Tegemist on masintõlkega; ingliskeelne tekst on originaal. Loe originaali
Pythagoras ei räägi kolmnurkadest
Valige kaatetite pikkuseks 3 ja 4, hoidke nendevaheline nurk täpselt 90° ning joonestage kolmnurk paberilehe asemel sfäärile. Hüpotenuusi pikkuseks tuleb 4,57.
Võtame täisnurkse kolmnurga kaatetitega 3 ja 4. Hüpotenuus on 5 ja see on olnud 5 sellest ajast peale, kui keegi üldse küsima hakkas. Hoiame nüüd mõlemad kaatetid pikkustel 3 ja 4, nendevahelise nurga täpselt 90° ning joonestame sama kolmnurga sfääri pinnale. Hüpotenuus ei ole enam 5. Sfääril raadiusega 3,62 tuleb selle pikkuseks ligikaudu 4,57. Kui joonestada see sama raadiusega hüperboolsele pinnale, tuleb pikkuseks umbes 5,31.
Kolmnurga juures ei muutunud miski. Täisnurk on endiselt täisnurk, kaks kaatetit on ikka 3 ja 4. Muutus ruum ise.
Mis tuleb asemele
Sfääril raadiusega R on täisnurkse kolmnurga kolme külje vaheline seos järgmine:
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
ja hüperboolsel pinnal kehtib sama seos hüperboolsete funktsioonidega:
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Kumbki neist ei meenuta seost a² + b² = c². Kui aga arendada ükskõik kumb reaks suhte a/R ja b/R väikeste väärtuste korral — teisisõnu lasta pinnal kolmnurgaga võrreldes väga suureks kasvada —, on esimene allesjääv liige ruutliige. Mõlemad taanduvad kujule a² + b² = c². Tuttav teoreem on mõlema kõvera pinna seaduspärasuse üheaegne piirjuht — veider ja üsna kaunis roll ühe matemaatilise tõe jaoks.
See pole pelk kurioosum eksootilisest geomeetriast. Just sel põhjusel on teoreem samaväärne Eukleidese paralleelide aksioomiga: eeldades ühte, saab tõestada teise. Kaks tuhat aastat püüdsid matemaatikud tuletada paralleelide aksioomi Eukleidese ülejäänud neljast aksioomist, ja nende ebaõnnestumise põhjus oli see, et seda ei olegi võimalik tuletada. Tegemist on valikuga, ja selle valimine tähendab täpselt sama mis väita, et a² + b² = c².
Teine tunnus
Hüpotenuus pole ainus, mis paigast nihkub. Jälgige nurki.
Sfääril on kõnealuse 3-4 kolmnurga nurgad täisnurga kõrval umbes 50,7° ja 69,7°, mis teeb summaks 210,3°, samal ajal kui tasapinnaline kolmnurk annaks 180°. Hüperboolsel pinnal annavad samad kaks kaatetit nurkadeks 26,8° ja 40,9°, summaga 157,7°. Nurkade summa ületab 180° sfääril ja jääb sellest väiksemaks hüperboolses ruumis, tabades 180° täpselt ühesainsas kohas.
Need kaks tunnust ei ole teineteisest sõltumatud. Konstantse kõverusega pinnal, kus kolm külge kulgevad piki geodeetilisi jooni, on nurkade summa hälve 180°-st täpselt võrdne pinna kõveruse ja kolmnurga pindala korrutisega. See on Gaussi-Bonnet' teoreem oma lihtsaimal kujul; üldjuhul integreeritakse kõverust üle vastava piirkonna, mitte ei korrutata sellega. Nii määrab kolmnurga kolm nurka tuntud kõverusega pinnal selle pindala üheselt ära. Pikkusi polegi vaja.
Tööriist Pythagoras Lab teeb just seda. Nihutage kõveruse liugurit ja mõlemad näidud muutuvad koos, samal ajal kui kaatetid ja täisnurk jäävad paika.
