Explorador de la Distribución Normal

Fija una media y una dispersión, sombrea el intervalo que quieras y consulta la probabilidad de que un valor caiga en él.

Valores iniciales — Explorador de la Distribución Normal

Media (μ)	0
Desviación típica (σ)	1
x₁ (límite inferior)	-1
x₂ (límite superior)	1

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

Cargando simulación interactiva...

la regla 68–95–99,7 🖖

Estos porcentajes no son aproximaciones redondeadas: se obtienen directamente de la integral gaussiana. Cada uno corresponde al área bajo e^(−z²/2) comprendida entre ±1, ±2 y ±3 desviaciones estándar, justo lo que calculan los pasos de la función de error que aparecen más abajo.

La física adopta esta escala para fijar los umbrales de «descubrimiento». El anuncio del bosón de Higgs en 2012 exigió una evidencia de 5σ, equivalente a una tasa unilateral de falsos positivos de aproximadamente 1 entre 3,5 millones. Un indicio solo se considera fiable frente al ruido estadístico cuando supera un umbral tan exigente.

Esta regla también explica por qué los sucesos «improbables» no son tan raros en conjuntos de datos grandes. Con un millón de mediciones independientes, cabe esperar que unas 63 queden fuera del intervalo ±4σ solo por azar, mientras que menos de una superaría ±5σ. Esta diferencia explica en buena medida que el umbral se sitúe en cinco sigmas y no en cuatro; también pesa la experiencia de una disciplina que ya había visto desvanecerse resultados de tres sigmas.

Por qué importa el área, no la altura 🖖

La curva de campana representa la densidad de probabilidad, no la probabilidad en sí. Por eso, la altura en un punto concreto no es una probabilidad. Sirve para comparar valores: una altura doble indica el doble de probabilidad por unidad de x, aunque la probabilidad de caer exactamente en ese punto es cero. Lo que cuenta es el área. La franja sombreada entre x₁ y x₂ indica la probabilidad de que un valor pertenezca a ese intervalo, y el área total bajo la curva siempre es exactamente 1. Al desplazar μ, el máximo se mueve hacia la izquierda o hacia la derecha; al aumentar σ, la curva se aplana y se ensancha, sin que cambie el área total.

La curva de campana que salió en billetes 🖖

La curva llegó a ser tan célebre que apareció en un billete: el billete alemán de 10 marcos, en circulación de 1991 a 2001, mostraba a Carl Friedrich Gauss junto a esta misma curva y su fórmula f(x). Gauss la perfeccionó al modelizar errores de medición en astronomía, de ahí su otro nombre: función de error. Abraham de Moivre, sin embargo, ya había deducido su forma en 1733, décadas antes del nacimiento de Gauss. Es un caso de manual de la ley de Stigler, según la cual ningún descubrimiento lleva el nombre de quien realmente lo hizo.

Problema resuelto al detalle

Dos adultos elegidos al azar con μ = 170 cm 5 pasos
¿A qué distancia están dos adultos elegidos al azar? Se trata de Estaturas: μ = 170 cm con σ = 10 cm, y la franja sombreada va de x₁ = 160 a x₂ = 180 cm.

Abre este problema en la herramienta
1. Estandarizar transforma los centímetros en desviaciones típicas, que es la única moneda que acepta la tabla normal. La franja dista exactamente una σ a cada lado de la media.
  
  $z_{1} = \frac{160 - 170}{10} = - 1, z_{2} = \frac{180 - 170}{10} = + 1$
2. La curva es simétrica respecto a la media, por lo que el área por debajo de −1 equivale al área por encima de +1 y la parte central sombreada es lo que queda. Un solo valor de la tabla basta para todo el cálculo.
  
  $P = Φ (1) - Φ (- 1) = 2Φ (1) - 1 = 2 (0.8413) - 1 = 0.6827 = 68.3%$
3. Cambiemos ahora la pregunta: no una persona frente a la media, sino dos personas entre sí. Las varianzas se suman para magnitudes independientes aun cuando las magnitudes se resten, de modo que la diferencia tiene una dispersión mayor que cualquiera de las dos estaturas.
  
  $D = X_{1} - X_{2} : E [D] = 0, Var (D) = σ^{2} + σ^{2} ⟹ σ_{D} = 102 = 14.142 cm$
4. Por tanto, una diferencia de 10 cm entre dos personas equivale a tan solo 0,71 desviaciones típicas de D, mientras que esos mismos 10 cm suponían una desviación típica entera para una sola persona.
  
  $P (∣ D ∣ \leq 10) = 2Φ (\frac{10}{14.142}) - 1 = 2Φ (0.7071) - 1 = 2 (0.7603) - 1 = 52.1%$
5. La cola extrema de esa misma distribución de diferencias da la probabilidad de que una pareja sea llamativamente distinta.
  
  $P (∣ D ∣ \geq 20) = 2 [1 - Φ (1.4142)] = 2 (0.0787) = 15.7% \approx \frac{1}{6}$
Respuesta

El 68,3% de los adultos se sitúa entre 160 y 180 cm, y el 15,9% por encima de 180 es lo que queda tras restar el Φ(z₂) = 84,1% por debajo de ese valor que proporciona la herramienta. La diferencia entre dos adultos tiene una dispersión de 10√2 = 14,142 cm, por lo que apenas la mitad de las parejas (52,1%) difieren en menos de 10 cm, mientras que aproximadamente una de cada seis parejas difiere en más de 20 cm. Esas dos cifras de una entre seis no expresan el mismo hecho, y conviene distinguirlas: una persona supera la media en 10 cm aproximadamente una de cada seis veces, y una pareja difiere en 20 cm aproximadamente una de cada seis veces. La σ indicada en una distribución mide la distancia a la media, pero las diferencias que observamos en la práctica se dan entre dos extracciones, y estas se extienden 1,414 veces más.

$σ_{X_{1} - X_{2}} = σ 2 = 1.414 σ$

Ruta de aprendizaje

De recuentos a curvas

Referencias (3)

Insight block 1 — the 5σ bar, and the announcement that had to clear it: ATLAS Collaboration, "Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC." Physics Letters B 716(1), 1–29, 2012.
CMS Collaboration, "Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC." Physics Letters B 716(1), 30–61, 2012.
Insight block 3 — the law that says the curve is misnamed: S. M. Stigler, "Stigler's Law of Eponymy." Transactions of the New York Academy of Sciences 39(1), 147–157, 1980.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.