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π steckt in der Glockenkurve, und darin ist nirgends ein Kreis
Ein Werkzeug auf dieser Seite findet π auf sieben verschiedenen Wegen. Nur bei zweien wird ein Kreis gezeichnet.
Jeder lernt π als Tatsache über Kreise: der Umfang geteilt durch den Durchmesser, eine Zahl knapp über drei. Diese Definition stimmt, und sie ist zugleich das Uninteressanteste an π.
Das π secrets tool findet dieselbe Zahl auf sieben Wegen: Vielecke, ein rollendes Rad, Zwiebelringe, stoßende Klötze, fallende Nadeln, zufällige Punkte und eine unendliche Reihe. Zwei davon handeln von Kreisen. Die übrigen nicht, und dass sie alle übereinstimmen, ist das Erklärenswerte.
Nadeln auf einem Fußboden
Das buffonsche Nadelproblem von 1777 ist der sauberste Fall. Man ziehe auf dem Boden parallele Linien im Abstand d. Man lasse eine Nadel der Länge ℓ ≤ d zufällig fallen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Linie kreuzt, beträgt
P = 2ℓ / (πd)
Man lasse also ein paar tausend Nadeln fallen, zähle die Kreuzungen, und schon hat man π mit einem Streichholz und einer Diele gemessen. Kein Kreis wurde gezeichnet, kein Radius gemessen, nichts Gekrümmtes war an irgendeiner Stelle beteiligt.
Hereingekommen ist π über den Winkel. Ob eine Nadel kreuzt, hängt von ihrer Ausrichtung ab; über alle Ausrichtungen zu mitteln heißt, über eine volle Drehung zu integrieren, und eine volle Drehung sind definitionsgemäß 2π Radiant. Jedes Auftreten von π in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in dem „in zufälliger Richtung“ vorkommt, stammt aus genau diesem Integral.
Ramaleys Notiz von 1969 bringt es unübertrefflich auf den Punkt. Man biege die Nadel in eine beliebige Form, etwa zu einer Nudel: Die erwartete Zahl der Kreuzungen hängt allein von ihrer Gesamtlänge ab, nicht von ihrer Gestalt. Das Ergebnis hält stand, weil es von Anfang an nicht an der Geradheit hing, sondern nur am Mittel über die Richtungen. So sieht es aus, wenn eine Konstante zur Drehung gehört und nicht zur Geometrie.
Die Glockenkurve, in der überhaupt kein Winkel vorkommt
Nun der Fall ohne jede Drehung in Sicht. Die Normalverteilung, die das normal tool zeichnet, lautet
f(x) = (1/√(2π σ²)) · e−(x−μ)²/(2σ²)
Ein π, ganz vorn in der meistgebrauchten Formel der Statistik, die Prüfungsnoten, Messfehler und die Körpergrößen von Rekruten beschreibt. Nichts daran ist kreisförmig.
Es kommt über einen Kniff herein, den zu kennen sich lohnt, weil er erklärt statt zu behaupten. Damit die Kurve zu 1 integriert, braucht man ∫e−x²dx, und dafür gibt es keine elementare Stammfunktion. Der übliche Ausweg besteht darin, den Ausdruck zu quadrieren und damit aus einem Integral über eine Gerade ein Doppelintegral über die Ebene zu machen, woraufhin der Exponent zu e−(x²+y²) wird. Und x² + y² ist ein Radius. Sobald die Summe zweier Quadrate auftaucht, liegen Polarkoordinaten nahe, der Winkel integriert sich zu 2π, und die Antwort ist √π.
π ist also in die Glockenkurve gelangt, weil das Quadrat der Funktion von x² + y² abhängt, und eine Größe, die nur von x² + y² abhängt, schert sich nicht um die Richtung. Das Kreisförmige versteckte sich in der Algebra statt im Bild.
Wovon π wirklich handelt
Das ist das Muster, und wer es einmal hat, den überraschen die übrigen Auftritte nicht mehr.
π zeigt sich überall dort, wo Drehung im Spiel ist: ein Mittel über alle Richtungen, eine volle Umdrehung, eine Schwingung, die dorthin zurückkehrt, wo sie begann. Und es zeigt sich überall dort, wo eine Summe zweier Quadrate steht, denn das ist die Algebra des Abstands, und der Abstand ist das, was sich beim Drehen nicht ändert. Kreise sind schlicht der vertrauteste Gegenstand mit beiden Eigenschaften, und deshalb haben sie das Namensrecht bekommen.
Die Vorführung mit den stoßenden Klötzen auf jener Seite ist das seltsamste Mitglied der Familie: Zwei Klötze mit einem Massenverhältnis von 100n und eine Wand liefern in der Zahl der Stöße genau die ersten n + 1 Ziffern von π. Es sieht nach Zufall aus und ist keiner. Elastische Stöße erhalten die kinetische Energie, und die ist eine Summe von Geschwindigkeitsquadraten; der Zustand des Systems lebt daher auf einem Kreis im Geschwindigkeitsraum, und jeder Stoß ist eine feste Drehung auf ihm. Die Zahl der Stöße ist die Zahl der Schritte, bis man einmal ganz herum ist. Es ist wieder Buffons Argument, nur mit anderem Hut.
Eine praktische Warnung, da zwei dieser Verfahren Simulationen sind. Random-point estimates konvergieren im Tempo aller Monte-Carlo-Verfahren: Der Fehler fällt mit 1/√n, jede weitere richtige Ziffer kostet also den hundertfachen Aufwand. Als Weg, π zu berechnen, taugen sie nichts, und das Vielecksverfahren, das Archimedes von Hand durchrechnete, schlägt sie deutlich. Als Vorführung dafür, dass π außerhalb der Geometrie wohnt, sind sie das Beste auf der Seite.