Dies ist eine maschinelle Übersetzung; das englische Original ist der Ausgangstext. Original lesen
Der Satz des Pythagoras ist keine Tatsache über Dreiecke
Hält man die Katheten bei 3 und 4, hält den Winkel zwischen ihnen bei exakt 90° und zeichnet das Dreieck auf einer Kugel statt auf einem Blatt Papier, beträgt die Hypotenuse 4,57.
Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 und 4. Die Hypotenuse ist 5, und sie ist 5, seit man danach fragt. Nun behält man beide Katheten bei 3 und 4, hält den Winkel zwischen ihnen bei exakt 90° und zeichnet dasselbe Dreieck auf die Oberfläche einer Kugel. Die Hypotenuse ist nicht mehr 5. Auf einer Kugel mit dem Radius 3,62 beträgt sie etwa 4,57. Zeichnet man es auf einer hyperbolischen Fläche desselben Radius, beträgt sie etwa 5,31.
Am Dreieck selbst hat sich nichts geändert. Der rechte Winkel ist nach wie vor ein rechter Winkel; die beiden Katheten sind weiterhin 3 und 4. Was sich geändert hat, ist der Raum.
Was an seine Stelle tritt
Auf einer Kugel mit dem Radius R lautet die Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
und auf einer hyperbolischen Fläche ist es dieselbe Aussage mit den Hyperbelfunktionen:
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Keine von beiden sieht nach a² + b² = c² aus. Entwickelt man aber eine von beiden als Reihe für kleine a/R und b/R — lässt also die Fläche im Vergleich zum Dreieck groß werden —, so ist der erste überlebende Term das Quadrat. Beide gehen in a² + b² = c² über. Der vertraute Satz ist der Grenzfall beider gekrümmter Gesetze zugleich — eine sonderbare und ausgesprochen schöne Stellung für ein mathematisches Theorem.
Dies ist keine Kuriosität einer exotischen Geometrie. Es ist der Grund, warum der Satz äquivalent zu Euclids Parallelenpostulat ist: Nimmt man eines von beiden an, kann man das andere beweisen. Zweitausend Jahre lang versuchten Mathematiker, das Parallelenpostulat aus Euclids anderen vier Axiomen abzuleiten, und der Grund für ihr Scheitern liegt darin, dass es nicht ableitbar ist — es ist eine Wahl, und es zu wählen ist derselbe Akt wie zu behaupten, dass a² + b² = c² gilt.
Das zweite Symptom
Die Hypotenuse ist nicht das Einzige, was sich verändert. Betrachten wir die Winkel.
Auf der Kugel hat jenes 3-4-Dreieck neben seinem rechten Winkel Winkel von etwa 50,7° und 69,7° — insgesamt 210,3°, während ein ebenes Dreieck 180° ergeben würde. Auf der hyperbolischen Fläche ergeben dieselben zwei Katheten 26,8° und 40,9°, was zusammen 157,7° macht. Die Winkelsumme liegt auf einer Kugel darüber und fällt im hyperbolischen Raum darunter, und sie erreicht 180° an genau einer Stelle.
Die beiden Symptome sind nicht voneinander unabhängig. Auf einer Fläche konstanter Krümmung, deren drei Seiten entlang von Geodäten verlaufen, entspricht die Abweichung der Winkelsumme von 180° exakt der Krümmung multipliziert mit dem Flächeninhalt des Dreiecks. Das ist der Satz von Gauss–Bonnet in seiner einfachsten Form — im Allgemeinen integriert er die Krümmung über das Gebiet, anstatt mit ihr zu multiplizieren — und das hat eine Konsequenz, über die nachzudenken sich lohnt: Man kann den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks bestimmen, indem man nichts weiter als seine drei Winkel misst. Keine Längen erforderlich.
Das Pythagoras Lab tut genau das. Zieht man am Krümmungsregler, bewegen sich beide Messwerte gemeinsam, während die Katheten und der rechte Winkel fixiert bleiben.
