Dies ist eine maschinelle Übersetzung; das englische Original ist die maßgebliche Fassung. Original lesen
Der Satz des Pythagoras ist keine Eigenschaft von Dreiecken
Man halte die Katheten bei 3 und 4, den eingeschlossenen Winkel bei exakt 90° und zeichne das Dreieck auf eine Kugel statt auf ein Blatt Papier. Die Hypotenuse beträgt dann 4,57.
Man nehme ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Längen 3 und 4. Die Hypotenuse hat die Länge 5, und sie war 5, solange Menschen danach fragen. Hält man nun beide Katheten bei 3 und 4, den Winkel zwischen ihnen bei exakt 90° und zeichnet dasselbe Dreieck auf die Oberfläche einer Kugel, ist die Hypotenuse nicht mehr 5. Auf einer Kugel mit dem Radius 3,62 ergibt sich etwa 4,57. Zeichnet man es auf einer hyperbolischen Fläche desselben Radius, ergibt sich etwa 5,31.
Am Dreieck selbst hat sich nichts geändert. Der rechte Winkel ist noch immer ein rechter Winkel; die beiden Katheten messen nach wie vor 3 und 4. Was sich verändert hat, ist der Raum.
Was an seine Stelle tritt
Auf einer Kugel mit dem Radius R lautet die Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
und auf einer hyperbolischen Fläche ist es dieselbe Aussage mit den Hyperbelfunktionen:
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Keine von beiden sieht aus wie a² + b² = c². Entwickelt man jedoch eine der beiden als Reihe für kleine a/R und b/R – lässt man die Fläche also im Vergleich zum Dreieck sehr groß werden –, so ist der erste überlebende Term das Quadrat. Beide fallen zu a² + b² = c² zusammen. Der vertraute Satz ist der Grenzfall beider gekrümmter Gesetzmäßigkeiten zugleich – eine bemerkenswerte und recht schöne Stellung für ein mathematisches Gesetz.
Dies ist keine bloße Kuriosität über exotische Geometrien. Es ist der Grund, warum der Satz zum Parallelenpostulat Euklids äquivalent ist: Nimmt man eines von beiden an, lässt sich das andere beweisen. Zweitausend Jahre lang versuchten Mathematiker, das Parallelenpostulat aus den vier anderen Axiomen Euklids herzuleiten; dass sie scheiterten, lag daran, dass es nicht ableitbar ist. Es ist eine Setzung, und es zu wählen bedeutet dasselbe, wie zu behaupten, dass a² + b² = c² gilt.
Das zweite Symptom
Die Hypotenuse ist nicht das Einzige, was sich verschiebt. Man beobachte die Winkel.
Auf der Kugel weist jenes 3-4-Dreieck neben seinem rechten Winkel Winkel von etwa 50,7° und 69,7° auf, insgesamt 210,3°, während ein flaches Dreieck 180° ergibt. Auf der hyperbolischen Fläche ergeben dieselben zwei Katheten 26,8° und 40,9°, was zusammen 157,7° macht. Die Winkelsumme liegt auf einer Kugel über 180° und bleibt im hyperbolischen Raum darunter; genau an einer einzigen Stelle erreicht sie 180°.
Die beiden Symptome sind nicht unabhängig voneinander. Auf einer Fläche konstanter Krümmung, deren drei Seiten entlang von Geodäten verlaufen, entspricht der Betrag, um den die Winkelsumme von 180° abweicht, exakt der Krümmung multipliziert mit dem Flächeninhalt des Dreiecks. Das ist der Satz von Gauß-Bonnet in seiner einfachsten Form; im allgemeinen Fall integriert er die Krümmung über das Gebiet, anstatt sie zu multiplizieren. Auf einer Fläche mit bekannter Krümmung legen die drei Winkel eines Dreiecks also bereits dessen Flächeninhalt fest. Ganz ohne Seitenlängen.
Genau das demonstriert das Pythagoras Lab. Zieht man am Krümmungsregler, verändern sich beide Messwerte gemeinsam, während die Katheten und der rechte Winkel fixiert bleiben.
