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Pitágoras no es una propiedad sobre los triángulos
Mantén los catetos en 3 y 4, mantén el ángulo que forman en exactamente 90° y dibuja el triángulo en una esfera en lugar de en una página. La hipotenusa resulta ser de 4,57.
Toma un triángulo rectángulo con catetos de 3 y 4. La hipotenusa es 5, y ha sido 5 desde que se tiene memoria de que alguien lo haya preguntado. Ahora mantén ambos catetos en 3 y 4, mantén el ángulo entre ellos en exactamente 90° y dibuja el mismo triángulo sobre la superficie de una esfera. La hipotenusa ya no es 5. En una esfera de radio 3,62 resulta ser de aproximadamente 4,57. Dibújalo en una superficie hiperbólica del mismo radio y resulta ser de aproximadamente 5,31.
Nada en el triángulo ha cambiado. El ángulo recto sigue siendo un ángulo recto; los dos catetos siguen siendo 3 y 4. Lo que ha cambiado es el espacio.
Qué lo sustituye
En una esfera de radio R, la relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo es
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
y en una superficie hiperbólica es la misma expresión con las funciones hiperbólicas:
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Ninguna de las dos se parece a a² + b² = c². Pero si desarrollas cualquiera de ellas en serie para valores pequeños de a/R y b/R —es decir, haciendo que la superficie sea grande en comparación con el triángulo—, el primer término que sobrevive es el cuadrático. Ambas se reducen a a² + b² = c². El teorema habitual es el caso límite de ambas leyes curvas a la vez, una posición extraña y ciertamente hermosa para una fórmula.
No se trata de una simple curiosidad sobre geometrías exóticas. Es la razón por la que el teorema es equivalente al postulado de las paralelas de Euclides: asume cualquiera de los dos y podrás demostrar el otro. Durante dos mil años, los matemáticos intentaron deducir el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro axiomas de Euclides, y la razón por la que fracasaron es que no se puede deducir. Es una elección, y elegirlo equivale al mismo acto de afirmar que a² + b² = c².
El segundo síntoma
La hipotenusa no es lo único que cambia. Fíjate en los ángulos.
En la esfera, ese triángulo 3-4 tiene ángulos de aproximadamente 50,7° y 69,7° junto a su ángulo recto, lo que suma un total de 210,3°, cuando un triángulo plano sumaría 180°. En la superficie hiperbólica, los mismos dos catetos dan 26,8° y 40,9°, sumando 157,7°. La suma de los ángulos sobrepasa los 180° en una esfera y se queda corta en el espacio hiperbólico, y alcanza exactamente los 180° en un único lugar.
Ambos síntomas no son independientes. En una superficie de curvatura constante, tomando los tres lados a lo largo de geodésicas, la diferencia por la que la suma de los ángulos se desvía de 180° es exactamente la curvatura multiplicada por el área del triángulo. Este es el teorema de Gauss-Bonnet en su forma más simple; en general, integra la curvatura sobre la región en lugar de multiplicarla directamente. Por tanto, en una superficie cuya curvatura ya conoces, los tres ángulos de un triángulo determinan por completo su área. Sin necesidad de conocer longitudes.
El Pythagoras Lab hace precisamente esto. Arrastra el control deslizante de curvatura y ambas lecturas se moverán a la vez mientras los catetos y el ángulo recto permanecen fijos.
Por qué debería importarnos
Un topógrafo que mide una obra puede utilizar a² + b² = c² sin pensárselo dos veces; en cien metros, la curvatura de la Tierra introduce un error muy por debajo de la precisión de la cinta métrica. Un geodesta que diseña una red geodésica nacional no puede permitírselo. El error del resultado plano crece con el cubo del tamaño del triángulo: duplica cada lado y el error se multiplicará por ocho. Por esa razón, las redes de triangulación que cubren un país siempre se han calculado mediante fórmulas esféricas o elipsoidales, y por eso las matemáticas de un receptor GPS no son las matemáticas de un libro de texto escolar.
Y en la relatividad general, la curvatura no es una propiedad de una superficie inmersa en el espacio; es una propiedad del propio espaciotiempo, generada por la masa y la energía. La afirmación de que «el espacio es plano aquí» es una afirmación física sobre la distribución local de materia, comprobable mediante la medición de triángulos. En ese sentido, Pitágoras es una proposición empírica antes que una certeza matemática: se cumple donde el espaciotiempo es plano, y el espaciotiempo no es plano en todas partes.
La demostración trata sobre la forma, no sobre el tamaño
Teniendo en cuenta hasta qué punto el teorema depende de la planitud, su demostración en el plano resulta asombrosamente económica.
Traza una perpendicular desde el ángulo recto sobre la hipotenusa. Esta incidirá en algún punto, dividiendo la hipotenusa de longitud c en dos segmentos, p y q. Observa los dos triángulos más pequeños que se forman: cada uno tiene un ángulo recto y cada uno comparte uno de sus otros ángulos con el triángulo original. Que tres ángulos coincidan significa que los triángulos tienen la misma forma: son semejantes al original y semejantes entre sí.
Los triángulos semejantes tienen lados proporcionales. Aplica eso a cada segmento y obtendrás a² = c·p y b² = c·q. Súmalos: a² + b² = c(p + q) = c². Todo el teorema se reduce a una línea perpendicular más el hecho de que tener ángulos iguales obliga a tener lados proporcionales.
Este último hecho es en sí mismo euclídeo, cerrando así el círculo. En una esfera no existen en absoluto triángulos semejantes de diferentes tamaños: fijar los tres ángulos implica fijar el área, por lo que no es posible cambiar la escala de un triángulo sin alterar su forma. La demostración y el teorema que demuestra se sostienen o caen juntos, y ambos se sostienen únicamente sobre una superficie plana.
Puedes seguir cada paso en el Similar Triangles Lab, que es donde se pone a prueba ese principio euclídeo: arrastra el factor de escala desde un cuarto hasta seis, y los valores de los tres ángulos se mantendrán imperturbables.
Una nota a pie de página sobre los cuadrados
Hay algo más que el teorema no necesita: cuadrados.
Construye cualquier figura que desees sobre los tres lados —semicírculos, pentágonos, siluetas de gatos— y, siempre que las tres sean semejantes entre sí, las dos construidas sobre los catetos seguirán sumando el área de la construida sobre la hipotenusa. Euclides establece esto en los Elementos VI.31, y se cumple por la misma razón que todo lo demás aquí: el área escala con el cuadrado de la longitud, de modo que la proporción entre las tres figuras queda determinada por la razón de los tres lados, sean cuales sean las figuras.
Utiliza semicírculos y surgirá algo sorprendente. El semicírculo sobre la hipotenusa pasa exactamente por el ángulo recto, y las dos lúnulas que quedan fuera de él tienen un área combinada exactamente igual a la del triángulo. Hipócrates de Quíos descubrió esto alrededor del 440 a. C., y fue la primera vez en la historia que alguien demostró que una región de bordes curvos podía tener exactamente el área de una delimitada por lados rectos: un logro extraordinario, dos milenios antes de que el cálculo convirtiera tales problemas en algo rutinario.