Poissoni jaotuse eksploraator

Uuri Poissoni jaotust — vaata, kuidas haruldased sündmused jaotuvad ja kuidas binoomjaotus koondub Poissoni jaotuseks.

Näidisarvutus — Poissoni jaotuse eksploraator

Täiend	57.681%
Keskväärtus (λ)	3
Dispersioon (λ)	3

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Üksainus arv määrab korraga nii keskme kui hajuvuse 🖖

Poissonil on üksainus parameeter, nii et selle keskväärtus ja dispersioon on sama arv. Jaotust ei saa laiemaks teha ilma seda ühtlasi paremale nihutamata — laiuse nuppu ei ole, ja tööriist ei paku seda, sest matemaatikas seda ei ole. Laadi eelseade „haruldane“ väärtusega λ = 0,5 ja standardhälve on √0,5 = 0,707, mood naelutatud nulli; laadi „normaalne“ väärtusega λ = 10 ja see on √10 = 3,162 ning kuju on muutunud peaaegu sümmeetriliseks, sest asümmeetria on täpselt 1/√λ. See jäikus on ühtlasi diagnostika: päris loendusandmed, mille dispersioon ületab tuntavalt keskväärtust, on ülehajunud ja ütlevad sulle, et Poisson on vale mudel, mitte halvasti sobitatud.

Paljudest pisikestest võimalustest saab üks sujuv kõver 🖖

Kujutle tohutut hulka sõltumatuid võimalusi, millest igaüks on iseenesest väga ebatõenäoline: trükivead leheküljel, pikselöögid maakonnas, praak tootmisliinil. Viska münti n korda, kus õnnestumise tõenäosus on p. Kui n kasvab ja p kahaneb nii, et n × p = λ jääb muutumatuks, läheb binoomjaotus sujuvalt üle Poissoni jaotuseks. Lülita siin võrdluskiht sisse, suurenda n-i ning vaata, kuidas binoomjaotuse sakilised tulbad Poissoni kõveraga ühte langevad. Poissoni jaotus ongi õige lihtsustus siis, kui katseid on palju, kuid iga katse õnnestumise tõenäosus on imeväike.

Surm hobuse löögist ja väikeste arvude seadus 🖖

1898. aastal uuris statistik Ladislaus Bortkiewicz hobuselöökidest põhjustatud surmajuhtumeid 10 Preisi armeekorpuses 20 aasta vältel. Aastased arvud olid enamasti 0, mõnikord 1 või 2 ning harva suuremad. Need vastasid peaaegu täpselt Poissoni jaotusele parameetriga λ ≈ 0.61. Bortkiewicz nimetas seda seaduspära väikeste arvude seaduseks. Poisson oli jaotuse tuletanud kuuskümmend aastat varem kohtulahendite tõenäosust käsitlevas raamatus; Bortkiewicz näitas, et sama matemaatika kirjeldab ka haruldasi õnnetusi. Üksteist aastat hiljem rakendas Erlang seda telefoniliikluse uurimisel.

Ülesanne täielikult lahendatud

Protsess keskmisega 3 sündmust intervalli kohta, mis saab täpselt 3 5 sammu
Protsessis toimub keskmiselt 3 sündmust intervalli kohta. Arvutage, kui sageli toimub vähemalt 3 sündmust, ning seejärel, kui sageli toimub täpselt 3 sündmust. Need kaks vastust erinevad teineteisest rohkem, kui enamik inimesi ootab, ning teine vastus näitab, miks keskmised võivad eksitada.
1. Poissoni tõenäosus k sündmuse jaoks on λᵏe^(−λ)/k!. Kõik sellel lehel tuleneb sellest ühest avaldisest ja ainukesest parameetrist λ.
  
  $P (X = k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}, λ = 3$
2. Arvutage kolm väikseimat juhtu. e^(−3) = 0,049787 on täiesti tühja intervalli tõenäosus ega ole sugugi tühine — protsessis, kus keskmine on kolm, ei toimu ühes intervallis kahekümnest mitte midagi.
  
