Normaaljaotuse eksploraator

Määra keskväärtus ja hajuvus, varjuta soovitud vahemik ning vaata, kui suure tõenäosusega väärtus sellesse satub.

Algväärtused — Normaaljaotuse eksploraator

Keskväärtus (μ)	0
Standardhälve (σ)	1
x₁ (alumine piir)	-1
x₂ (ülemine piir)	1

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

68–95–99,7 reegel 🖖

Need protsendid pole ümardatud oletused. Need tulenevad otse Gaussi integraalist: iga protsent on e^(−z²/2) alune pindala vahemikus ±1, ±2 või ±3 standardhälvet, just see, mille arvutavad allpool veafunktsiooni abil esitatud sammud.

Füüsikud kasutavad sama skaalat avastuse tõendusläve määramiseks. Higgsi bosoni avastamisest teatamiseks 2012. aastal nõuti 5σ tugevusega tõendeid, mille korral ühepoolse valepositiivse tulemuse tõenäosus on ligikaudu 1 juht 3,5 miljoni kohta. Nii kõrge lävi aitab eristada tegelikku signaali statistilisest mürast.

See reegel selgitab ka, miks „ebatõenäolised“ sündmused pole suurtes andmestikes sugugi haruldased. Miljoni sõltumatu mõõtmise korral võib puhtalt juhuse tõttu eeldada, et umbes 63 tulemust jääb väljapoole vahemikku ±4σ, kuid vahemiku ±5σ ületaks vähem kui üks. Peamiselt seepärast ongi läveks viis, mitte neli; oma osa on ka varasematel kolme sigma tulemustel, mis hiljem kinnitust ei leidnud.

Miks loeb pindala, mitte kõrgus 🖖

Kellukõver kujutab tõenäosustihedust, mitte tõenäosust ennast. Seega ei ole kõvera kõrgus ühes punktis tõenäosus. Kõrgusi saab omavahel võrrelda: kaks korda kõrgem kõver tähendab, et väärtus on x-telje ühiku kohta kaks korda tõenäolisem, kuid täpselt sellesse punkti sattumise tõenäosus on null. Oluline on pindala. Varjutatud riba x₁ ja x₂ vahel näitab tõenäosust, et väärtus jääb sellesse vahemikku, ning kogu kõvera alla jääv pindala on alati täpselt 1. Kui μ muutub, nihkub tipp vasakule või paremale. Suurem σ muudab kõvera madalamaks ja laiemaks, kuid kogupindala jääb samaks.

Kellukõver, mis jõudis rahatähele 🖖

Kõver oli nii kuulus, et jõudis rahatähele: Saksamaal 1991.–2001. aastal käibel olnud 10-margasel rahatähel kujutati Carl Friedrich Gaussi koos sellesama kõvera ja selle valemiga f(x). Gauss täiustas mudelit astronoomiliste mõõtmisvigade uurimisel ning seepärast tuntakse seda ka veakõverana. Abraham de Moivre oli aga sama kuju tuletanud juba 1733. aastal, aastakümneid enne Gaussi sündi. See on ehe näide Stigleri seadusest, mille järgi ei nimetata ühtki avastust selle tegeliku avastaja järgi.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kaks juhuslikult valitud täiskasvanut, kelle μ = 170 cm 5 sammu
Kui kaugel asuvad teineteisest kaks juhuslikult valitud täiskasvanut? See on Pikkused: μ = 170 cm ja σ = 10 cm ning viirutatud vahemik ulatub väärtusest x₁ = 160 väärtuseni x₂ = 180 cm.
1. Standardiseerimine teisendab sentimeetrid standardhälveteks, mis on ainus vääring, mida normaaljaotuse tabel aktsepteerib. Vahemik on keskväärtusest täpselt ühe σ võrra mõlemal pool.
  
  $z_{1} = \frac{160 - 170}{10} = - 1, z_{2} = \frac{180 - 170}{10} = + 1$
2. Kõver on keskväärtuse suhtes sümmeetriline, seega ala alla −1 võrdub alaga üle +1 ja viirutatud keskosa on see, mis üle jääb. Üks tabeliväärtus teeb ära kogu arvutuse.
  
  $P = Φ (1) - Φ (- 1) = 2Φ (1) - 1 = 2 (0.8413) - 1 = 0.6827 = 68.3%$
3. Nüüd muutke küsimust: mitte üks inimene keskmise suhtes, vaid kaks inimest teineteise suhtes. Sõltumatute suuruste dispersioonid liituvad ka siis, kui suurusi lahutatakse, seega on erinevus hajutatum kui kumbki pikkus eraldi.
  
  $D = X_{1} - X_{2} : E [D] = 0, Var (D) = σ^{2} + σ^{2} ⟹ σ_{D} = 102 = 14.142 cm$
4. Kahe inimese vaheline 10 cm erinevus on seega vaid 0,71 D standardhälvet, kusjuures sama 10 cm oli ühe inimese jaoks terve standardhälve.
  
