Explorador de la Distribución de Poisson

Explora la distribución de Poisson: descubre cómo se distribuyen los eventos raros y cómo la binomial converge hacia la Poisson.

Ejemplo resuelto — Explorador de la Distribución de Poisson

Complemento	57.681%
Media (λ)	3
Varianza (λ)	3

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un solo número fija a la vez el centro y la dispersión 🖖

Poisson tiene un único parámetro, así que su media y su varianza son el mismo número. No puedes ensanchar la distribución sin desplazarla también a la derecha: no hay mando de anchura, y la herramienta no ofrece ninguno porque las matemáticas tampoco lo tienen. Carga el ejemplo «raro» con λ = 0,5 y la desviación típica es √0,5 = 0,707, con la moda clavada en cero; carga «normal» con λ = 10 y vale √10 = 3,162, y la forma se ha vuelto casi simétrica, porque la asimetría es exactamente 1/√λ. Esa rigidez sirve además de diagnóstico: unos datos de recuento reales cuya varianza supere con holgura a su media están sobredispersos, y te están diciendo que Poisson es el modelo equivocado, no uno mal ajustado.

Muchas probabilidades diminutas forman una curva limpia 🖖

Imagina un número enorme de oportunidades independientes, cada una muy improbable por sí sola: erratas en una página, rayos que caen en una comarca, defectos en una cadena de producción. Lanza una moneda n veces, con probabilidad de éxito p; haz que n crezca mientras p disminuye, de modo que n × p = λ permanezca fijo, y la distribución binomial se transformará gradualmente en una distribución de Poisson. Activa aquí la superposición, aumenta n y observa cómo las barras irregulares de la binomial se ajustan a la curva de Poisson. Muchos intentos, cada uno con una probabilidad ínfima: justo ahí resulta útil la aproximación de Poisson.

Muertes por coz de caballo y la ley de los pequeños números 🖖

En 1898, el estadístico Ladislaus Bortkiewicz estudió las muertes causadas por coces de caballo en 10 cuerpos del ejército prusiano a lo largo de 20 años. Los recuentos anuales, casi siempre 0, a veces 1 o 2 y rara vez más, se ajustaban casi a la perfección a una distribución de Poisson con λ ≈ 0.61. Bortkiewicz llamó a este patrón la ley de los números pequeños. Poisson había obtenido la distribución sesenta años antes, en un libro sobre la probabilidad de los veredictos judiciales; Bortkiewicz mostró que esa misma aritmética regía los accidentes insólitos. Once años después, Erlang la aplicaría al tráfico telefónico.

Problema resuelto al detalle

Un proceso con una media de 3 eventos por intervalo y que obtiene exactamente 3 5 pasos
Un proceso promedia 3 sucesos por intervalo. Calcule con qué frecuencia se obtienen al menos 3, y después con qué frecuencia se obtienen exactamente 3. Las dos respuestas están más distantes de lo que la mayoría espera, y la segunda explica por qué los promedios engañan.
1. La probabilidad de Poisson de k sucesos es λᵏe^(−λ)/k!. Todo en esta página se deduce de esa única expresión y del único parámetro λ.
  
  $P (X = k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}, λ = 3$
2. Calcule los tres casos más pequeños. e^(−3) = 0,049787 es la probabilidad de un intervalo completamente vacío, y no es despreciable: uno de cada veinte intervalos no registra nada en absoluto, en un proceso que promedia tres.
  
  $P (0) = e^{- 3} = 0.049787, P (1) = 3 e^{- 3} = 0.149361, P (2) = 4.5 e^{- 3} = 0.224042$
3. Al menos 3 es el complementario de a lo sumo 2, por lo que se suman las tres probabilidades recién calculadas y se restan de 1.
  
  $P (X \geq 3) = 1 - (0.049787 + 0.149361 + 0.224042) = 1 - 0.423190 = 0.576810$
4. Exactamente 3 — la media, la moda, el recuento individual más probable — ocurre el 22,4% de las veces. Cuatro de cada cinco veces se obtiene otra cosa.
  
  $P (X = 3) = \frac{27}{6} e^{- 3} = 0.224042 = 22.4%$
5. No hay control de anchura en esta herramienta porque las matemáticas no tienen un parámetro de anchura: la media y la varianza son el mismo número. Si se fija la tasa, la dispersión ya queda determinada, en σ = √3 = 1,732.
  
  $μ = σ^{2} = λ = 3 ⟹ σ = 3 = 1.732$
Respuesta

La herramienta muestra 57,681 % para al menos 3, con media y varianza iguales a 3. Fija k = 3: la probabilidad de obtener exactamente 3 es del 22,4 %. Quédate con ambos resultados: «la media es 3» no significa «lo habitual es 3». La distribución está centrada en 3, pero más de tres cuartas partes de las veces toma otro valor y una de cada veinte se queda en cero. En una planta hospitalaria con una media de tres ingresos por hora, una de cada veinte horas transcurre sin ingreso alguno; las horas con cinco ingresos son el doble de frecuentes. Organizar la plantilla según la media equivale a prepararla para un resultado que solo se da una de cada cinco veces.

$P (X \geq 3) = 57.681% but P (X = 3) = 22.4%; μ = σ^{2} = λ$

Ruta de aprendizaje

De recuentos a curvas

Lleva a Distribución normal el primer límite: mantén np fijo, aumenta n y reduce p, y los dos parámetros colapsan en uno solo.

Referencias (2)

The horse-kick data in the third block: L. von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen. B. G. Teubner, Leipzig, 1898.
The Poisson limit of the binomial, and why variance equals the mean: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd ed., ch. VI. Wiley, 1968. ISBN 978-0-471-25708-0.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-06-04

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Típico λ=5 - Con λ = 3, la distribución tiene dos modas de la misma altura: tanto tres sucesos como dos sucesos tienen probabilidad 0,2240, porque una media entera queda justo entre los valores contiguos. Basta apartar un poco λ de 3 para que una de las dos modas sea más alta.
Eventos raros - Con λ = 0,5, lo más probable es que no ocurra ningún suceso, con probabilidad 0,6065. Una media de medio suceso por intervalo no significa que alguna vez ocurra medio suceso; significa que la mayoría de los intervalos quedan vacíos.
Binomial→Poisson - Veinte ensayos binomiales con p = 0,25 tienen np = 5, igual que esta distribución de Poisson. Aumenta el número de ensayos manteniendo fijo ese producto y las barras irregulares se irán ajustando a la curva suave: ese es el límite del que se obtiene la distribución de Poisson.
λ grande→Normal - Con λ = 10, la desviación típica es √10 = 3,162 y la asimetría es 1/√10 = 0,316, así que la forma ya es casi simétrica. Incluso en el máximo, el recuento más probable solo alcanza 0,1251; en una distribución ancha, ningún valor tiene una probabilidad elevada.