Fenêtre de réaction du gardien

Testez si un gardien peut atteindre une cible avant l'arrivée du ballon.

Exemple résolu — Fenêtre de réaction du gardien

Temps de vol du ballon	0.720 s
Temps nécessaire pour la cible	0.975 s
Portée à l'arrivée du ballon	0.81 m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Fenêtre de réaction du gardien

Cette page fait tourner deux horloges à la fois et demande laquelle finit la première. Celle du ballon est triviale : il file à vitesse fixe, son temps de vol vaut donc distance sur vitesse. Celle du gardien, non : il ne peut pas bouger pendant un délai de réaction fixe, et lorsqu’il s’élance enfin, il part à l’arrêt. Presque tout ce qu’il y a d’intéressant ici découle de cet arrêt.

Ce que signifie chaque symbole

t_flight: le temps de vol du ballon, d/v. Tout le budget du gardien, et rien de ce qu’il fait ne le modifie.
t_react: le délai de réaction, de la vision au premier mouvement. Un coût fixe, payé intégralement avant le moindre appui, et qui ne diminue pas quand le tir est plus facile.
a: l’accélération latérale du gardien. Pas sa vitesse de pointe : sur ces distances et ces durées il ne s’en approche jamais, l’accélération est donc la seule qualité athlétique qui compte.
x_reach: la distance latérale qu’il parcourt réellement avant l’arrivée du ballon. La page la compare à l’écart visé, et cette comparaison est le verdict.

D’où vient la formule

Commençons par l’horloge du ballon, qui tient en une ligne. La vitesse est constante, donc t_flight = d/v — une frappe de 20 m à 80 km/h donne 0.900 s, et c’est tout le budget. Remarquez ce qui n’y figure pas : rien sur le gardien. Le défenseur n’a pas voix au chapitre sur le temps dont il dispose.
Au gardien maintenant, qui démarre à l’arrêt. Sous accélération constante la distance vaut x = ½at² ; le temps pour couvrir un écart latéral x en est donc l’inverse : t = √(2x/a). Cette racine est la forme même du problème. Doubler l’écart ne double pas le temps de déplacement : il le multiplie par √2, environ 1.41. Aller loin coûte bien moins cher que l’intuition ne le suggère.
Mais le délai de réaction n’obéit à aucune règle de ce genre. C’est un forfait, réglé avant tout mouvement, identique pour une praline et pour un ballon poussé. Le temps total nécessaire vaut donc t_react + √(2x/a) : un terme qui croît à peine, et un qui ne croît pas du tout. Pour les petits écarts le délai domine entièrement, et l’accélération ne se met à compter que pour les grands.
La page retourne cela, et ce retournement est la forme utile. Plutôt que demander combien de temps il faut au gardien, elle demande jusqu’où il va dans le temps disponible : x_reach = ½a(t_flight − t_react)². Regardez ce qui est élevé au carré — non pas le temps de vol, mais le reste une fois le délai retiré. D’où l’effondrement si brutal de la marge : raccourcissez le vol et la portée chute au carré, à partir d’une quantité que le délai fixe a déjà entamée.

Comment lire ce que vous voyez

Deux lectures et un verdict. Le temps de vol est le budget ; le temps nécessaire pour la cible est la facture du gardien ; la distance atteignable reconvertit cette facture en mètres pour la comparer à l’endroit visé. La vue du terrain trace la portée comme une ligne, ce qui est le moyen le plus rapide de voir la réponse : si le repère dépasse la cible, le gardien y arrive. Les trois préréglages encadrent la limite, et celui du milieu mérite qu’on s’y attarde : 0.704 s de vol contre 0.716 s nécessaires. Douze millisecondes tranchent, et la portée reste à 0.76 m d’une cible à 0.8 m.

Suppose: Un ballon à vitesse constante — pas de traînée qui freine, pas de plongeon, pas d’effet, si bien que le temps de vol est une simple division. Un gardien qui accélère à taux constant depuis l’arrêt, et dans la bonne direction, qu’il a déjà choisie. Et un délai de réaction propriété fixe de la personne, plutôt que quelque chose variant avec la lisibilité de la frappe.
Ne tient plus quand: Prenez au sérieux le préréglage « Battu » de la page et ce n’est plus un cas limite. Un penalty, c’est 11 m ; frappé à 125 km/h il arrive en 0.317 s. Retirez 0.25 s de réaction : il reste au gardien 0.067 s de mouvement, ce qui à 5 m/s² achète une distance atteignable de 0.01 m. Un centimètre. Le modèle n’est pas pessimiste : il constate qu’un penalty ne peut être arrêté par quiconque attend de voir où va le ballon. C’est exactement pourquoi les vrais gardiens font la seule chose dont cette page n’a pas de variable : ils s’engagent avant la frappe, lisent la course d’élan et le pied d’appui, et transforment un problème de réaction en un pari. Le verdict à l’écran est la raison d’être de la vraie tactique.

Pourquoi un ballon sans rotation peut flotter

Un tir sans rotation ou presque n'organise pas son sillage dans la direction de force stable d'un tir brossé classique.

C_L = C_L(t), C_S = C_S(t), ω ≈ 0

Le détachement asymétrique des tourbillons peut faire varier dans le temps la portance et la force latérale, créant une trajectoire erratique plutôt qu'une courbe de Magnus régulière.

Pourquoi un ballon en rotation s'incurve

Un ballon en rotation dévie son sillage et subit une force perpendiculaire à sa vitesse et à son axe de rotation.

F_M = ½ρAC_Lv² · direction(ω × v)

Inversez le vecteur de rotation : le produit vectoriel s'inverse et le ballon tourne de l'autre côté. Le coefficient de portance dépend aussi des coutures, de la vitesse et du rapport rotation-vitesse.

