Explorador de la Distribución Normal

Estos porcentajes no son cifras redondeadas: se derivan directamente de la integral gaussiana, cada uno como el área bajo e^(−z²/2) entre ±1, ±2 y ±3 desviaciones típicas — justo lo que calculan los pasos de la función de error de abajo. Los físicos toman prestada esta escala para sus umbrales de «descubrimiento»: el anuncio del bosón de Higgs en 2012 exigió una evidencia de 5σ, una tasa de falso positivo a una cola de aproximadamente 1 entre 3,5 millones, precisamente porque una señal real debe superar un listón así de alto antes de poder confiar en ella por encima del ruido estadístico. La regla también explica por qué los sucesos «improbables» no son tan raros en conjuntos de datos grandes: con un millón de mediciones independientes, cabe esperar que unas cuantas caigan más allá de ±5σ solo por azar — precisamente la trampa que el umbral de 5σ existe para evitar.

La curva de campana representa la densidad de probabilidad, no la probabilidad en sí, de modo que la altura en un punto concreto apenas dice nada. Lo que cuenta es el área: la franja sombreada entre x₁ y x₂ es la probabilidad de que un valor caiga en ese rango, y la curva completa siempre encierra un área de exactamente 1. Mover μ desplaza el pico a izquierda o derecha; aumentar σ aplana y ensancha la curva, pero esa área total nunca cambia.

La curva fue tan célebre que se imprimió en dinero: el billete alemán de 10 marcos, en circulación de 1991 a 2001, mostraba a Carl Friedrich Gauss junto a esta misma curva y su fórmula f(x). Muy apropiado, pues él la perfeccionó al modelar los errores de medición en astronomía. Sin embargo, Abraham de Moivre ya había deducido la forma en 1733, décadas antes de que Gauss naciera — un caso de manual de la ley de Stigler, que bromea con que nada lleva el nombre de su verdadero descubridor.