Courbes paramétriques

Explorez les courbes paramétriques : observez le point tracé et le vecteur tangent lorsque t varie.

Exemple résolu — Courbes paramétriques

t	3.1416
(x, y)	(-1.000, 0.000)
Vitesse \|dr/dt\|	2.000
dx/dt, dy/dt	(0.000, 2.000)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Le même dessin peut être tracé à des vitesses très différentes 🖖

Une courbe paramétrée porte plus d’information que la forme qu’elle laisse. Comparez (cos t, sin t) et (cos 2t, sin 2t) : les deux tracent le même cercle unité, et aucun dessin ne les distinguerait — pourtant la seconde termine en deux fois moins de temps. Une infinité de paramétrages produisent exactement la même image. Voilà pourquoi la longueur d’arc est une propriété de la trace, tandis que la vitesse et le sens n’appartiennent qu’à l’horaire qui l’a produite, et pourquoi la physique préfère les paramètres aux graphes : l’orbite d’une planète est une forme, mais son mouvement le long de cette forme est ce qui compte.

Deux règles guident un crayon 🖖

Au lieu de demander quel y correspond à chaque x, une courbe paramétrée met en marche une horloge t et guide un crayon avec deux règles distinctes : x(t) fixe le déplacement vers la droite et y(t) celui vers le haut. Le tracé que vous voyez n'est que la moitié de l'histoire ; le point mobile et son vecteur tangent apportent le reste : direction et vitesse. Comme la longueur de la flèche est la vitesse, une même forme peut être dessinée lentement ou à la hâte tout en paraissant identique, alors que le mouvement qui la sous-tend est complètement différent.

L'horloge qui ignore son amplitude 🖖

Retournez la cycloïde x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) et elle devient la tautochrone : une bille sans frottement atteint le point le plus bas en exactement le même temps, quel que soit le point de lâcher. Christiaan Huygens l'exploita en 1673 en courbant des horloges à pendule avec des joues cycloïdales, afin que le balancier garde l'heure exacte quelle que soit l'ampleur de son oscillation. Une seule courbe paramétrée offrit à l'horlogerie son premier pendule insensible à l'amplitude.

Problème entièrement résolu

Position et vitesse de la courbe de Lissajous en t = π 6 étapes
La courbe de Lissajous x = cos 3t, y = sin 2t en t = π. Trouvez la position et la vitesse qu'affiche le panneau, puis trouvez la seule chose qu'il n'affiche pas : à quel point la courbe tourne serré.
1. Deux fonctions indépendantes du même paramètre. Les dériver constitue la totalité de la vitesse, et la règle de dérivation des fonctions composées fournit les facteurs 3 et 2.
  
  $x (t) = cos 3 t, y (t) = sin 2 t; \overset{x}{˙} = - 3 sin 3 t, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 t$
2. Évaluez d'abord la position. Les deux fonctions trigonométriques aboutissent à des valeurs exactes, c'est pourquoi π vaut la peine d'être choisi.
  
  $t = π : x = cos 3 π = - 1, y = sin 2 π = 0$
3. À présent, la vitesse. L'une des composantes s'annule et l'autre est à son maximum — le mouvement à cet instant est purement vertical.
  
  $\overset{x}{˙} = - 3 sin 3 π = 0, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 π = 2 ⟹ ∣ \dot{r} ∣ = 2.000$
4. Cette annulation n'est pas un hasard d'arithmétique : x est à un extremum, et la courbe touche ici son point le plus à gauche.
  
  $\overset{x}{˙} = 0 with \overset{y}{˙} \neq = 0 : the curve is moving straight up, and x is at a turning point$
5. La courbure nécessite une dérivée de plus pour chacune. Les deux sont aussi simples que la première, ce qui est le bénéfice de la forme paramétrique.
  
  $\overset{x}{¨} = - 9 cos 3 t = 9, \overset{y}{¨} = - 4 sin 2 t = 0$
6. Assemblez la formule classique. Le numérateur est un produit vectoriel et le dénominateur est le cube de la vitesse, c'est pourquoi les points rapides semblent plats à moins de réellement tourner.
  
  $κ = \frac{∣ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ ∣}{( x ˙ ^{2} + y ˙ ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{∣0 - 18∣}{8} = 2.25 ⟹ ρ = \frac{1}{κ} = 0.444$
Réponse

Rayon de courbure 0,444 — la courbe tourne à l'intérieur d'un cercle nettement inférieur à une demi-unité. La vitesse et la courbure sont indépendantes, et ce point rend la distinction visible : la vitesse vaut 2, la plus grande valeur qu'atteint l'une ou l'autre composante, tandis que la trajectoire s'incurve aussi fortement que partout ailleurs sur la figure. Une voiture à ce point va vite et prend un virage serré, ce qui est exactement la combinaison qui produit une charge latérale. Rien dans l'affichage de la position ou de la vitesse ne le laisse deviner, car la courbure nécessite la dérivée seconde et le panneau s'arrête à la première. C'est aussi pourquoi la forme paramétrique en vaut la peine : en tant que relation entre x et y, cette courbe est un bric-à-brac du sixième degré, et en tant que deux fonctions de t, chaque dérivée tient en une ligne.

$(x, y) = (- 1, 0), ∣ \dot{r} ∣ = 2.000, κ = 2.25, ρ = 0.444$

Références (1)

Insight block 3 — the tautochrone, and the clock built on it: C. Huygens, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. F. Muguet, Paris, 1673 — the cycloidal cheeks that make a pendulum's period independent of its swing.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-06-26

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Exemples de problèmes

Lissajous 3:2 - x = cos 3t, y = sin 2t. Voici le seul préréglage qui ne s'arrête jamais. La vitesse atteint 2,0000 à t = 3,142 et ne tombe à zéro nulle part, car dx/dt et dy/dt ne s'annulent jamais pour un même t. C'est ce qui garantit un tracé régulier, là où l'astroïde et la cycloïde présentent des points de rebroussement.
Cycloïde - Un point situé sur la jante d'une roue en mouvement. Le préréglage s'arrête sur un point de rebroussement : 0,0002 à t = 6,283. La jante s'immobilise un bref instant chaque fois qu'elle touche le sol. Faites glisser t jusqu'au sommet d'une arche et vous constaterez que la vitesse y est le double de celle de la roue.
Astroïde - x = cos³t, y = sin³t, la vitesse vaut donc exactement 1,5|sin 2t|. Elle affiche 0,0000 à t = 3,142, là où le préréglage s'arrête. Ce résultat se retrouve en trois autres endroits. Ces quatre zéros sont les quatre points de rebroussement.
Papillon - Courbe polaire r = e^cos t − 2cos 4t, tracée selon x = r sin t, y = r cos t. La vitesse est de 1,6321 pour t = 3,142, bien que ce nombre importe moins que son amplitude. Sur un tour complet, la vitesse est multipliée par plus de treize, ce qui explique pourquoi le point de tracé avance par à-coups.
Cœur - La courbe en cœur, x = 16 sin³(t) — à t = π la vitesse tombe à 0,0002, la pointe du cœur
Épicycloïde - Une cardioïde, l’épicycloïde à un rebroussement — vitesse maximale 4,0000 en t = π, juste à l’opposé de la pointe
Hypotrochoïde en deltoïde - Une deltoïde — la même famille 2cos(t) ± cos(2t) que la cardioïde, un signe inversé, et elle a trois rebroussements au lieu d’un
Spirale d'Archimède - La spirale d’Archimède — vitesse 6,3621 en t = 6,283 et croissant sans limite, chaque tour étant plus long que le précédent