Comment une frappe décentrée crée la rotation

Dirigez l'impulsion du pied d'un côté du centre du ballon. Sa composante avant lance le ballon ; sa composante tangentielle lui donne un moment cinétique.

ΔL = r × J = Iω

Une impulsion tangentielle ou un bras de levier plus grand crée davantage de rotation. Changer le côté du contact inverse son sens. Le vrai contact est bref et déformable : frottement, trajectoire du pied et durée comptent.

Comment la traînée change l'horloge du gardien

Le calculateur utilise distance ÷ vitesse et suppose donc volontairement une vitesse constante du ballon.

m dv/dt = −½ρC_DAv²

Un vrai ballon ralentit. Si l'entrée est la vitesse initiale, la traînée retarde généralement l'arrivée par rapport à l'estimation constante ; il faut intégrer la vitesse pour la modéliser.

Pourquoi la portée réelle du gardien diffère

Le point bleu du gardien représente le déplacement latéral du corps, pas la position du bout des doigts.

s_ball = s_body + r_reach

Un véritable arrêt inclut aussi la portée du bras, le pas d'impulsion, une accélération variable et le temps de choisir la direction. Cela exige un modèle biomécanique plus riche.

Problème entièrement résolu

Un tir à 80 km/h visant à 1,8 m du côté du gardien 8 étapes
Un tir est effectué à 16 m à 80 km/h, visé à 1,8 m du côté du gardien. Le gardien a besoin de 0,20 s pour réagir, puis accélère latéralement depuis l'arrêt à 6,0 m/s². Le gardien y parvient-il — et si ce n'est pas le cas, à quel point le tir devrait-il être lent ? La vitesse du ballon est constante et le gardien est un point matériel, ce qui constitue le modèle de cette page et non l'intégralité du football.
1. On ne peut pas diviser des mètres par des kilomètres par heure. Convertissez une fois, au départ, et toutes les étapes ultérieures se feront dans un seul système.
  
  $v = \frac{80}{3.6} = 22.22 m/s$
2. Une vitesse constante réduit le temps de vol à une simple division. Ce nombre constitue la totalité du budget temps — tout ce que fait le gardien doit s'y inscrire.
  
  $t_{f} = \frac{d}{v} = \frac{16}{22.22} = 0.720 s$
3. Le délai de réaction est soustrait du début du vol, sans être réduit proportionnellement. Ce qui reste est le seul intervalle pendant lequel le gardien est réellement en mouvement.
  
  $Δ t = t_{f} - t_{r} = 0.720 - 0.20 = 0.520 s$
4. À partir du repos et sous une accélération constante, le déplacement varie comme le carré du temps de mouvement. Cette élévation au carré explique pourquoi le délai nuit de façon disproportionnée : 0,20 s représente 28 % du temps de vol, mais retire 48 % de la distance que le gardien aurait pu couvrir autrement.
  
  $s = \frac{1}{2} a Δ t^{2} = \frac{1}{2} (6.0) (0.520)^{2} = 0.81 m$
5. Mettez cela en regard des 1,8 m que le tir exige. Le manque à gagner est plus grand que la distance parcourue — le gardien est plus proche d'être immobile que d'effectuer l'arrêt.
  
  $1.8 - 0.81 = 0.99 m$
6. Refaites la même algèbre en sens inverse pour déterminer quelle fenêtre 1,8 m nécessiterait. Résoudre ½aΔt² = 1,8 pour Δt implique une racine carrée, de sorte que la fenêtre requise augmente lentement à mesure que la cible s'éloigne.
  
  $Δ t_{req} = \frac{2 \times 1.8}{6.0} = 0.6 = 0.7746 s$
7. Réajoutez le délai. 0,975 s est le temps de vol nécessaire pour cet arrêt ; 0,720 s est ce que l'attaquant a accordé.
  
  $t_{req} = t_{r} + Δ t_{req} = 0.20 + 0.7746 = 0.975 s$
8. Un temps de vol est une distance divisée par une vitesse, donc une contrainte de temps se traduit directement par une limite de vitesse sur le tir.
  
  $v_{crit} = \frac{d}{t _{req}} = \frac{16}{0.9746} = 16.42 m/s = 59.1 km/h$
Réponse

Le gardien échoue à 0,99 m — un écart plus grand que les 0,81 m réellement couverts. L'effort ne suffit pas à le combler. La portée augmente comme le carré de la fenêtre de mouvement, de sorte que la cible n'est atteinte que si le tir descend à 59,1 km/h : une réduction de 26 % de la vitesse offre un gain de portée d'un facteur 2,22, et ce levier joue entièrement en faveur de l'attaquant. Le propre levier du gardien est beaucoup plus court. Réduisez le délai de réaction de 0,20 s à 0,15 s et la portée n'atteint que 0,97 m, encore en retard de 0,83 m ; même à 0,10 s, elle atteint 1,15 m et le ballon est au fond. Dans ce modèle, l'horloge appartient à celui qui a frappé le ballon — à 16 m pour un écart de 1,8 m, n'importe quel tir au-dessus de 59,1 km/h arrive en premier, peu importe la vitesse à laquelle le gardien réagit.

$\frac{v _{crit}}{v} = \frac{t _{f}}{t _{req}} = 0.739, \frac{1.8}{0.81} = 2.22$

Références (1)

The lesson's closing point — why keepers commit before the strike rather than react to it: G. J. P. Savelsbergh, A. M. Williams, J. Van Der Kamp and P. Ward, "Visual search, anticipation and expertise in soccer goalkeepers." Journal of Sports Sciences 20(3), 279–287, 2002.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-22

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