Normaaljaotuse eksploraator
kellkõvera tõenäosus — reaalajas interaktiivne
68–95–99,7 reegel 🖖
Need protsendid ei ole ümardatud hinnangud — need tulenevad otse Gaussi integraalist: iga arv on funktsiooni e^(−z²/2) graafiku alune pindala ±1, ±2 ja ±3 standardhälbe vahel, täpselt see, mida allpool toodud veafunktsiooni sammud arvutavad. Füüsikud laenavad seda skaalat 'avastuse' lävendite jaoks: 2012. aasta Higgsi bosoni avastuse väljakuulutamiseks nõuti 5σ tõendusmaterjali ehk ühepoolset valepositiivsete määra, mis on ligikaudu üks 3,5 miljonile — just seepärast, et tõeline signaal peab enne usaldamist ületama nii kõrge läve, mitte jääma statistiliseks müraks. Reegel selgitab ka, miks 'ebatõenäolised' sündmused suurtes andmestikes tegelikult haruldased ei olegi: miljoni sõltumatu mõõtmise korral peaks mõni neist puhtjuhuslikult ületama ±5σ piiri, ja just selle lõksu vastu 5σ lävend ongi mõeldud.
Miks loeb pindala, mitte kõrgus 🖖
Kellukõver kujutab tõenäosustihedust, mitte tõenäosust ennast — seega üksiku punkti kõrgus ei ütle peaaegu midagi. Oluline on pindala: varjutatud riba x₁ ja x₂ vahel näitab tõenäosust, et väärtus satub sellesse vahemikku, ja kogu kõver hõlmab alati täpselt pindala 1. μ nihutamine liigutab tippu vasakule või paremale; suurem σ lamendab ja laiendab kõverat, kuid see kogupindala ei muutu.
Kellukõver, mis jõudis rahatähele 🖖
Kõver oli piisavalt kuulus, et jõuda rahale: Saksa 10-margane rahatäht, käibel 1991–2001, kujutas Carl Friedrich Gaussi kõrval just seda kõverat ja selle valemit f(x). Kohane küll, sest ta täiustas seda astronoomia mõõtmisvigade modelleerimisel. Ometi oli Abraham de Moivre kuju tuletanud juba 1733, aastakümneid enne Gaussi sündi — näidisjuhtum Stigleri seadusest, mis naljatab, et miski pole nime saanud oma tegeliku avastaja järgi.
Näiteülesanded
- Standardnormaalne - Õpiku põhijuhtum — μ = 0, σ = 1. σ = 1 tähendab, et väärtused erinevad keskmisest tavaliselt umbes 1 ühiku võrra. Graafik näitab alati μ ± 4,5σ — siin −4,5 kuni +4,5 — et katta 99,999% jaotusest. Iga normaaljaotus on teisendatav sellele skaalale. Liiguta liugureid, et näha μ ja σ mõju.
- IQ-skoorid - IQ-testid on normeeritud nii, et elanikkonna keskmine on 100 — ja σ = 15 tähendab, et individuaalsed IQ-skoorid erinevad keskmisest tavaliselt umbes 15 punkti võrra. Graafik ulatub umbes 33-st 168-ni (μ ± 4,5σ = 100 ± 67,5): väärtused ±3σ taga (alla 55 või üle 145) on reaalsed, kuid haruldased — umbes 1 inimene 750-st. Proovi ±2σ, et näha, kui harv see tegelikult on.
- Pikkused - Täiskasvanute pikkused paljudes populatsioonides järgivad normaaljaotust. σ = 10 cm tähendab, et individuaalsed pikkused erinevad keskmisest tavaliselt umbes 10 cm võrra. Graafik ulatub 125–215 cm-ni (μ ± 4,5σ = 170 ± 45) — pikkused üle 200 cm on olemas, kuid haruldased, esinedes umbes ühel inimesel 750-st. Varjutatud vahemik (160–180 cm) esindab seda, mida enamik nimetab 'keskmiseks kasvuks'.
- Eksami tulemused - Klass keskmise tulemusega 65. σ = 12 tähendab, et tulemused erinevad keskmisest tavaliselt umbes 12 punkti võrra. Graafik ulatub umbes 11-st 119-ni (μ ± 4,5σ = 65 ± 54) ja läheb üle 100 piiri — normaaljaotusele pole fikseeritud lage; need üle 100 ulatuvad sabad on väga lamedad ja esindavad haruldasi tulemusi. Sea x₁ ja x₂ suvalise hindamisvahemiku peale.