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O π está na curva de Gauss, e não há um círculo em lado nenhum dela
Uma ferramenta deste site encontra o π de sete maneiras diferentes. Só duas delas implicam desenhar um círculo.
Toda a gente aprende o π como um facto sobre círculos: o perímetro a dividir pelo diâmetro, um número pouco acima de três. A definição é verdadeira e é também a coisa menos interessante que se pode dizer dele.
A π secrets tool encontra o mesmo número por sete vias: polígonos, uma roda a rolar, anéis de cebola, blocos em colisão, agulhas deixadas cair, pontos aleatórios e uma soma infinita. Duas dizem respeito a círculos. As restantes não, e o facto de todas concordarem é o que vale a pena explicar.
Agulhas num soalho
A agulha de Buffon, de 1777, é o caso mais limpo. Trace no chão retas paralelas separadas por uma distância d. Deixe cair ao acaso uma agulha de comprimento ℓ ≤ d. A probabilidade de cruzar uma reta é
P = 2ℓ / (πd)
Deixe cair uns milhares de agulhas, conte os cruzamentos e mediu o π com um fósforo e uma tábua de soalho. Não se desenhou nenhum círculo, não se mediu nenhum raio, nada de curvo entrou em momento algum.
O π entrou pelo ângulo. Que a agulha cruze ou não depende da sua orientação, fazer a média sobre todas as orientações é integrar ao longo de uma volta completa, e uma volta completa são 2π radianos por definição. Todas as aparições do π em probabilidades que envolvem "numa direção aleatória" saem desse mesmo integral.
A nota de Ramaley, de 1969, diz isto de forma insuperável. Dobre a agulha na forma que lhe apetecer, faça dela um esparguete, e o número esperado de cruzamentos depende apenas do comprimento total e não da forma. O resultado sobrevive porque nunca dependeu de a agulha ser direita, apenas da média sobre as direções. É este o aspeto que tem uma constante que pertence à rotação e não à geometria.
A curva de Gauss, que não tem ângulo nenhum
Agora o caso em que não há rotação à vista. A distribuição normal que a normal tool desenha é
f(x) = (1/√(2π σ²)) · e−(x−μ)²/(2σ²)
Um π, sentado à frente da fórmula mais usada da estatística, que descreve notas de exames, erros de medição e a altura dos recrutas. Não há aqui nada de circular.
Chega por um truque que vale a pena conhecer, porque explica em vez de afirmar. Para que a curva integre 1 é preciso ∫e−x²dx, que não tem primitiva elementar. A fuga habitual é elevá-lo ao quadrado, o que transforma um integral sobre uma reta num integral duplo sobre o plano, e nessa altura o expoente passa a e−(x²+y²). E x² + y² é um raio. Assim que a soma de dois quadrados aparece, o passo natural são as coordenadas polares, o ângulo integra 2π e a resposta é √π.
O π entrou na curva de Gauss porque o quadrado da função depende de x² + y², e uma quantidade que só depende de x² + y² é uma quantidade indiferente à direção. A circularidade estava escondida dentro da álgebra, não no desenho.
Aquilo de que o π trata realmente
É este o padrão e, uma vez apanhado, as restantes aparições deixam de surpreender.
O π surge sempre que há rotação: uma média sobre todas as direções, uma volta completa, uma oscilação que regressa ao ponto de partida. E surge sempre que há uma soma de dois quadrados, porque essa é a álgebra da distância, e a distância é aquilo que não muda quando se roda. Os círculos são simplesmente o objeto mais familiar com as duas propriedades, e foi assim que ficaram com os direitos ao nome.
A demonstração dos blocos em colisão, nessa página, é o membro mais estranho da família: dois blocos com uma razão de massas de 100n e uma parede produzem exatamente os primeiros n + 1 algarismos do π no número de colisões. Parece uma coincidência e não é. As colisões elásticas conservam a energia cinética, que é uma soma de quadrados de velocidades, pelo que o estado do sistema vive sobre um círculo no espaço das velocidades e cada colisão é uma rotação fixa em torno dele. O número de colisões é o número de passos até se ter dado a volta toda. É o argumento de Buffon outra vez, com outro chapéu.
Um aviso prático, já que dois destes métodos são simulações. As Random-point estimates convergem ao ritmo a que converge todo o Monte Carlo: o erro cai com 1/√n, portanto cada algarismo correto a mais custa cem vezes o trabalho. Como forma de calcular o π não prestam, e o método dos polígonos que Arquimedes executou à mão dá-lhes uma volta. Como demonstração de que o π vive fora da geometria, são o melhor que a página tem.