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πは正規分布の式のなかにいて、そこに円はどこにもない
このサイトのあるツールは、πを7通りのやり方で見つける。円を描くものは、そのうち2つだけである。
誰もがπを円についての事実として習う。円周を直径で割ったもの、3を少し超える数。この定義は正しく、そしてπについて最も面白くない事柄でもある。
π secrets tool は同じ数を7通りで見つける。多角形、転がる車輪、玉ねぎの輪、衝突する物体、落とした針、無作為な点、そして無限級数。このうち円についてのものは2つ。残りはそうではなく、それらが一致するという事実こそ説明する値打ちがある。
床に落ちた針
1777年のビュフォンの針が、いちばんきれいな例である。床に間隔 d の平行線を引く。長さ ℓ ≤ d の針を無作為に落とす。線と交わる確率は次のようになる。
P = 2ℓ / (πd)
だから針を数千本落として交差を数えれば、マッチ棒と床板でπを測ったことになる。円は描かれず、半径は測られず、曲がったものはどの段階でも関わっていない。
πが入り込んだ口は角である。針が交わるかどうかは向きに左右され、すべての向きについて平均をとることは1回転にわたって積分することであり、1回転は定義により 2π ラジアンである。「無作為な向きに」を含む確率論でπが顔を出すときは、いつも同じこの積分から来ている。
ラマリーが1969年に書いた短い論説が、この点をこれ以上ないほど明快にしている。針は好きな形に曲げてよい。麺のように。それでも交差の期待値は全長だけで決まり、形にはよらない。結果が生き延びるのは、そもそも直線であることに依存しておらず、向きについての平均だけに依存していたからである。定数が幾何ではなく回転に属しているとき、見え方はこうなる。
角がひとつもない正規分布
次は回転がどこにも見えない場合である。normal tool が描く正規分布は次の式で与えられる。
f(x) = (1/√(2π σ²)) · e−(x−μ)²/(2σ²)
統計学で最もよく使われる式の先頭に、πが座っている。試験の点数を、測定誤差を、徴集兵の身長を記述する式である。ここに円いものは何もない。
πが入ってくる筋道は、知っておく値打ちのある工夫である。主張ではなく説明になっているからだ。曲線の積分を1にするには ∫e−x²dx が要るが、これには初等的な原始関数がない。定石の逃げ道はこれを二乗することで、直線上の1つの積分が平面上の二重積分に変わり、指数部は e−(x²+y²) になる。そして x² + y² は半径である。二つの平方の和が現れた時点で、自然な一手は極座標であり、角は積分されて 2π になり、答えは √π になる。
πが正規分布に入ったのは、この関数の二乗が x² + y² に依存するからであり、x² + y² だけに依存する量は向きを気にしない量だからである。円らしさは絵のなかではなく、代数のなかに隠れていた。
πが本当に扱っているもの
これがその型であり、いったん手にしてしまえば、ほかの場面でπが出てきても驚かなくなる。
πは回転のあるところに現れる。すべての向きについての平均、1回転、出発点に戻ってくる振動。そして二つの平方の和のあるところにも現れる。それが距離の代数であり、距離とは回しても変わらないもののことだからだ。円は、この二つの性質をあわせ持つ最も身近な対象であるにすぎない。だから命名権を得た。
あのページにある衝突する物体の実演は、一族のなかで最も奇妙な一員である。質量比 100n の二つの物体と壁が、衝突回数としてπの最初の n + 1 桁をちょうど生み出す。偶然に見えるが偶然ではない。弾性衝突は運動エネルギーを保存し、それは速度の平方の和なので、系の状態は速度空間の円周上に乗り、衝突1回ごとにその円周上を決まった角だけ回る。衝突の回数は、一周し終えるまでの歩数である。帽子を替えたビュフォンの議論にほかならない。
このうち二つの方法はシミュレーションなので、実用上の注意を一つ。Random-point estimates の収束の速さは、モンテカルロ法すべてに共通のものである。誤差は 1/√n で減るので、正しい桁を1つ増やすたびに手間は100倍になる。πを計算する手段としては望みがなく、アルキメデスが手で走らせた多角形の方法にまるで及ばない。πが幾何の外に住んでいることの実演としては、あのページで最良のものである。