  $P (∣ D ∣ \leq 10) = 2Φ (\frac{10}{14.142}) - 1 = 2Φ (0.7071) - 1 = 2 (0.7603) - 1 = 52.1%$
5. Sama erinevuse jaotuse kauge saba annab tõenäosuse, et paar näeb välja silmatorkavalt erinev.
  
  $P (∣ D ∣ \geq 20) = 2 [1 - Φ (1.4142)] = 2 (0.0787) = 15.7% \approx \frac{1}{6}$
Vastus

68,3% täiskasvanutest jääb 160 ja 180 cm vahele ning 15,9% üle 180 cm on see, mis jääb üle, kui tööriista sellest allapoole jääv Φ(z₂) = 84,1% maha lahutada. Kahe täiskasvanu vaheline erinevus on hajutatud 10√2 = 14,142 cm võrra, seega vaevalt pooltel paaridest (52,1%) on erinevus väiksem kui 10 cm, samal ajal kui umbes ühel paaril kuuest on erinevus suurem kui 20 cm. Need kaks ühel-paaril-kuuest arvu ei ole sama fakt ja neid tasub eristada: üks inimene ületab keskväärtust 10 cm võrra umbes ühel juhul kuuest ja üks paar erineb 20 cm võrra umbes ühel juhul kuuest. Jaotusele kirjutatud σ mõõdab kaugust keskväärtusest, kuid erinevused, mida te tegelikult märkate, on kahe valimi vahel ja need ulatuvad 1,414 korda laiemale.

$σ_{X_{1} - X_{2}} = σ 2 = 1.414 σ$

Õpitee

Loendustest kõverateni

Viib edasi Tsentraalne piirteoreem

Allikad (3)

Insight block 1 — the 5σ bar, and the announcement that had to clear it: ATLAS Collaboration, "Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC." Physics Letters B 716(1), 1–29, 2012.
CMS Collaboration, "Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC." Physics Letters B 716(1), 30–61, 2012.
Insight block 3 — the law that says the curve is misnamed: S. M. Stigler, "Stigler's Law of Eponymy." Transactions of the New York Academy of Sciences 39(1), 147–157, 1980.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

Standardnormaalne - Õpiku põhijuhtum — μ = 0, σ = 1. σ = 1 tähendab, et väärtused erinevad keskmisest tavaliselt umbes 1 ühiku võrra. Graafik näitab alati μ ± 4,5σ — siin −4,5 kuni +4,5 — et katta 99,999% jaotusest. Iga normaaljaotus on teisendatav sellele skaalale. Liiguta liugureid, et näha μ ja σ mõju.
IQ-skoorid - IQ-testid normeeritakse nii, et populatsiooni keskmine on 100. Standardhälve 15 pole mõõtmistulemus, vaid skaala kokkuleppeline omadus. Tänu sellele tähendab sama skoor kõigis korrektselt normeeritud testides sama. Keskmisest rohkem kui kolme standardhälbe kaugusele jäävaid skoore, alla 55 või üle 145, esineb küll, kuid harva: mõlemat äärmust kokku ligikaudu 1 inimesel 370-st. Vali ±2σ ja vaata, kui haruldased äärmuslikud skoorid tegelikult on.
Pikkused - Paljudes rahvastikes järgib täiskasvanute pikkus normaaljaotust. See on õpikute lemmiknäide, kuigi tavapärane põhjendus pole päris nii kindel, kui esmapilgul paistab: pikkust mõjutavad paljud geenid ja keskkonnategurid, igaüks pisut, ilma et ükski neist valitseks. Seetõttu sobib kõver jaotuse keskosaga hästi, otstes aga halvasti, sest seal avalduvad kasvuhäired. Graafik hõlmab pikkusi 125–215 cm (μ ± 4,5σ ehk 170 ± 45). Üle 200 cm pikkusi inimesi leidub, kuid harva, ligikaudu 1 inimene 750-st. Varjutatud vahemik (160–180 cm) vastab sellele, mida enamasti peetakse keskmiseks pikkuseks.
Eksami tulemused - Klass, mille keskmine tulemus on 65. Eksamitulemuste puhul sobib see mudel kõige kehvemini: punktisummal on nii alumine kui ka ülemine piir ning tulemused koonduvad sageli läbimispiiri lähedale. Seetõttu on jaotuse sabad siin pigem arvutuslik mugandus kui tegelikkuse kirjeldus. Graafiku vahemik on ligikaudu 11–119 (μ ± 4,5σ ehk 65 ± 54) ja ulatub üle 100, sest normaaljaotusel pole kindlat ülempiiri. Üle 100 jäävad sabad on väga madalad ja tähistavad haruldasi tulemusi. Muuda x1 ja x2 väärtust, et näha soovitud hindamisvahemiku protsenti.