Warum das von Bedeutung ist
Ein Vermesser, der ein Baugrundstück einmisst, kann a² + b² = c² ohne Weiteres verwenden; über hundert Meter hinweg verursacht die Erdkrümmung einen Fehler, der weit unter der Genauigkeit des Maßbands liegt. Ein Geodät, der ein Landesvermessungsnetz anlegt, kann das nicht. Der Fehler der flachen Näherung wächst mit der dritten Potenz der Größe des Dreiecks: Verdoppelt man jede Seite, vervielfacht er sich um das Achtfache. Aus diesem Grund wurden Triangulationsnetze ganzer Länder stets mit sphärischen oder ellipsoidischen Formeln berechnet, und deshalb entspricht die Mathematik in einem GPS-Empfänger nicht derjenigen aus einem Schulbuch.
Und in der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Krümmung keine Eigenschaft einer in den Raum eingebetteten Fläche; sie ist eine Eigenschaft der Raumzeit selbst, hervorgerufen durch Masse und Energie. Die Aussage „Der Raum ist hier flach“ ist eine physikalische Behauptung über die lokale Verteilung von Materie, überprüfbar durch das Vermessen von Dreiecken. In diesem Sinne ist der Satz des Pythagoras eher eine empirische Aussage als eine mathematische Gewissheit: Er gilt dort, wo die Raumzeit flach ist, und die Raumzeit ist nicht überall flach.
Der Beweis handelt von Gestalt, nicht von Größe
Gemessen daran, wie grundlegend der Satz von der Flachheit abhängt, ist sein euklidischer Beweis bemerkenswert sparsam.
Man fälle das Lot vom rechten Winkel auf die Hypotenuse. Es trifft die Hypotenuse der Länge c und teilt sie in zwei Abschnitte, p und q. Betrachtet man die beiden so entstehenden kleineren Dreiecke: Jedes besitzt einen rechten Winkel, und jedes teilt einen seiner weiteren Winkel mit dem ursprünglichen Dreieck. Drei übereinstimmende Winkel bedeuten dieselbe Form: Sie sind dem Ausgangsdreieck und einander ähnlich.
Ähnliche Dreiecke haben proportionale Seiten. Wendet man das auf beide Abschnitte an, erhält man a² = c·p und b² = c·q. Addiert man beides: a² + b² = c(p + q) = c². Der gesamte Satz beruht auf einer einzigen Lotlinie und der Tatsache, dass gleiche Winkel proportionale Seiten erzwingen.
Diese letzte Tatsache ist ihrerseits euklidisch – womit sich der Kreis schließt. Auf einer Kugel gibt es überhaupt keine ähnlichen Dreiecke unterschiedlicher Größe: Legt man die drei Winkel fest, hat man bereits den Flächeninhalt festgelegt, sodass man ein Dreieck nicht skalieren kann, ohne seine Form zu verändern. Der Beweis und der Satz, den er beweist, stehen und fallen gemeinsam, und beide stehen nur auf einer flachen Fläche.
Jeder Schritt lässt sich im Similar Triangles Lab nachvollziehen, wo diese euklidische Tatsache auf die Probe gestellt wird: Zieht man den Skalierungsfaktor von einem Viertel bis sechs, verharren die drei Winkelwerte unverändert.
Eine Fußnote über Quadrate
Noch etwas verlangt der Satz keineswegs: Quadrate.
Errichtet man eine beliebige Figur über den drei Seiten – Halbkreise, Fünfecke, Silhouetten von Katzen –, so addieren sich die beiden über den Katheten noch immer zu jener über der Hypotenuse, vorausgesetzt, alle drei Figuren sind zueinander ähnlich. Euklid formuliert dies in den Elementen VI.31, und es gilt aus demselben Grund wie alles andere hier: Flächeninhalte skalieren mit dem Quadrat der Länge, weshalb das Verhältnis der drei Figuren allein durch das Verhältnis der drei Seiten festgelegt ist, ganz gleich, welche Gestalt die Figuren haben.
Verwendet man Halbkreise, tritt ein verblüffendes Ergebnis zutage. Der Halbkreis über der Hypotenuse verläuft exakt durch den Scheitel des rechten Winkels, und die beiden außen verbleibenden Möndchen besitzen zusammen einen Flächeninhalt, der genau dem des Dreiecks entspricht. Hippokrates von Chios fand dies um 440 v. Chr., und es war das erste Mal, dass jemand zeigte, dass eine krummlinig begrenzte Fläche exakt denselben Flächeninhalt wie eine geradlinig begrenzte haben kann – ein echtes Resultat, zwei Jahrtausende bevor die Infinitesimalrechnung derlei zu einer Routineaufgabe machte.