Miks peaks see kellelegi korda minema
Ehitusplatsi mõõdistav maamõõtja võib seost a² + b² = c² kõhkluseta kasutada; saja meetri ulatuses tekitab Maa kumerus vea, mis jääb kaugele alla mõõdulindi täpsuse. Riiklikku geodeetilist võrku rajatav geodeet seda teha ei saa. Tasapinnalisest eeldusest tulenev viga kasvab võrdeliselt kolmnurga mõõtmete kuubiga: iga külje kahekordistamisel korrutub see kaheksaga. Seepärast on tervet riiki katvaid triangulatsioonivõrke alati arvutatud sfääriliste või ellipsoidiliste valemite abil, ja seepärast erineb GPS-vastuvõtja matemaatika kooliõpiku omast.
Üldrelatiivsusteoorias ei ole kõverus ruumi paigutatud pinna omadus, vaid massist ja energiast põhjustatud aegruumi enda omadus. Väide „ruum on siin tasane“ on füüsikaline väide aine kohaliku jaotuse kohta, mida saab kontrollida kolmnurki mõõtes. Selles mõttes on Pythagorase teoreem empiiriline väide, mitte matemaatiline paratamatus: see kehtib seal, kus aegruum on tasane, ja aegruum ei ole tasane kõikjal.
Tõestus käib kuju, mitte suuruse kohta
Arvestades, kui palju teoreem tasasusele toetub, on selle tasapinnaline tõestus üllatavalt lihtne.
Tõmmake täisnurgast ristlõik hüpotenuusile. See langeb hüpotenuusile ja jaotab pikkusega c hüpotenuusi kaheks lõiguks, p ja q. Vaadake kahte tekkinud väiksemat kolmnurka: kummaski on täisnurk ning kumbki jagab ühte oma ülejäänud nurkadest esialgse kolmnurgaga. Kolm langevat nurka tähendavad, et kolmnurkadel on sama kuju: need on sarnased esialgse kolmnurgaga ja teineteisega.
Sarnastel kolmnurkadel on proportsionaalsed küljed. Rakendades seda kummalegi osale, saame a² = c·p ja b² = c·q. Liidame need: a² + b² = c(p + q) = c². Kogu teoreem taandub ühele ristlõigule ja tõsiasjale, et võrdsed nurgad tingivad proportsionaalsed küljed.
See viimane tõsiasi on iseenesest eukleidiline, mis sulgebki arutluskäigu ringi. Sfääril ei leidu üldse erineva suurusega sarnaseid kolmnurki: fikseerides kolm nurka, on fikseeritud ka pindala, mistõttu ei saa kolmnurka skaleerida ilma selle kuju muutmata. Tõestus ja sellega tõestatav teoreem püsivad või langevad koos, ja mõlemad kehtivad üksnes tasasel pinnal.
Igat sammu saab vaadelda tööriistas Similar Triangles Lab, kus seda eukleidilist tõsiasja saab katsetada: lohistage skaalategurit veerandist kuueni ja kolme nurga näidud ei liigu paigast.
Märkus ruutude kohta
On veel üks asi, mida teoreem tegelikult ei nõua: ruudud.
Konstrueerige kolmele küljele ükskõik milline kujund — poolringid, viisnurgad, kasside siluetid — ning tingimusel, et kõik kolm on omavahel sarnased, annavad kaatetitele toetuvad kujundid kokku ikka hüpotenuusile toetuva kujundi pindala. Eukleides sõnastas selle teoses Elemendid (VI.31) ja see kehtib samal põhjusel kui kõik muu siin: pindala skaleerub pikkuse ruuduna, mistõttu kolme kujundi suhte määravad kolme külje suhted, olenemata sellest, millised need kujundid on.
Kui kasutada poolringe, ilmneb midagi hämmastavat. Hüpotenuusile konstrueeritud poolring läbib täpselt täisnurga tippu ning sellest väljapoole jääva kahe kuusirbi kogupindala on täpselt võrdne kolmnurga pindalaga. Chiose Hippokrates avastas selle umbes 440 eKr ning see oli esimene kord, kui keegi näitas, et kõverjoonelise piiriga kujundi pindala võib olla täpselt võrdne sirgjoonelise kujundi pindalaga — tõeline saavutus kaks aastatuhandet enne seda, kui matemaatiline analüüs sellised küsimused rutiiniks muutis.