Warum das von Bedeutung ist
Ein Landvermesser, der eine Baustelle vermisst, kann a² + b² = c² ohne Weiteres verwenden; über einhundert Meter führt die Erdkrümmung zu einem Fehler, der weit unter der Genauigkeit des Messbandes liegt. Ein Geodät, der ein nationales Vermessungsnetz anlegt, kann das nicht. Die Abweichung zwischen dem ebenen und dem sphärischen Ergebnis wächst mit dem Quadrat der Dreiecksgröße. Deshalb wurden Landesvermessungsnetze seit jeher mit sphärischen oder ellipsoidischen Formeln berechnet, und deshalb ist die Mathematik in einem GPS-Empfänger nicht die Mathematik aus einem Schulbuch.
Und in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Krümmung keine Eigenschaft einer im Raum eingebetteten Fläche — sie ist eine Eigenschaft der Raumzeit selbst, hervorgebracht durch Masse und Energie. Die Aussage „Der Raum ist hier eben“ ist eine physikalische Behauptung über die lokale Materieverteilung, die sich durch das Vermessen von Dreiecken überprüfen lässt. In diesem Sinne ist der Satz des Pythagoras eine empirische Aussage und keine mathematische Gewissheit: Er gilt dort, wo die Raumzeit eben ist, und die Raumzeit ist nicht überall eben.
Der Beweis betrifft die Form, nicht die Größe
Angesichts dessen, wie sehr der Satz von der Ebenheit abhängt, ist sein ebener Beweis erstaunlich einfach.
Fällt man ein Lot vom rechten Winkel auf die Hypotenuse, trifft es irgendwo auf und teilt die Hypotenuse der Länge c in zwei Teilstücke, p und q. Betrachten wir die zwei kleineren Dreiecke, die dadurch entstehen: Jedes besitzt einen rechten Winkel, und jedes teilt einen seiner anderen Winkel mit dem ursprünglichen Dreieck. Drei übereinstimmende Winkel bedeuten, dass die Dreiecke dieselbe Form haben — sie sind dem ursprünglichen Dreieck und einander ähnlich.
Ähnliche Dreiecke haben proportionale Seiten. Wendet man das auf jedes Teilstück an, erhält man a² = c·p und b² = c·q. Addiert man diese: a² + b² = c(p + q) = c². Der gesamte Satz besteht aus einer einzelnen Lotlinie und der Tatsache, dass gleiche Winkel proportionale Seiten erzwingen.
Diese letzte Tatsache ist selbst euklidisch, womit sich der Kreis schließt. Auf einer Kugel gibt es überhaupt keine ähnlichen Dreiecke unterschiedlicher Größe: Legt man die drei Winkel fest, ist damit auch der Flächeninhalt festgelegt, sodass man ein Dreieck nicht skalieren kann, ohne seine Form zu verändern. Der Beweis und der Satz, den er beweist, stehen oder fallen gemeinsam, und beide stehen nur auf einer ebenen Fläche.
Man kann jeden Schritt im Similar Triangles Lab nachvollziehen, wo diese euklidische Tatsache auf die Probe gestellt wird: Zieht man den Skalierungsfaktor von einem Viertel auf sechs, verharren die drei Winkelwerte unverändert.
Eine Fußnote zu den Quadraten
Noch etwas, das der Satz nicht erfordert: Quadrate.
Errichtet man eine beliebige Form über den drei Seiten — Halbkreise, Fünfecke, Silhouetten von Katzen — und sind alle drei zueinander ähnlich, ergeben die beiden über den Katheten zusammen noch immer die Form über der Hypotenuse. Euclid formuliert dies in den Elements VI.31, und es gilt aus demselben Grund wie alles andere hier: Der Flächeninhalt skaliert mit dem Quadrat der Länge, sodass das Verhältnis der drei Figuren durch das Verhältnis der drei Seiten festgelegt ist, ganz gleich, um welche Figuren es sich handelt.
Verwendet man Halbkreise, ergibt sich etwas Erstaunliches: Der Halbkreis über der Hypotenuse verläuft exakt durch den rechten Winkel, und die beiden außerhalb verbleibenden Möndchen haben zusammen einen Flächeninhalt, der genau dem des Dreiecks entspricht. Hippocrates of Chios fand dies um 440 v. Chr., und es war das erste Mal, dass jemand zeigte, dass eine krummlinig begrenzte Fläche exakt denselben Flächeninhalt wie eine geradlinige haben kann — ein echtes Ergebnis, zwei Jahrtausende bevor die Infinitesimalrechnung solch ein Vorgehen zur Routine machte.