Additionner des fractions, et l'erreur

Choisissez deux fractions. L'outil les additionne sur un dénominateur commun, puis additionne à part les numérateurs et les dénominateurs — l'erreur classique. Regardez où chaque réponse se place sur la droite.

Exemple résolu — Additionner des fractions, et l'erreur

Dénominateur commun	20
Somme	23/20
Fractions insérées	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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L'erreur classique est une vraie opération, et elle ne rate jamais 🖖

Additionnez 3/4 et 2/5 de travers — numérateurs ensemble, dénominateurs ensemble — et vous obtenez 5/9. Ce n'est pas la somme, qui vaut 23/20. Mais regardez où tombe 5/9 : à 0,5556, entre 0,4 et 0,75. Cette valeur s'appelle la médiante, et elle tombe entre les deux fractions à chaque fois. La preuve tient en une soustraction : la médiante moins a/b donne (bc − ad) sur b(b+d), et c/d moins la médiante donne le même (bc − ad) sur d(b+d). Même signe les deux fois. La médiante est donc au-dessus d'une fraction exactement quand elle est au-dessous de l'autre, et il ne lui reste que l'écart. Changez les nombres comme vous voulez : elle reste dans la bande ombrée.

Un dénominateur commun n'est pas un rituel, c'est une unité 🖖

On n'additionne pas trois moutons et quatre heures. Les demis et les tiers sont des unités de la même façon, et c'est pourquoi 1/2 + 1/3 ne fait pas 2/5 — les morceaux n'ont pas la même taille, et les compter ne veut rien dire tant que c'est le cas. Les sixièmes sont la première taille dans laquelle un demi et un tiers se découpent exactement, et le dénominateur commun n'est rien d'autre : 3/6 + 2/6 = 5/6. Cela dit aussi pourquoi l'erreur paraît si naturelle. Additionner les numérateurs et les dénominateurs, c'est compter honnêtement — cinq morceaux sur neuf — mais en comptant des morceaux de deux tailles comme s'ils étaient identiques, si bien qu'on obtient une proportion du tas entier au lieu d'un total.

Répétez l'erreur et vous engendrez toutes les fractions 🖖

Appuyez sur Combler tout l'écart. Partez de 0 et 1, placez la médiante entre les deux — c'est 1/2 — puis recommencez entre chaque nouveau couple voisin, et encore. Quatre tours donnent 15 fractions. Aucune ne se simplifie, aucune n'apparaît deux fois. Continuez et chaque fraction entre 0 et 1 se présente exactement une fois, irréductible, à sa place : c'est l'arbre de Stern-Brocot, publié en 1858 par un théoricien des nombres allemand et en 1861 par un horloger français qui cherchait des rapports d'engrenage. Achille Brocot avait besoin d'une fraction proche d'un rapport qu'il ne pouvait pas construire, avec un nombre de dents réellement taillable — et l'arbre la lui donne.

Problème entièrement résolu

La médiante est-elle la fraction la plus simple entre les deux ? Elle tombe toujours dans l'écart. Savoir si quelque chose de plus petit dénominateur y arrive d'abord est une autre question, et la réponse est : pas toujours.
1. Commencez par la somme, faite correctement. Vingt est le premier dénominateur où les quarts et les cinquièmes tiennent tous les deux, donc les fractions deviennent quinze vingtièmes et huit vingtièmes.
  
  $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}$
2. Maintenant l'erreur. Cinq neuvièmes, et le panneau confirme : la valeur est dans l'écart, comme il se doit.
  
  $\frac{3 + 2}{4 + 5} = \frac{5}{9} = 0.5556, \frac{2}{5} = 0.4 < \frac{5}{9} < 0.75 = \frac{3}{4}$
3. Pourquoi elle doit y être. Soustrayez la médiante de chaque extrémité et la même quantité, bc − ad, apparaît au numérateur les deux fois. Un dénominateur est b(b+d), l'autre d(b+d), tous deux positifs : les deux différences ont donc le même signe et la médiante est coincée entre les fractions.
  
  $\frac{a + c}{b + d} - \frac{a}{b} = \frac{b c - a d}{b ( b + d )}, \frac{c}{d} - \frac{a + c}{b + d} = \frac{b c - a d}{d ( b + d )}$
4. Mais cherchez plus simple. Un demi est aussi dans l'écart, avec un dénominateur de 2 contre 9 pour la médiante. Pour ce couple, la médiante n'est donc pas la fraction la plus simple entre les deux, et de loin.
  
  $\frac{1}{2} = 0.5 \in (\frac{2}{5}, \frac{3}{4}), q = 2 < 9$
5. Ce qui en décide est une quantité déjà posée. Pour trois quarts et deux cinquièmes, elle vaut sept, pas un.
  
  $b c - a d = 4 \times 2 - 3 \times 5 = - 7, ∣ b c - a d ∣ = 7$
6. Prenez un couple où elle vaut un. Un tiers et un demi : la médiante est deux cinquièmes, et rien dont le dénominateur est inférieur à cinq ne se trouve entre eux. Voilà toute la condition.
  
  $\frac{1}{3}, \frac{1}{2} : b c - a d = 3 \times 1 - 1 \times 2 = 1, \frac{1 + 1}{3 + 2} = \frac{2}{5}$
Réponse

La médiante est la fraction la plus simple entre les deux exactement quand |bc − ad| = 1 — quand le couple est voisin dans une suite de Farey. Balayé sur tous les couples de dénominateurs jusqu'à 25 : cela vaut pour les 798 couples voisins et échoue pour 111 992 des 119 636 autres. L'outil n'affiche jamais bc − ad, et ce seul nombre sépare le cas où l'erreur scolaire est la meilleure réponse possible de celui où elle n'est que correcte.

$∣ b c - a d ∣ = 1 ⟺ \frac{a + c}{b + d} = q arg min {\frac{p}{q} \in (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})}$

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Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-07

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Exemples de problèmes

3/4 et 2/5 - La somme vaut 23/20. Additionner numérateurs et dénominateurs donne 5/9, soit 0,5556 — entre 2/5 et 3/4 plutôt qu'au-delà.
Demis et tiers - Les demis et les tiers sont des unités différentes, et 6 est la première dans laquelle les deux s'écrivent — d'où leur somme 5/6. La médiante 2/5 est la fraction la plus simple entre un demi et un tiers.
Même dénominateur - 1/5 et 2/5 font 3/5. Ici la médiante 3/10 vaut exactement la moitié de la somme : à dénominateurs égaux, additionner numérateurs et dénominateurs revient à faire la moyenne.
Quand ce n'est pas la plus simple - 2/7 et 3/7 donnent la médiante 5/14. Elle est bien entre les deux, comme toujours — mais ce n'est pas la fraction la plus simple à y être, et c'est là que la belle règle s'arrête.
Combler tout l'écart - Partez de 0 et 1 et insérez des médiantes quatre fois : 15 fractions apparaissent, toutes déjà irréductibles, et aucune deux fois.