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π está en la campana de Gauss, y ahí no hay ninguna circunferencia
Una herramienta de este sitio halla π de siete maneras distintas. Solo dos de ellas dibujan una circunferencia.
Todo el mundo aprende π como un hecho sobre las circunferencias: la longitud dividida entre el diámetro, un número un poco mayor que tres. La definición es cierta y es también lo menos interesante que puede decirse de él.
La herramienta de los secretos de π halla el mismo número de siete maneras: polígonos, una rueda que gira, anillos de cebolla, bloques que chocan, agujas caídas, puntos al azar y una suma infinita. Dos de ellas tratan de circunferencias. Las demás no, y que todas coincidan es lo que merece explicación.
Agujas sobre un suelo
La aguja de Buffon, de 1777, es el caso más limpio. Traza en el suelo rectas paralelas separadas una distancia d. Deja caer al azar una aguja de longitud ℓ ≤ d. La probabilidad de que cruce una recta es
P = 2ℓ / (πd)
Así que basta con dejar caer unos miles de agujas y contar los cruces para haber medido π con una cerilla y una tabla del suelo. No se dibujó ninguna circunferencia, no se midió ningún radio, en ningún momento intervino nada curvo.
π entró por el ángulo. Que una aguja cruce o no depende de su orientación, promediar sobre todas las orientaciones significa integrar sobre una vuelta completa, y una vuelta completa son 2π radianes por definición. Toda aparición de π en probabilidad que lleve dentro un "en una dirección al azar" procede de esa misma integral.
La nota de Ramaley de 1969 lo dice de forma insuperable. Dobla la aguja hasta darle la forma que quieras, un fideo, y el número esperado de cruces depende solo de su longitud total, no de su forma. El resultado sobrevive porque nunca dependió de que fuera recta, sino solo del promedio sobre direcciones. Así se ve una constante que pertenece a la rotación y no a la geometría.
La campana de Gauss, donde no hay ángulo ninguno
Ahora el caso en el que no se ve rotación por ninguna parte. La distribución normal que dibuja la herramienta de la normal es
f(x) = (1/√(2π σ²)) · e−(x−μ)²/(2σ²)
Un π, plantado al frente de la fórmula más usada de la estadística, que describe notas de examen, errores de medida y las estaturas de los reclutas. Aquí no hay nada circular.
Llega mediante un truco que vale la pena conocer, porque explica en lugar de afirmar. Para que la curva integre 1 hace falta ∫e−x²dx, que no tiene primitiva elemental. La salida habitual es elevarla al cuadrado, con lo que una integral sobre una recta se convierte en una integral doble sobre el plano y el exponente pasa a ser e−(x²+y²). Y x² + y² es un radio. En cuanto aparece la suma de dos cuadrados, el movimiento natural son las coordenadas polares, el ángulo integra 2π y la respuesta es √π.
Así pues, π entró en la campana porque el cuadrado de la función depende de x² + y², y una cantidad que depende solo de x² + y² es una cantidad a la que la dirección le da igual. La circularidad estaba escondida en el álgebra, no en el dibujo.
De qué trata π en realidad
Ese es el patrón, y una vez que se tiene, las demás apariciones dejan de sorprender.
π asoma allí donde hay rotación: un promedio sobre todas las direcciones, una vuelta completa, una oscilación que regresa a donde empezó. Y asoma allí donde hay una suma de dos cuadrados, porque esa es el álgebra de la distancia, y la distancia es lo que no cambia al girar. Las circunferencias son sencillamente el objeto más familiar que reúne las dos propiedades, y por eso se quedaron con el nombre.
La demostración de los bloques que chocan que hay en esa página es el miembro más extraño de la familia: dos bloques con una razón de masas de 100n y una pared producen, en el número de colisiones, exactamente las n + 1 primeras cifras de π. Parece una casualidad y no lo es. Las colisiones elásticas conservan la energía cinética, que es una suma de cuadrados de velocidades, así que el estado del sistema vive sobre una circunferencia en el espacio de velocidades y cada choque es una rotación fija sobre ella. El número de colisiones es el número de pasos hasta completar la vuelta. Es de nuevo el argumento de Buffon, con otro sombrero.
Una advertencia práctica, ya que dos de estos métodos son simulaciones. Las estimaciones por puntos aleatorios convergen al ritmo al que converge todo Monte Carlo: el error cae como 1/√n, de modo que cada cifra correcta adicional cuesta cien veces el trabajo. Como manera de calcular π son un desastre, y el método de los polígonos que Arquímedes ejecutaba a mano les gana de calle. Como demostración de que π vive fuera de la geometría, son lo mejor de la página.