Tegemist on masintõlkega, mille originaaltekst on inglise keeles. Loe originaali
Pythagoras ei ole fakt kolmnurkade kohta
Hoiad kaateteid pikkusega 3 ja 4 ning nende vahelist nurka täpselt 90° juures ja joonistad kolmnurga paberilehe asemel kerale. Hüpotenuusi pikkuseks tuleb 4,57.
Võta täisnurkne kolmnurk kaatetitega 3 ja 4. Hüpotenuus on 5, ja see on olnud 5 nii kaua, kui seda on küsitud. Nüüd hoia mõlemad kaatetid pikkustel 3 ja 4, hoia nurk nende vahel täpselt 90° juures ning joonista sama kolmnurk kera pinnale. Hüpotenuus ei ole enam 5. Keral raadiusega 3,62 tuleb selleks umbes 4,57. Joonista see sama raadiusega hüperboolsele pinnale ja tulemuseks on umbes 5,31.
Kolmnurga juures ei muutunud miski. Täisnurk on ikka täisnurk; kaks kaatetit on ikka 3 ja 4. Muutus hoopis ruum.
Mis astub selle asemele
Keral raadiusega R on täisnurkse kolmnurga kolme külje vaheline seos
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
ja hüperboolsel pinnal on see sama seos hüperboolsete funktsioonidega:
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Kumbki neist ei sarnane valemiga a² + b² = c². Kuid arenda kumb tahes neist reasse väikeste a/R ja b/R suhtes — see tähendab, lase pinnal muutuda kolmnurgaga võrreldes suureks — ja esimene alles jääv liige on ruut. Mõlemad taanduvad seosele a² + b² = c². Tuttav teoreem on mõlema kõverpinna seaduse piirjuht korraga, mis on ühe tulemuse jaoks kummaline ja üsna kaunis positsioon.
See ei ole lihtsalt eksootilise geomeetria kurioosum. Just sel põhjusel on teoreem samaväärne Eukleidese paralleelide postulaadiga: eelda ühte ja saad tõestada teise. Kaks tuhat aastat üritasid matemaatikud tuletada paralleelide postulaati Eukleidese ülejäänud neljast aksioomist ning nende ebaõnnestumise põhjus seisneb selles, et see ei ole tuletatav — see on valik, ja selle valimine on võrdväärne väitega, et a² + b² = c².
Teine sümptom
Hüpotenuus ei ole ainus asi, mis muutub. Jälgi nurki.
Keral on sellel 3-4 kolmnurgal lisaks täisnurgale nurgad umbes 50,7° ja 69,7° — kokku 210,3°, kuigi tasapinnaline kolmnurk annaks 180°. Hüperboolsel pinnal annavad samad kaks kaatetit nurkadeks 26,8° ja 40,9°, mis teeb kokku 157,7°. Nurkade summa ületab keral 180° ning jääb hüperboolses ruumis sellest väiksemaks, saavutades 180° täpselt ühes kohas.
Need kaks sümptomit ei ole üksteisest sõltumatud. Konstantse kõverusega pinnal, kus kolm külge kulgevad piki geodeetilisi jooni, on nurkade summa erinevus 180°-st täpselt võrdne kõveruse ja kolmnurga pindala korrutisega. See on Gaussi-Bonnet' teoreem oma kõige lihtsamal kujul — üldjuhul integreerib see kõveruse üle piirkonna, mitte ei korruta sellega —, ning sellel on järeldus, mille üle tasub viivuks mõelda: sellise kolmnurga pindala saab määrata mõõtes mitte midagi muud kui selle kolme nurka. Pikkusi polegi vaja.
Tööriist Pythagoras Lab teeb täpselt seda. Lohista kõveruse liugurit ja mõlemad näidud liiguvad koos, samal ajal kui kaatetid ja täisnurk jäävad paigale.
