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π est dans la courbe en cloche, et il n'y a pas le moindre cercle dedans
Un outil de ce site trouve π de sept manières différentes. Deux seulement passent par le tracé d'un cercle.
Tout le monde apprend π comme un fait sur les cercles : la circonférence divisée par le diamètre, un nombre à peine supérieur à trois. Cette définition est vraie, et c'est aussi ce qu'il y a de moins intéressant à son sujet.
Le π secrets tool trouve le même nombre de sept façons : des polygones, une roue qui roule, des pelures d'oignon, des blocs qui s'entrechoquent, des aiguilles lâchées au hasard, des points tirés au sort et une somme infinie. Deux d'entre elles parlent de cercles. Les autres non, et c'est leur accord qui mérite explication.
Des aiguilles sur un plancher
L'aiguille de Buffon, de 1777, en est le cas le plus net. Tracez sur le sol des droites parallèles distantes de d. Laissez tomber au hasard une aiguille de longueur ℓ ≤ d. La probabilité qu'elle coupe une droite vaut
P = 2ℓ / (πd)
Lâchez donc quelques milliers d'aiguilles, comptez les intersections, et vous avez mesuré π avec une allumette et une lame de parquet. Aucun cercle tracé, aucun rayon mesuré, rien de courbe à aucun moment.
π s'est introduit par l'angle. Qu'une aiguille coupe ou non dépend de son orientation, et moyenner sur toutes les orientations revient à intégrer sur un tour complet, or un tour complet vaut 2π radians par définition. Chaque apparition de π en probabilités où figure l'expression « dans une direction aléatoire » vient de cette même intégrale.
La note de Ramaley, en 1969, le dit de façon indépassable. Tordez l'aiguille comme bon vous semble, jusqu'à en faire une nouille : le nombre moyen d'intersections ne dépend que de sa longueur totale, pas de sa forme. Le résultat survit parce qu'il n'a jamais dépendu de la rectitude, seulement de la moyenne sur les directions. Voilà à quoi cela ressemble, une constante qui appartient à la rotation plutôt qu'à la géométrie.
La courbe en cloche, où il n'y a aucun angle
Passons au cas où aucune rotation n'est en vue. La loi normale que trace le normal tool s'écrit
f(x) = (1/√(2π σ²)) · e−(x−μ)²/(2σ²)
Un π, posé en tête de la formule la plus utilisée de toute la statistique, celle qui décrit des notes d'examen, des erreurs de mesure et la taille des conscrits. Rien ici n'est circulaire.
Il arrive par une astuce qui vaut d'être connue, parce qu'elle explique au lieu d'affirmer. Pour que la courbe s'intègre à 1, il faut ∫e−x²dx, qui n'a pas de primitive élémentaire. L'échappatoire habituelle consiste à l'élever au carré, transformant une intégrale sur une droite en une intégrale double sur le plan, ce qui fait de l'exposant e−(x²+y²). Or x² + y², c'est un rayon. Dès qu'une somme de deux carrés apparaît, le geste naturel est de passer en coordonnées polaires : l'angle s'intègre en 2π et la réponse est √π.
π est donc entré dans la courbe en cloche parce que le carré de la fonction dépend de x² + y², et une quantité qui ne dépend que de x² + y² est une quantité indifférente à la direction. La circularité se cachait dans l'algèbre, pas dans le dessin.
Ce dont π parle réellement
Voilà le motif, et une fois qu'on le tient, les autres apparitions cessent de surprendre.
π se présente partout où il y a rotation : une moyenne sur toutes les directions, un tour complet, une oscillation qui revient à son point de départ. Et il se présente partout où il y a une somme de deux carrés, parce que c'est l'algèbre de la distance, et que la distance est ce qui ne change pas quand on tourne. Le cercle est simplement l'objet le plus familier à posséder les deux propriétés, et c'est à ce titre qu'il a donné son nom à l'affaire.
La démonstration des blocs qui s'entrechoquent, sur cette même page, est le membre le plus étrange de la famille : deux blocs dont le rapport des masses vaut 100n, plus un mur, produisent dans leur nombre de chocs exactement les n + 1 premiers chiffres de π. Cela ressemble à une coïncidence et n'en est pas une. Les chocs élastiques conservent l'énergie cinétique, qui est une somme de carrés de vitesses : l'état du système vit donc sur un cercle de l'espace des vitesses, et chaque choc y est une rotation d'angle fixe. Le nombre de chocs est le nombre de pas nécessaires pour en faire le tour complet. C'est encore l'argument de Buffon, sous un autre chapeau.
Un avertissement pratique, puisque deux de ces méthodes sont des simulations. Les Random-point estimates convergent au rythme de toute méthode de Monte-Carlo : l'erreur décroît en 1/√n, si bien que chaque chiffre exact supplémentaire coûte cent fois plus de travail. Comme moyen de calculer π, elles sont sans espoir, et la méthode des polygones qu'Archimède menait à la main les bat à plate couture. Comme démonstration que π vit en dehors de la géométrie, elles sont ce que la page offre de mieux.