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Pythagoras no es un hecho sobre triángulos
Mantenga los catetos en 3 y 4, mantenga el ángulo entre ellos en exactamente 90° y dibuje el triángulo sobre una esfera en lugar de sobre un papel. La hipotenusa resulta ser 4,57.
Tome un triángulo rectángulo con catetos de 3 y 4. La hipotenusa es 5, y ha sido 5 desde que se tiene memoria. Ahora mantenga ambos catetos en 3 y 4, mantenga el ángulo entre ellos en exactamente 90° y dibuje el mismo triángulo sobre la superficie de una esfera. La hipotenusa ya no es 5. En una esfera de radio 3,62 resulta ser de aproximadamente 4,57. Dibújelo sobre una superficie hiperbólica del mismo radio y resulta ser de aproximadamente 5,31.
Nada en el triángulo ha cambiado. El ángulo recto sigue siendo un ángulo recto; los dos catetos siguen siendo 3 y 4. Lo que cambió fue el espacio.
Qué lo sustituye
En una esfera de radio R la relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo es
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R)
y en una superficie hiperbólica es la misma expresión con las funciones hiperbólicas:
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R)
Ninguna de estas dos expresiones se parece a a² + b² = c². Pero al desarrollar cualquiera de las dos en serie para valores pequeños de a/R y b/R —es decir, haciendo que la superficie sea grande en comparación con el triángulo—, el primer término que sobrevive es el cuadrado. Ambas se reducen a a² + b² = c². El teorema habitual es el caso límite de ambas leyes curvas a la vez, una posición extraña y bastante hermosa para una propiedad matemática.
Esto no es una curiosidad sobre geometría exótica. Es la razón por la cual el teorema es equivalente al postulado de las paralelas de Euclid: asuma cualquiera de los dos y podrá demostrar el otro. Durante dos mil años, los matemáticos intentaron deducir el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro axiomas de Euclid, y la razón por la que fracasaron es que no es deducible: es una elección, y elegirlo es el mismo acto que afirmar que a² + b² = c².
El segundo síntoma
La hipotenusa no es lo único que cambia. Observe los ángulos.
En la esfera, ese triángulo de 3-4 tiene ángulos de aproximadamente 50,7° y 69,7° junto a su ángulo recto, lo que suma un total de 210,3°, cuando un triángulo plano daría 180°. En la superficie hiperbólica, los mismos dos catetos dan 26,8° y 40,9°, sumando 157,7°. La suma de los ángulos se pasa en una esfera y se queda corta en el espacio hiperbólico, y alcanza los 180° en exactamente un lugar.
Los dos síntomas no son independientes. En una superficie de curvatura constante, con los tres lados trazados a lo largo de geodésicas, la cantidad en la que la suma de los ángulos difiere de 180° es exactamente la curvatura multiplicada por el área del triángulo. Este es el teorema de Gauss-Bonnet en su forma más simple —en general integra la curvatura sobre la región en lugar de multiplicarla por ella— y tiene una consecuencia que vale la pena considerar con detenimiento: se puede determinar el área de dicho triángulo midiendo únicamente sus tres ángulos. Sin necesidad de longitudes.
El Pythagoras Lab hace exactamente esto. Arrastre el deslizador de curvatura y ambas lecturas se moverán juntas mientras los catetos y el ángulo recto permanecen fijos.
Por qué debería importar
Un topógrafo que mide un terreno puede usar a² + b² = c² sin pensárselo dos veces; en una distancia de cien metros, la curvatura de la Tierra aporta un error muy inferior a la precisión de la cinta métrica. Un geodesista que diseña una red geodésica nacional no puede hacer lo mismo. La discrepancia entre la respuesta plana y la esférica crece con el cuadrado del tamaño del triángulo, razón por la cual las redes de triangulación que cubren un país siempre se han calculado con fórmulas esféricas o elipsoidales, y por la que las matemáticas de un receptor GPS no son las matemáticas de un libro de texto escolar.
Y en la relatividad general la curvatura no es una propiedad de una superficie embebida en el espacio: es una propiedad del propio espacio-tiempo, originada por la masa y la energía. La afirmación «el espacio es plano aquí» es una aseveración física sobre la distribución local de la materia, comprobable midiendo triángulos. Ese es el sentido en el que Pythagoras es una proposición empírica y no una certeza matemática: se cumple donde el espacio-tiempo es plano, y el espacio-tiempo no es plano en todas partes.
La demostración trata sobre la forma, no sobre el tamaño
Dado lo mucho que el teorema depende de la cualidad de ser plano, su demostración plana es sorprendentemente sencilla.
Trace una perpendicular desde el ángulo recto hacia la hipotenusa. Esta cae en algún punto, dividiendo la hipotenusa de longitud c en dos segmentos, p y q. Observe los dos triángulos más pequeños que esto crea: cada uno tiene un ángulo recto y cada uno comparte uno de sus otros ángulos con el triángulo original. Tres ángulos coincidentes significan que los triángulos tienen la misma forma: son semejantes al original y entre sí.
Los triángulos semejantes tienen lados proporcionales. Aplique eso a cada segmento y obtendrá a² = c·p y b² = c·q. Súmelos: a² + b² = c(p + q) = c². El teorema completo se reduce a una línea perpendicular más el hecho de que los ángulos iguales imponen lados proporcionales.
Ese último hecho es en sí mismo euclidiano, lo que cierra el círculo. En una esfera no existen en absoluto triángulos semejantes de diferentes tamaños: si fija los tres ángulos, ha fijado el área, por lo que no puede escalar un triángulo sin cambiar su forma. La demostración y el teorema que demuestra se sostienen o caen juntos, y ambos se sostienen únicamente sobre una superficie plana.
Puede observar cada paso en el Similar Triangles Lab, que es donde se pone a prueba ese hecho euclidiano: arrastre el factor de escala de un cuarto a seis, y las tres lecturas de los ángulos se niegan a moverse.
Una nota a pie de página sobre los cuadrados
Una cosa más que el teorema no requiere: cuadrados.
Construya cualquier figura que desee sobre los tres lados —semicírculos, pentágonos, siluetas de gatos— y, siempre que las tres sean semejantes entre sí, las dos sobre los catetos seguirán sumando lo mismo que la que está sobre la hipotenusa. Euclid afirma esto en Elements VI.31, y se cumple por la misma razón que todo lo demás aquí: el área escala con el cuadrado de la longitud, por lo que la proporción de las tres figuras viene fijada por la proporción de los tres lados, sin importar cuáles sean las figuras.
Utilice semicírculos y surgirá algo sorprendente. El semicírculo sobre la hipotenusa pasa exactamente por el ángulo recto, y las dos lúnulas que quedan fuera tienen un área combinada exactamente igual a la del triángulo. Hippocrates of Chios descubrió esto alrededor del 440 a. C., y fue la primera vez que alguien demostró que una región de bordes curvos podía tener precisamente el área de una de lados rectos: un resultado auténtico, dos milenios antes de que el cálculo convirtiera tales cosas en algo rutinario.