See on masintõlge; originaalartikkel on inglise keeles. Loe originaali
π on kellakõveras ja ringjoont ei ole seal kusagil
Üks selle saidi tööriist leiab π seitsmel eri moel. Ainult kahes neist joonistatakse ringjoon.
Kõik õpivad π-d faktina ringjoonte kohta: ümbermõõt jagatud läbimõõduga, arv veidi üle kolme. See määratlus on tõene ja ühtlasi kõige vähem huvitav asi π juures.
π secrets tool leiab sama arvu seitsmel moel: hulknurgad, veerev ratas, sibularõngad, põrkuvad klotsid, pillatud nõelad, juhuslikud punktid ja lõpmatu summa. Kaks neist käivad ringjoonte kohta. Ülejäänud ei käi, ja seletamist väärib just see, et nad kõik ühele arvule jõuavad.
Nõelad põrandal
Buffoni nõel aastast 1777 on kõige puhtam juhtum. Tõmba põrandale paralleelsed jooned kaugusega d. Pilla juhuslikult nõel pikkusega ℓ ≤ d. Tõenäosus, et ta ületab mõne joone, on
P = 2ℓ / (πd)
Pilla siis paar tuhat nõela, loenda ületused, ja oledki mõõtnud π-d tiku ja põrandalauaga. Ühtegi ringjoont ei joonistatud, ühtegi raadiust ei mõõdetud, midagi kõverat ei olnud üheski kohas mängus.
π pääses sisse nurga kaudu. See, kas nõel joont ületab, sõltub tema suunast, kõigi suundade järgi keskmistamine tähendab integreerimist üle täispöörde, ja täispööre on määratluse järgi 2π radiaani. Iga π ilmumine tõenäosusteoorias, kus esineb „juhuslikus suunas“, tuleb sellestsamast integraalist.
Ramaley 1969. aasta märkus ütleb selle välja nii, et paremini ei saa. Väänä nõel ükskõik mis kujuliseks, kas või nuudliks, ja ületuste oodatav arv sõltub ainult tema kogupikkusest, mitte kujust. Tulemus peab vastu sellepärast, et ta ei sõltunud algusest peale sirgusest, vaid ainult keskmistamisest üle suundade. Nõnda see välja näebki, kui konstant kuulub pöörlemisele, mitte geomeetriale.
Kellakõver, milles pole ühtki nurka
Nüüd juhtum, kus pöörlemist ei ole silmapiirilgi. Normaaljaotus, mille normal tool joonistab, on
f(x) = (1/√(2π σ²)) · e−(x−μ)²/(2σ²)
π istub statistika kõige kasutatavama valemi eesotsas, ja see valem kirjeldab eksamihindeid, mõõtmisvigu ja kutsealuste pikkusi. Ringikujulist ei ole siin midagi.
Ta jõuab sinna teadmist väärivat teed pidi, sest see tee seletab, mitte ei väida. Selleks, et kõvera integraal oleks 1, on vaja ∫e−x²dx, millel elementaarset algfunktsiooni ei ole. Tavaline pääsetee on tõsta see ruutu, mis muudab ühe integraali üle sirge kaksikintegraaliks üle tasandi, ja astendajaks saab e−(x²+y²). Ja x² + y² on raadius. Niipea kui ilmub kahe ruudu summa, on loomulik käik minna üle polaarkoordinaatidele, nurk integreerub 2π-ks ja vastuseks on √π.
π sattus kellakõverasse seega sellepärast, et funktsiooni ruut sõltub avaldisest x² + y², ja suurus, mis sõltub ainult avaldisest x² + y², on suurus, mida suund ei huvita. Ringikujulisus peitis end pildi asemel algebras.
Millest π tegelikult räägib
Selline on muster, ja kui see käes on, lakkavad ülejäänud ilmumised üllatamast.
π ilmub kõikjal, kus on pöörlemine: keskmistamine üle kõigi suundade, täispööre, võnkumine, mis jõuab tagasi sinna, kust alustas. Ja ta ilmub kõikjal, kus on kahe ruudu summa, sest see on kauguse algebra, ja kaugus on seesama, mis pööramisel ei muutu. Ringjooned on lihtsalt kõige tuttavam objekt, millel on mõlemad omadused, ja seepärast said nemad nimeandmisõiguse.
Põrkuvate klotside demonstratsioon sellel lehel on pere kõige veidram liige: kaks klotsi massisuhtega 100n ja sein annavad põrgete arvuna täpselt π esimesed n + 1 numbrit. See näib kokkusattumusena ja ei ole seda. Elastsed põrked hoiavad kineetilise energia muutumatuna, ja see on kiiruste ruutude summa, nii et süsteemi olek asub kiiruste ruumis ringjoonel ja iga põrge on kindla suurusega pööre mööda seda ringjoont. Põrgete arv on sammude arv, enne kui oled ringiga ühele poole saanud. See on Buffoni arutluskäik uuesti, teine kaabu peas.
Üks praktiline hoiatus, kuna kaks neist meetoditest on simulatsioonid. Random-point estimates koonduvad sama tempoga nagu kogu Monte Carlo: viga kahaneb nagu 1/√n, nii et iga järgmine õige number maksab sada korda rohkem tööd. π arvutamise viisina on nad lootusetud, ja hulknurgameetod, mille Archimedes käsitsi läbi tegi, lööb neid rängalt. Demonstratsioonina, et π elab väljaspool geomeetriat, on nad lehe parim asi.