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Pitágoras não é um facto sobre triângulos
Mantenha os catetos em 3 e 4, mantenha o ângulo entre eles em exatamente 90° e desenhe o triângulo numa esfera em vez de numa folha. A hipotenusa resulta em 4,57.
Considere um triângulo retângulo com catetos de 3 e 4. A hipotenusa é 5, e tem sido 5 desde que há memória de alguém fazer a pergunta. Agora mantenha ambos os catetos em 3 e 4, mantenha o ângulo entre eles em exatamente 90° e desenhe o mesmo triângulo na superfície de uma esfera. A hipotenusa já não é 5. Numa esfera de raio 3,62, resulta em cerca de 4,57. Desenhe-o numa superfície hiperbólica com o mesmo raio e resulta em cerca de 5,31.
Nada no triângulo mudou. O ângulo reto continua a ser um ângulo reto; os dois catetos continuam a ser 3 e 4. O que mudou foi o espaço.
O que o substitui
Numa esfera de raio R, a relação entre os três lados de um triângulo retângulo é
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
e numa superfície hiperbólica é a mesma expressão com as funções hiperbólicas:
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Nenhuma destas se assemelha a a² + b² = c². Mas desenvolvendo qualquer uma delas em série para valores pequenos de a/R e b/R — isto é, deixando a superfície tornar-se grande em comparação com o triângulo —, o primeiro termo que sobrevive é o termo quadrático. Ambas colapsam em a² + b² = c². O teorema familiar é o caso limite de ambas as leis curvas em simultâneo, o que constitui uma posição estranha e bastante bela para algo ocupar.
Isto não é uma curiosidade sobre geometria exótica. É a razão pela qual o teorema é equivalente ao postulado das paralelas de Euclides: assuma um deles e poderá provar o outro. Durante dois mil anos, os matemáticos tentaram deduzir o postulado das paralelas a partir dos outros quatro axiomas de Euclides, e a razão pela qual falharam é que ele não é dedutível. Trata-se de uma escolha, e escolhê-lo é o mesmo ato que afirmar que a² + b² = c².
O segundo sintoma
A hipotenusa não é a única coisa que varia. Repare nos ângulos.
Na esfera, esse triângulo 3-4 tem ângulos de cerca de 50,7° e 69,7° juntamente com o seu ângulo reto, perfazendo 210,3°, quando um triângulo plano daria 180°. Na superfície hiperbólica, os mesmos dois catetos originam 26,8° e 40,9°, totalizando 157,7°. A soma dos ângulos internos ultrapassa os 180° numa esfera e fica aquém no espaço hiperbólico, atingindo os 180° exatamente num único lugar.
Os dois sintomas não são independentes. Numa superfície de curvatura constante, tomando os três lados ao longo de geodésicas, a quantidade pela qual a soma dos ângulos difere de 180° é exatamente a curvatura multiplicada pela área do triângulo. Este é o teorema de Gauss–Bonnet na sua forma mais simples; de modo geral, ele integra a curvatura sobre a região em vez de multiplicar por ela. Assim, numa superfície cuja curvatura já conhecemos, os três ângulos de um triângulo fixam a sua área. Sem necessidade de comprimentos.
O Pythagoras Lab faz precisamente isto. Arraste o seletor da curvatura e ambas as leituras movem-se em conjunto, enquanto os catetos e o ângulo reto permanecem fixos.
Por que razão alguém se haveria de importar
Um topógrafo a medir um estaleiro de obras pode usar a² + b² = c² sem pensar duas vezes; ao longo de cem metros, a curvatura da Terra introduz um erro muito inferior à precisão da fita métrica. Um geodesta a estabelecer uma rede geodésica nacional não o pode fazer. O erro na resposta plana cresce com o cubo do tamanho do triângulo: ao duplicar cada lado, o erro multiplica-se por oito. É por isso que as redes de triangulação que cobrem um país sempre foram calculadas com fórmulas esféricas ou elipsoidais, e é por isso que a matemática num recetor GPS não é a matemática de um manual escolar.
E na relatividade geral a curvatura não é uma propriedade de uma superfície embebida no espaço; é uma propriedade do próprio espaço-tempo, gerada pela massa e pela energia. A afirmação «o espaço aqui é plano» é uma asserção física sobre a distribuição local de matéria, testável através da medição de triângulos. É nesse sentido que Pitágoras é uma proposição empírica e não uma certeza matemática: é válido onde o espaço-tempo é plano, e o espaço-tempo não é plano em todo o lado.
A demonstração diz respeito à forma, não ao tamanho
Tendo em conta o quanto o teorema depende da planaridade, a demonstração plana do mesmo é extraordinariamente económica.
Trace uma perpendicular a partir do ângulo reto até à hipotenusa. Ela incide num ponto, dividindo a hipotenusa de comprimento c em dois segmentos, p e q. Observe os dois triângulos menores que isto origina: cada um tem um ângulo reto e partilha um dos seus outros ângulos com o triângulo original. Três ângulos coincidentes significam que os triângulos têm a mesma forma: são semelhantes ao original e semelhantes entre si.
Triângulos semelhantes têm lados proporcionais. Aplicando esse princípio a cada segmento, obtém-se a² = c·p e b² = c·q. Somando-os: a² + b² = c(p + q) = c². O teorema inteiro resume-se a uma reta perpendicular e ao facto de ângulos iguais forçarem lados proporcionais.
Este último facto é, ele próprio, euclidiano, fechando o ciclo. Numa esfera não existem sequer triângulos semelhantes de tamanhos diferentes: fixados os três ângulos, a área fica fixada, pelo que não é possível mudar a escala de um triângulo sem alterar a sua forma. A demonstração e o teorema que ela prova sustentam-se ou caem juntos, e ambos só se sustentam numa superfície plana.
Pode acompanhar cada passo no Similar Triangles Lab, que é onde esse facto euclidiano é testado: arraste o fator de escala de um quarto até seis e os valores dos três ângulos recusam-se a mudar.
Uma nota de rodapé sobre quadrados
Mais uma coisa que o teorema não exige: quadrados.
Construa qualquer figura que deseje sobre os três lados — semicírculos, pentágonos, silhuetas de gatos — e, desde que as três sejam semelhantes entre si, as duas sobre os catetos continuarão a somar a que se encontra sobre a hipotenusa. Euclides afirma isto nos Elementos VI.31, e a afirmação mantém-se pela mesma razão que tudo o resto aqui se mantém: a área varia com o quadrado do comprimento, pelo que a razão entre as três figuras é determinada pela razão entre os três lados, independentemente de quais sejam as figuras.
Se utilizarmos semicírculos, surge algo surpreendente. O semicírculo sobre a hipotenusa passa exatamente pelo ângulo reto, e as duas lúnulas que restam fora dele têm uma área combinada exatamente igual à do triângulo. Hipócrates de Quio descobriu isto por volta de 440 a.C., e foi a primeira vez que alguém demonstrou que uma região com limites curvos podia ter com rigor a área de uma região com lados retos — um resultado autêntico, dois milénios antes de o cálculo infinitesimal tornar tais coisas rotineiras.