Miks see peaks korda minema
Ehitusplatsi mõõdistav maamõõtja saab kasutada seost a² + b² = c² pikemalt mõtlemata; saja meetri ulatuses annab Maa kõverus vea, mis jääb kaugele alla mõõtelindi täpsuse. Riiklikku geodeetilist võrku rajav geodeet seda teha ei saa. Erinevus tasapinnalise ja sfäärilise tulemuse vahel kasvab võrdeliselt kolmnurga suuruse ruuduga, mistõttu on terveid riike katvaid triangulatsioonivõrke alati arvutatud sfääriliste või ellipsoidaalsete valemitega — ja miks GPS-vastuvõtjas kasutatav matemaatika ei ole see matemaatika, mida õpetatakse kooliõpikus.
Üldrelatiivsusteoorias ei ole kõverus mitte ruumi sisestatud pinna omadus, vaid aegruumi enda omadus, mille allikaks on mass ja energia. Väide „ruum on siin tasane“ on füüsikaline väide aine kohaliku jaotuse kohta, mida saab kontrollida kolmnurki mõõtes. Selles mõttes on Pythagorase teoreem empiiriline väide, mitte matemaatiline paratamatus: see kehtib seal, kus aegruum on tasane, ning aegruum ei ole tasane mitte igal pool.
Tõestus puudutab kuju, mitte suurust
Arvestades, kui palju teoreem sõltub tasasusest, on selle tasapinnaline tõestus märkimisväärselt lihtne.
Langeta täisnurgast ristsirge hüpotenuusile. See langeb kuhugi, jagades pikkusega c hüpotenuusi kaheks lõiguks, p ja q. Vaatleme kahte väiksemat tekkinud kolmnurka: mõlemal on täisnurk ja mõlemad jagavad ühte oma ülejäänud nurkadest algse kolmnurgaga. Kolm ühtivat nurka tähendab, et kolmnurgad on sama kujuga — need on sarnased nii algse kolmnurgaga kui ka omavahel.
Sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised. Rakenda seda mõlema osa suhtes ning saad a² = c·p ja b² = c·q. Liida need: a² + b² = c(p + q) = c². Kogu teoreem taandub ühele ristsirgele ja faktile, et võrdsed nurgad tingivad külgede võrdelisuse.
See viimane fakt on ise eukleidiline, mis sulgebki ringi. Keral ei leidu eri suurusega sarnaseid kolmnurki üldse: fikseerides kolm nurka, on sellega fikseeritud ka pindala, seega ei saa kolmnurga mõõtmeid muuta ilma selle kuju muutmata. Tõestus ja sellega tõestatav teoreem püsivad või langevad koos — ja mõlemad kehtivad vaid tasasel pinnal.
Saad igat sammu jälgida tööriistas Similar Triangles Lab, kus seda eukleidilist fakti katsetatakse: lohista skaalategurit veerandist kuueni ning kolm nurkanäitu keelduvad liikumast.
Allmärkus ruutude kohta
Veel üks asi, mida teoreem ei vaja: ruute.
Ehita kolmele küljele mistahes kujund — poolringid, viisnurgad, kasside siluetid — ning eeldusel, et need kolm on omavahel sarnased, annavad kaatetitele ehitatud kujundite pindalad ikka kokku hüpotenuusile ehitatud kujundi pindala. Eukleides esitab selle teose Elemendid VI.31 lõigus ning see kehtib samal põhjusel kui kõik muu siin: pindala muutub võrdeliselt pikkuse ruuduga, mistõttu kolme kujundi suhe on määratud kolme külje suhtega, millised need kujundid ka poleks.
Kasuta poolringe ja ilmsiks tuleb midagi üllatavat. Hüpotenuusile ehitatud poolring läbib täpselt täisnurka ning kahest sellest väljapoole jäävast kuukesest moodustub pindala, mis võrdub täpselt kolmnurga pindalaga. Chiosi Hippokrates avastas selle umbes 440. aastal eKr ja see oli esimene kord, kui keegi näitas, et kõverate servadega kujundil saab olla täpselt sama pindala kui sirgete servadega kujundil — tõeline tulemus kaks aastatuhandet enne seda, kui matemaatiline analüüs tegi sellised asjad tavapäraseks.