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Pythagoras não é um facto sobre triângulos
Mantenha os catetos em 3 e 4, mantenha o ângulo entre eles em exatamente 90° e desenhe o triângulo numa esfera em vez de numa página. A hipotenusa resulta em 4,57.
Considere um triângulo retângulo com catetos de 3 e 4. A hipotenusa é 5, e tem sido 5 desde que a pergunta é feita. Agora mantenha ambos os catetos em 3 e 4, mantenha o ângulo entre eles em exatamente 90° e desenhe o mesmo triângulo na superfície de uma esfera. A hipotenusa já não é 5. Numa esfera de raio 3,62, resulta em cerca de 4,57. Desenhe-o numa superfície hiperbólica com o mesmo raio e resulta em cerca de 5,31.
Nada no triângulo mudou. O ângulo reto continua a ser um ângulo reto; os dois catetos continuam a ser 3 e 4. O que mudou foi o espaço.
O que o substitui
Numa esfera de raio R, a relação entre os três lados de um triângulo retângulo é
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
e numa superfície hiperbólica é a mesma relação com as funções hiperbólicas:
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Nenhuma destas expressões se parece com a² + b² = c². Mas ao desenvolver qualquer uma delas em série para valores pequenos de a/R e b/R — isto é, deixando a superfície tornar-se grande em comparação com o triângulo —, o primeiro termo que subsiste é o quadrado. Ambas colapsam em a² + b² = c². O teorema familiar é o caso limite de ambas as leis curvas ao mesmo tempo, o que é uma posição estranha e bastante bela para algo ocupar.
Isto não é uma curiosidade sobre geometria exótica. É a razão pela qual o teorema é equivalente ao postulado dos paralelos de Euclid: assuma qualquer um deles e poderá provar o outro. Durante dois mil anos, os matemáticos tentaram deduzir o postulado dos paralelos a partir dos outros quatro axiomas de Euclid, e a razão pela qual falharam é que ele não é dedutível — é uma escolha, e escolhê-lo é o mesmo ato que afirmar que a² + b² = c².
O segundo sintoma
A hipotenusa não é a única coisa que muda. Observe os ângulos.
Na esfera, aquele triângulo 3-4 tem ângulos de cerca de 50,7° e 69,7° além do seu ângulo reto — um total de 210,3°, quando um triângulo plano daria 180°. Na superfície hiperbólica, os mesmos dois catetos dão 26,8° e 40,9°, perfazendo 157,7°. A soma dos ângulos ultrapassa numa esfera e fica aquém no espaço hiperbólico, e atinge os 180° num único lugar.
Os dois sintomas não são independentes. Numa superfície de curvatura constante, com os três lados tomados ao longo de geodésicas, a diferença entre a soma dos ângulos e 180° é exatamente a curvatura multiplicada pela área do triângulo. Esse é o teorema de Gauss–Bonnet na sua forma mais simples — em geral, integra a curvatura sobre a região em vez de multiplicar por ela — e tem uma consequência sobre a qual vale a pena refletir: pode determinar a área de tal triângulo medindo apenas os seus três ângulos. Sem necessidade de comprimentos.
O Pythagoras Lab faz exatamente isto. Arraste o cursor da curvatura e ambas as leituras movem-se juntas enquanto os catetos e o ângulo reto permanecem fixos.
Por que razão alguém se haveria de importar
Um topógrafo a medir um terreno de construção pode usar a² + b² = c² sem hesitar; ao longo de cem metros, a curvatura da Terra contribui com um erro muito inferior à precisão da fita métrica. Um geodésico a projetar uma rede geodésica nacional não o pode fazer. A discrepância entre a resposta plana e a resposta esférica cresce com o quadrado do tamanho do triângulo, razão pela qual as redes de triangulação que cobrem um país sempre foram calculadas com fórmulas esféricas ou elipsoidais, e pela qual a matemática num recetor GPS não é a matemática de um manual escolar.
E na relatividade geral, a curvatura não é uma propriedade de uma superfície imersa no espaço — é uma propriedade do próprio espaço-tempo, originada pela massa e pela energia. A afirmação "o espaço é plano aqui" é uma alegação física sobre a distribuição local de matéria, testável através da medição de triângulos. É nesse sentido que Pythagoras é uma proposição empírica e não uma certeza matemática: é válido onde o espaço-tempo é plano, e o espaço-tempo não é plano em todo o lado.
A demonstração é sobre a forma, não o tamanho
Tendo em conta o quanto o teorema depende da planicidade, a sua demonstração no plano é surpreendentemente simples.
Baixe uma perpendicular a partir do ângulo reto sobre a hipotenusa. Esta interseta a hipotenusa algures, dividindo a hipotenusa de comprimento c em dois segmentos, p e q. Observe os dois triângulos menores assim criados: cada um tem um ângulo reto, e cada um partilha um dos seus outros ângulos com o triângulo original. Três ângulos coincidentes significam que os triângulos têm a mesma forma — são semelhantes ao original e entre si.
Triângulos semelhantes têm lados proporcionais. Aplique isso a cada segmento e obtém a² = c·p e b² = c·q. Some-os: a² + b² = c(p + q) = c². Todo o teorema se resume a uma linha perpendicular mais o facto de ângulos iguais determinarem lados proporcionais.
Esse último facto é ele próprio euclidiano, fechando-se assim o ciclo. Numa esfera não existem de todo triângulos semelhantes de tamanhos diferentes: ao fixar os três ângulos, fixou a área, pelo que não pode alterar a escala de um triângulo sem alterar a sua forma. A demonstração e o teorema que ela prova mantêm-se ou caem juntos, e ambos se mantêm apenas numa superfície plana.
Pode observar cada passo no Similar Triangles Lab, que é onde esse facto euclidiano é testado: arraste o fator de escala de um quarto para seis, e as três leituras dos ângulos recusam-se a mover.
Uma nota de rodapé sobre quadrados
Mais uma coisa que o teorema não exige: quadrados.
Construa qualquer figura que deseje sobre os três lados — semicírculos, pentágonos, silhuetas de gatos — e, desde que as três sejam semelhantes entre si, as duas sobre os catetos continuam a somar a figura sobre a hipotenusa. Euclid afirma isto em Elements VI.31, e é válido pela mesma razão que tudo o resto aqui: a área varia com o quadrado do comprimento, pelo que a razão entre as três figuras é determinada pela razão entre os três lados, independentemente de quais forem as figuras.
Use semicírculos e surge algo surpreendente. O semicírculo sobre a hipotenusa passa exatamente pelo ângulo reto, e as duas lúnulas que sobram no exterior têm uma área combinada exatamente igual à do triângulo. Hippocrates of Chios descobriu isso por volta de 440 a.C., e foi a primeira vez que alguém demonstrou que uma região com limites curvos poderia ter precisamente a área de uma região de lados retos — um resultado notável, dois milénios antes de o cálculo infinitesimal tornar tais coisas rotineiras.