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Réflexions et isométries du plan

Placez jusqu'à trois axes de réflexion et réfléchissez la lettre F sur chacun d'eux successivement. La page déduit la nature exacte de la transformation obtenue : réflexion, rotation, translation, symétrie glissée ou l'identité. Vous pouvez aussi procéder dans l'autre sens en demandant une rotation, une translation ou un glissement pour que l'outil place les miroirs correspondants. Le tableau sous la figure détaille le calcul matriciel.

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Leçon

La théorie — Réflexions et isométries du plan

Une isométrie du plan est une transformation qui conserve les distances. Une réflexion selon un axe envoie chaque point sur son image miroir et inverse l'orientation : une figure lettrée dans le sens horaire devient anti-horaire. Composer deux réflexions donne une isométrie conservant l'orientation : une rotation du double de l'angle entre les droites si elles sont sécantes, ou une translation du double de l'écart si elles sont parallèles. Trois réflexions donnent une réflexion ou une symétrie glissée. Toute isométrie du plan est la composition d'au plus trois réflexions.

Ce que signifie chaque symbole

α
l'angle entre le premier et le second miroir. La rotation est de 2α
d
l'écart entre deux miroirs parallèles. La translation est de 2d, perpendiculairement à eux
det
le déterminant de la partie linéaire : +1 si le mouvement conserve l'orientation, −1 s'il l'inverse
g
la translation d'une symétrie glissée, le long de son axe
M
la transformation combinée sous forme de matrice, produit des réflexions dans l'ordre inverse de leur application

Deux miroirs forment une rotation du double de leur angle 🖖

Cliquez sur Deux miroirs sécants. Les miroirs se coupent à 45°. En réfléchissant le F sur le premier puis sur le second, vous le faites tourner de 90° autour de leur point d'intersection, soit le double de l'angle qui les sépare. Chaque réflexion retourne le F. Deux retournements lui redonnent donc son sens initial. Or, une isométrie qui conserve l'orientation en fixant un point est une rotation autour de ce point. Cliquez maintenant sur Deux miroirs parallèles. Deux miroirs distants de 2 font glisser le F de 4, le double de leur écart, perpendiculairement à eux. Une translation se comporte comme une rotation dont le centre serait repoussé à l'infini. De même, des miroirs parallèles sont des miroirs sécants dont le point d'intersection a subi le même sort.

L'ordre de deux miroirs détermine le sens 🖖

Cliquez sur Deux miroirs sécants puis sur Mêmes miroirs, inversés. Ce sont exactement les deux mêmes droites. Seul l'ordre change, et la rotation passe de +90° à −90°. La seconde composition annule la première, car une réflexion est sa propre réciproque. Lorsque trois miroirs passent par un même point, l'ordre n'a plus d'importance. Cliquez sur Trois concourants puis inversez-les. Vous obtenez la même réflexion finale, et non une autre. L'ordre compte pour deux miroirs, sauf s'ils sont confondus ou perpendiculaires. Il compte pour trois miroirs, sauf s'ils sont tous concourants ou tous parallèles.

Trois miroirs font ce que deux ne peuvent pas 🖖

Toute isométrie du plan appartient à l'une de ces cinq catégories : l'identité, la réflexion, la rotation, la translation ou la symétrie glissée. Cette dernière combine une réflexion selon un axe et une translation le long de cet axe. Les traces de pas sur le sable en sont l'exemple familier. Cliquez sur Trois en triangle. Trois droites qui ne sont ni concourantes ni parallèles engendrent un glissement sur un axe à 60°, avec une translation de longueur 6. Un seul miroir ne permet pas de glisser et deux ne peuvent pas retourner l'image : aucun nombre inférieur de réflexions ne donne ce résultat. Cliquez sur Créer un glissement ou Créer une rotation. La page fonctionne en sens inverse et trouve les miroirs pour le mouvement que vous demandez. Il n'en faut jamais plus de trois.

Problème entièrement résolu

  1. L'effet de deux miroirs sécants sur une figure 5 étapes

    Deux miroirs passent par l'origine, le premier à 10° de l'axe des x et le second à 55°. Appliquez la réflexion sur le premier puis sur le second, et déterminez à quel mouvement unique cette paire équivaut. Cliquez sur Deux miroirs sécants pour vérifier.

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    1. Une réflexion selon une droite passant par l'origine avec un angle a possède la matrice :

    2. Appliquer la première puis la seconde revient à les multiplier dans cet ordre par la droite :

    3. En développant, le produit est une matrice de rotation :

    4. Son angle est le double de l'angle entre le premier et le second miroir :

    5. Les deux droites passent par l'origine, qu'aucune réflexion ne déplace. L'origine est donc le centre :

    Réponse

    La paire forme une rotation de 90° autour de l'origine, soit le double des 45° qui séparent les miroirs. Son déterminant est +1, le F reste donc à l'endroit. Inversez l'ordre et l'angle devient −90° : les deux mêmes droites produisent la rotation opposée.

· Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.