Calculadora de Intervalos de Confianza

intervalos de media/proporción con fórmulas en vivo

Valores iniciales — Calculadora de Intervalos de Confianza

Media muestral (x̄)	100
Desviación típica muestral (s)	15
Proporción muestral (p̂)	0.5
Tamaño de muestra (n)	30

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

Cargando simulación interactiva...

Barras de error que se solapan no significan «sin diferencia» 🖖

Es un movimiento habitual dibujar dos intervalos, ver que se solapan y concluir que las dos cosas no se distinguen. Ese contraste es mucho más estricto de lo que parece. Dos intervalos al 95 % dejan de solaparse solo cuando sus estimaciones están a 3,92 errores estándar — y a esa separación la diferencia lleva un valor p de 0,0056. La significación real al nivel 0,05 llega mucho antes, a 2,77 errores estándar. Entre ambas cifras hay una banda de 1,15 errores estándar de ancho, casi un tercio del camino, en la que los intervalos se solapan a la vista y la diferencia es significativa de todos modos. Exigir un hueco visible equivale pues a un contraste con p < 0,006: unas nueve veces más duro que el 0,05 que creías aplicar, y una buena forma de perderte un efecto real.

Un rango supera a una sola cifra 🖖

Cualquier media o porcentaje que midas en una muestra casi nunca coincide con la verdad exacta, por eso esta herramienta da un rango en lugar de un solo número. El margen de error es el "más o menos" de tu estimación. El intercambio honesto: con los mismos datos, un intervalo del 99% es más ancho que uno del 90%. Más confianza cuesta precisión, así que elige el nivel que tu decisión realmente necesite.

El número tras el "±3 puntos" 🖖

Para una proporción el error estándar es √(p(1−p)/n), y p(1−p) alcanza su máximo justo en p = 0,5 (valor 0,25). Los encuestadores lo aprovechan suponiendo un reparto 50/50 como peor caso, lo que deja el margen al 95% en torno a 0.98/√n. Con n = 1000 sale cerca de ±3,1%, la cifra clásica de las encuestas. Por eso las encuestas nacionales rara vez superan las ~1000 personas: llegar a ±1,5% exigiría cuadruplicar la muestra.

INTERVALOS DE CONFIANZA — ¿QUÉ ESTIMA, Y CUÁNTA SEGURIDAD NECESITA?

¿En qué caso de intervalo de confianza está?

Todo intervalo tiene la misma forma: la estimación, más y menos un margen. Lo que cambia es de dónde sale el margen. Si estima una media, el error estándar es s/√n; si estima una proporción, es √(p(1−p)/n). Después el nivel de confianza elige el multiplicador, y el tamaño de la muestra decide cuánto le cuesta ese multiplicador. Esas tres decisiones son todo el asunto.

Una media al 95 %: lo habitual, y a qué se refiere realmente ese 95 x̄ ± z·s/√n

Subir la confianza: un intervalo más ancho con los mismos datos z: 1.96 → 2.576 (+31%)

Una proporción: el error estándar sale de la propia p SE = √(p(1−p)/n)

Una proporción rara: p pequeña y la aproximación empieza a forzarse np > 5, n(1 − p) > 5

Una media al 95 %: lo habitual, y a qué se refiere realmente ese 95

Lo que sabe: Una media muestral con su desviación típica y su tamaño. El margen es z·s/√n y, al 95 %, el multiplicador vale 1,96.

Margen: x̄ ± z·s/√n

Ejemplo resuelto: x̄ = 100 con s = 15 y n = 30 → SE = 2,739, margen = 5,368, intervalo de 94,63 a 105,37

Abrir este caso: media 95%

Una media al 95 %: lo habitual, y a qué se refiere realmente ese 95. La estimación queda en el centro, con 1,96 errores estándar de margen a cada lado. Una media muestral con su desviación típica y su tamaño. El margen es z·s/√n y, al 95 %, el multiplicador vale 1,96. — La estimación queda en el centro, con 1,96 errores estándar de margen a cada lado.

Subir la confianza: un intervalo más ancho con los mismos datos

Lo que sabe: El mismo tipo de estimación al 99 %. El multiplicador sube de 1,96 a 2,576, así que el intervalo se ensancha un 31 % aunque nada de la muestra haya cambiado.

Margen: z: 1.96 → 2.576 (+31%)

Ejemplo resuelto: x̄ = 72 con s = 12 y n = 64 → SE = 1,5, margen = 3,864, intervalo de 68,14 a 75,86

Abrir este caso: media 99%

Subir la confianza: un intervalo más ancho con los mismos datos. Los mismos datos con más confianza: el centro no se mueve, el margen se alarga. El mismo tipo de estimación al 99 %. El multiplicador sube de 1,96 a 2,576, así que el intervalo se ensancha un 31 % aunque nada de la muestra haya cambiado. — Los mismos datos con más confianza: el centro no se mueve, el margen se alarga.

Una proporción: el error estándar sale de la propia p

Lo que sabe: Se estima una proporción en vez de un promedio. No hay una dispersión aparte que medir: SE = √(p(1−p)/n), porque en un resultado de sí o no la varianza queda fijada por p.

