Courbes paramétriques

Les équations paramétriques découplent la dépendance de y par rapport à x en introduisant une variable temporelle t. Cela permet le mappage de chemins dynamiques complexes qui violeraient le test de la ligne verticale en coordonnées standard.

Au lieu de demander quel y correspond à chaque x, une courbe paramétrée met en marche une horloge t et guide un crayon avec deux règles distinctes : x(t) fixe le déplacement vers la droite et y(t) celui vers le haut. Le tracé que vous voyez n'est que la moitié de l'histoire ; le point mobile et son vecteur tangent apportent le reste : direction et vitesse. Comme la longueur de la flèche est la vitesse, une même forme peut être dessinée lentement ou à la hâte tout en paraissant identique, alors que le mouvement qui la sous-tend est complètement différent.

Retournez la cycloïde x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) et elle devient la tautochrone : une bille sans frottement atteint le point le plus bas en exactement le même temps, quel que soit le point de lâcher. Christiaan Huygens l'exploita en 1673 en courbant des horloges à pendule avec des joues cycloïdales, afin que le balancier garde l'heure exacte quelle que soit l'ampleur de son oscillation. Une seule courbe paramétrée offrit à l'horlogerie son premier pendule insensible à l'amplitude.