Explorador de la Distribución Binomial

probabilidades discretas de número de éxitos para n y p fijos

Valores iniciales — Explorador de la Distribución Binomial

Ensayos (n)	20
Probabilidad de éxito (p)	0
Éxitos objetivo (k)	7

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

Cargando simulación interactiva...

La independencia es el supuesto que suele romperse primero 🖖

Para aplicar la distribución binomial deben cumplirse tres condiciones: un número fijo de ensayos, la misma probabilidad de éxito p en todos ellos y resultados que no influyan entre sí. Las dos primeras se comprueban enseguida. La tercera falla de forma menos visible en la mayoría de las situaciones reales.

Reparte 5 cartas de una baraja y calcula la probabilidad de obtener 2 ases. En cuanto sacas uno, p disminuye para todas las extracciones posteriores; los ensayos no son independientes y la binomial no es el modelo adecuado. Necesitas la distribución hipergeométrica. La clave está en si el muestreo se hace con reposición o sin ella. Devuelve la carta a la baraja y la binomial será exacta; quédatela y solo obtendrás una aproximación, buena si la baraja es grande en relación con la mano y mala si no lo es.

Contar éxitos en ensayos repetidos 🖖

Imagina lanzar la misma moneda sesgada n veces y contar cuántas veces sale cara. Ese conteo es una variable aleatoria binomial: cada lanzamiento es independiente y todos comparten la misma probabilidad de éxito p. La herramienta te deja mover n y p y ver dónde se acumula la probabilidad. Tu mejor apuesta para el número de éxitos es la media np, así que 20 lanzamientos de una moneda justa se centran en 10 caras.

De dónde viene realmente el nombre 🖖

El "binomial" de la distribución binomial es el mismo que el del teorema del binomio en álgebra. Al desarrollar (p + q)ⁿ con q = 1 − p aparecen exactamente los términos nCk · p^k · q^n−k, las probabilidades para cada k. Como (p + q) = 1, el desarrollo vale 1ⁿ = 1, por lo que las probabilidades deben sumar uno. Los coeficientes nCk son literalmente las filas del triángulo de Pascal.

PROBABILIDAD BINOMIAL — ¿QUÉ PREGUNTA ESTÁS HACIENDO REALMENTE?

¿En qué caso binomial estás?

La binomial necesita tres cosas y ninguna más: un número fijo de ensayos independientes n, la misma probabilidad de éxito p en cada uno de ellos y un recuento k. Lo que cambia de un problema a otro es la pregunta —exactamente k, o como mucho k— y la forma que p le da a la distribución. Decide esas dos cosas y la aritmética es mecánica.

Exactamente k con p = ½: el caso simétrico P(X = k) = C(n,k) p^k(1−p)^n−k

Como mucho k: suma las barras, no leas una sola P(X ≤ k) = ∑_i≤k P(X = i)

p lejos de ½: la distribución se inclina μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋

Muchos ensayos, p diminuta: el límite de Poisson λ = np, P(X = k) ≈ e^−λλ^k/k!

Exactamente k con p = ½: el caso simétrico

Lo que sabes: Un n fijo, la misma p en cada ensayo y una pregunta sobre un recuento concreto. Con p = ½ las barras son simétricas respecto de n/2.

Fórmula: P(X = k) = C(n,k) p^k(1−p)^n−k

Ejemplo resuelto: n = 10, p = 0,5, k = 5 → C(10,5)·0,5¹⁰ = 252/1024 = 0,2461

Abrir este caso: 10 lanzamientos de moneda justa

Exactamente k con p = ½: el caso simétrico. Con p = ½ las barras son simétricas respecto de n/2, y ni siquiera la más alta llega a un cuarto de la probabilidad. Un n fijo, la misma p en cada ensayo y una pregunta sobre un recuento concreto. Con p = ½ las barras son simétricas respecto de n/2. — Con p = ½ las barras son simétricas respecto de n/2, y ni siquiera la más alta llega a un cuarto de la probabilidad.

Como mucho k: suma las barras, no leas una sola

Lo que sabes: La pregunta es un umbral, no un recuento único. Suma todas las barras desde 0 hasta k; un solo P(X = k) responde a otra pregunta muy distinta.