  $P (0) = e^{- 3} = 0.049787, P (1) = 3 e^{- 3} = 0.149361, P (2) = 4.5 e^{- 3} = 0.224042$
3. Vähemalt 3 on sündmuse „kõige rohkem 2“ vastandsündmus, seega liitke kolm äsja arvutatud tõenäosust kokku ja lahutage tulemus 1-st.
  
  $P (X \geq 3) = 1 - (0.049787 + 0.149361 + 0.224042) = 1 - 0.423190 = 0.576810$
4. Täpselt 3 — keskväärtus, mood, üksik kõige tõenäolisem sündmuste arv — esineb 22,4% ajast. Neli korda viiest saate midagi muud.
  
  $P (X = 3) = \frac{27}{6} e^{- 3} = 0.224042 = 22.4%$
5. Selles tööriistas puudub laiusparameetri juhtimine, sest matemaatikal puudub laiusparameeter: keskväärtus ja dispersioon on üks ja sama arv. Fikseerige sagedus ning hajuvus ongi määratud, σ = √3 = 1,732.
  
  $μ = σ^{2} = λ = 3 ⟹ σ = 3 = 1.732$
Vastus

Tööriist annab vähemalt 3 korral tulemuseks 57,681%, kui nii keskväärtus kui ka dispersioon on 3. Seadke k = 3: täpselt 3 tõenäosuseks tuleb 22,4%. Just seda seost tasub meeles pidada. „Keskmiselt 3“ ei tähenda „tavaliselt 3“. Jaotuse kese on küll 3, kuid enam kui kolmel neljandikul juhtudest on tulemus midagi muud ning ühel kahekümnendikul juhtudest lausa null. Osakonnas, kuhu võetakse tunnis vastu keskmiselt kolm patsienti, on iga kahekümnes tund täiesti vastuvõtuta ja viie vastuvõtuga tunde tuleb ette kaks korda sagedamini. Keskmise järgi koostatud graafik arvestab tulemusega, mis esineb vaid ühel juhul viiest.

$P (X \geq 3) = 57.681% but P (X = 3) = 22.4%; μ = σ^{2} = λ$

Õpitee

Loendustest kõverateni

Viib edasi Normaaljaotus esimese piirväärtuse: hoia np konstantsena, vii n üles ja p alla ning kaks parameetrit sulavad üheks.

Allikad (2)

The horse-kick data in the third block: L. von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen. B. G. Teubner, Leipzig, 1898.
The Poisson limit of the binomial, and why variance equals the mean: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd ed., ch. VI. Wiley, 1968. ISBN 978-0-471-25708-0.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-06-04

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

Tüüpiline λ=5 - Kui λ = 3, on jaotusel kaks võrdse kõrgusega moodi: nii kolme kui ka kahe sündmuse tõenäosus on 0,2240. Põhjus on selles, et täisarvuline keskväärtus paikneb täpselt kummagi naaberväärtuse vahel. Nihuta λ väärtusest 3 veidi kõrvale ja üks mood muutub teisest kõrgemaks.
Haruldased sündmused - Kui λ = 0,5, on kõige tõenäolisem, et sündmusi ei toimu üldse; selle tõenäosus on 0,6065. Keskmiselt pool sündmust ajavahemiku kohta ei tähenda, et kunagi toimuks pool sündmust. Enamik ajavahemikke jääb lihtsalt tühjaks.
Binoomjaotus→Poisson - 20 binoomkatsel tõenäosusega p = 0,25 on np = 5, nagu ka sellel Poissoni jaotusel. Suurenda katsete arvu, hoides korrutise muutumatuna, ja sakilised tulbad lähenevad sujuvale kõverale. Poissoni jaotus tuletataksegi binoomjaotuse sellise piirjuhuna.
Suur λ→Normaaljaotus - Kui λ = 10, on standardhälve √10 = 3,162 ja asümmeetriakordaja 1/√10 = 0,316, mistõttu jaotus on juba peaaegu sümmeetriline. Isegi tipus on kõige tõenäolisema üksikväärtuse tõenäosus vaid 0,1251. Laias jaotuses pole ükski väärtus kuigi tõenäoline.