、a² + b² = c(p + q) = c² となる。定理の全体は、1本の垂線と、角が等しければ辺の比が等しくなるという事実だけから成り立っている。
その最後の事実自体がユークリッド的であり、ここに論理の輪が閉じる。球面上には、大きさが異なる相似な三角形はまったく存在しない。3つの角を固定すれば面積が決まってしまうため、形を変えずに三角形を拡大・縮小することはできないからだ。証明とその証明対象である定理とは命運を共にしており、双方が成り立つのは平坦な面の上においてのみである。
その各段階は Similar Triangles Lab で確かめることができる。そこはまさにそのユークリッド的な事実が検証される場所である。倍率を4分の1から6までドラッグしても、3つの角の測定値は微動だにしない。
正方形に関する補足
この定理が必要としないものが、もう1つある。正方形だ。
3つの辺の上に、どんな図形を描いてもよい——半円でも、五角形でも、猫のシルエットでも——その3つがすべて互いに相似でありさえすれば、直角をはさむ2辺の上の図形を足し合わせると、やはり斜辺の上の図形に等しくなる。ユークリッドは『原論』第6巻命題31でこれを述べており、それが成り立つ理由は、これまで述べてきた他のすべてと同じである。すなわち、面積は長さの2乗に比例するため、図形が何であれ、3つの図形の面積比は3辺の比によって決まるのである。
半円を用いると、驚くべき結果が現れる。斜辺の上の半円はちょうど直角を通り、その外側に残された2つの三日月形の面積の合計は、元の三角形の面積と正確に等しくなる。キオスのヒポクラテスは紀元前440年頃にこれを発見したが、曲線で囲まれた領域が直線で囲まれた図形と正確に同じ面積を持ち得ることを示したのは、これが史上初めてであった——微積分によってそうした計算が日常的なものになるより2000年も前の、真の成果である。