Margen: SE = √(p(1−p)/n)

Ejemplo resuelto: p = 0,42 con n = 800 → SE = 0,0174, margen = 0,0342, intervalo de 0,386 a 0,454: una encuesta con 3,4 puntos de margen de error

Abrir este caso: proporción 95%

Una proporción: el error estándar sale de la propia p. El intervalo es simétrico en torno a la proporción observada, con un margen fijado solo por p y n. Se estima una proporción en vez de un promedio. No hay una dispersión aparte que medir: SE = √(p(1−p)/n), porque en un resultado de sí o no la varianza queda fijada por p. — El intervalo es simétrico en torno a la proporción observada, con un margen fijado solo por p y n.

Una proporción rara: p pequeña y la aproximación empieza a forzarse

Lo que sabe: Una proporción pequeña estimada con alta confianza. En términos absolutos el intervalo es estrecho, pero ancho comparado con la propia p.

Margen: np > 5, n(1 − p) > 5

Ejemplo resuelto: p = 0,08 con n = 1200 al 99 % → SE = 0,0078, margen = 0,0202, intervalo de 0,060 a 0,100

Abrir este caso: proporción 99%

Una proporción rara: p pequeña y la aproximación empieza a forzarse. Un intervalo estrecho en términos absolutos, pero de un cuarto de la estimación a cada lado. Una proporción pequeña estimada con alta confianza. En términos absolutos el intervalo es estrecho, pero ancho comparado con la propia p. — Un intervalo estrecho en términos absolutos, pero de un cuarto de la estimación a cada lado.

Problema resuelto al detalle

La promesa de un intervalo de confianza del 95% con n = 30 5 pasos
¿Qué promete realmente el 95 de un intervalo de confianza del 95 %? Se trata de IC de la media con x̄ = 100, s = 15 y n = 30, a un nivel de confianza del 95 %.
1. El intervalo se construye alrededor de la media muestral, y la propia media muestral es aleatoria: al repetir el estudio, cae en otro lugar. Su dispersión es la dispersión de los datos reducida por √n, que es la única razón por la que una muestra mayor aporta precisión.
  
  $SE = \frac{s}{n} = \frac{15}{30} = \frac{15}{5.4772} = 2.7386$
2. Un intervalo bilateral del 95 % deja un 2,5 % en cada cola, por lo que el multiplicador es el valor de la normal estándar que acumula por debajo el 97,5 % del área. Como 15 es una desviación típica muestral calculada a partir de 30 observaciones, la opción más rigurosa en un libro de texto sería t₂₉ = 2,045. Este panel utiliza z, la aproximación para muestras grandes, que desplaza cada extremo del intervalo alrededor de un cuarto de unidad.
  
  $z^{*} = Φ^{- 1} (\frac{1 + C}{2}) = Φ^{- 1} (0.9750) = 1.9600$
3. El multiplicador convierte los errores típicos en las unidades en las que se realizó la medición, y el intervalo se extiende esa distancia a cada lado de la estimación.
  
  $ME = z^{*} SE = 1.9600 \times 2.7386 = 5.3677 ⟹ [94.6323, 105.3677]$
4. El 95 % describe el procedimiento, no este intervalo en concreto: este contiene la media verdadera o no la contiene, y nada en los datos indica cuál de las dos cosas ocurre. Si se repite todo el estudio 100 veces, cada intervalo es un acierto o un fallo independiente con un 5 % de probabilidad de fallar, lo que hace que el número de fallos sea una variable binomial en lugar de una cuota fija de cinco.
  
  $M \sim Bin (100, 0.05) : E [M] = 5, σ_{M} = 100 \times 0.05 \times 0.95 = 2.179$
5. Un recuento cuya dispersión es de 2,179 solo resulta sorprendente cuando dista más de unas dos de esas unidades respecto a su propia media.
  
  $5 \pm 2 σ_{M} = [0.64, 9.36] M = 12 : z = \frac{12 - 5}{2.179} = 3.21$
Respuesta

Un error típico de 2,7386 y un multiplicador de 1,9600 proporcionan un margen de 5,3677, de modo que el intervalo se extiende desde 94,6323 hasta 105,3677. La parte que merece la pena conservar son las dos últimas líneas: a lo largo de 100 repeticiones de este estudio, los fallos promedian 5 pero se dispersan con una desviación típica de 2,179, por lo que cualquier cifra entre 1 y 9 fallos resulta habitual. Tres fallos no constituyen prueba de que el método sea prudente ni ocho de que esté estropeado; se necesitarían alrededor de 12, lo que equivale a 3,21 desviaciones típicas de alejamiento, para que el recuento indique algo en absoluto. La franja de intervalos verdes y rojos representa exactamente ese experimento, y su tasa de aciertos no marcará 95 cada vez que se mire. Un nivel de confianza es una propiedad a largo plazo del procedimiento, y 100 ejecuciones no son el largo plazo.

$σ_{M} = N C (1 - C) = 2.179 misses on E [M] = 5$

Ruta de aprendizaje

De recuentos a curvas

Referencias (1)

The paper that defined the confidence interval, and was careful about what the 95% is a statement about: J. Neyman, "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability." Philosophical Transactions of the Royal Society A 236(767), 333–380, 1937.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

media 95% - IC de la media al 95% de confianza para n=30, sd=15
media 99% - Una mayor confianza amplía el intervalo incluso con una n mayor
proporción 95% - IC de proporción con apoyo moderado y muestra grande
proporción 99% - Estimación de una proporción rara con un intervalo de alta confianza