Fórmula: P(X ≤ k) = ∑_i≤k P(X = i)

Ejemplo resuelto: n = 40, p = 0,08, k ≤ 2 → P(X ≤ 2) = 0,3694, mientras que la barra suelta P(X = 2) es solo 0,2100

Abrir este caso: defectos de control de calidad

Como mucho k: suma las barras, no leas una sola. La respuesta es el bloque sombreado de 0 a k, no la altura de la barra k-ésima. La pregunta es un umbral, no un recuento único. Suma todas las barras desde 0 hasta k; un solo P(X = k) responde a otra pregunta muy distinta. — La respuesta es el bloque sombreado de 0 a k, no la altura de la barra k-ésima.

p lejos de ½: la distribución se inclina

Lo que sabes: Una probabilidad de éxito desequilibrada. El pico se sitúa cerca de np y la cola del lado apretado queda aplastada contra el límite en n.

Fórmula: μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋

Ejemplo resuelto: n = 25, p = 0,78, k = 20 → 0,1903; la media es np = 19,5 y la moda es ⌊(n+1)p⌋ = 20

Abrir este caso: tiros libres de baloncesto

p lejos de ½: la distribución se inclina. Una p alta empuja el pico hacia n y aplasta la cola derecha contra el límite. Una probabilidad de éxito desequilibrada. El pico se sitúa cerca de np y la cola del lado apretado queda aplastada contra el límite en n. — Una p alta empuja el pico hacia n y aplasta la cola derecha contra el límite.

Muchos ensayos, p diminuta: el límite de Poisson

Lo que sabes: n es grande, p es pequeña y su producto es un número modesto. La binomial y una Poisson con λ = np coinciden hasta unas dos cifras decimales.

Fórmula: λ = np, P(X = k) ≈ e^−λλ^k/k!

Ejemplo resuelto: n = 60, p = 0,03 → λ = 1,8; P(X ≤ 1) = 0,4592 exacto, frente a 0,4628 de la Poisson

Abrir este caso: proceso de eventos raros

Muchos ensayos, p diminuta: el límite de Poisson. Las barras binomiales y la Poisson con λ = np quedan casi exactamente superpuestas. n es grande, p es pequeña y su producto es un número modesto. La binomial y una Poisson con λ = np coinciden hasta unas dos cifras decimales. — Las barras binomiales y la Poisson con λ = np quedan casi exactamente superpuestas.

Problemas resueltos al detalle

Exactamente 7 éxitos en 20 ensayos con p = 0,35 5 pasos
Exactamente 7 éxitos en 20 ensayos con p = 0,35. Se trata de la vista PMF con n = 20, p = 0,35 y k = 7. Construya la barra desde cero y calcule su altura una segunda vez a partir solo de la desviación típica.
1. El coeficiente cuenta cuáles de los 20 ensayos son los 7 exitosos, sin importar el orden en que se producen. Siete factores en el numerador, 7! en el denominador; vale la pena hacer la simplificación a mano una vez.
  
  $(7 20) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 !} = \frac{390 700 800}{5040} = 77520$
2. Cada disposición específica de 7 éxitos y 13 fracasos tiene la misma probabilidad, dado que los ensayos son independientes y p no varía. Estas son sus dos partes.
  
  $p^{k} = 0.3 5^{7} = 0.00064339, (1 - p)^{n - k} = 0.6 5^{13} = 0.00369721$
3. Multiplique el número de disposiciones por la probabilidad de una cualquiera de ellas. Los dos factores de probabilidad juntos suman unos 2,4 × 10⁻⁶, por lo que hacen falta las 77.520 disposiciones para elevar la respuesta de nuevo hasta el 18%.
  
  $P (X = 7) = 77520 \times 0.00064339 \times 0.00369721 = 0.18440119$
4. La cola superior no es el complementario de la cifra acumulada: 1 − 0,6010266 descartaría k = 7, que pertenece a ambas colas. La herramienta muestra P(X ≤ 7) y P(X ≥ 7), pero nunca P(X ≤ 6), por lo que esa resta le corresponde hacerla al lector.
  
  $P (X \geq 7) = 1 - P (X \leq 6) = 1 - (0.6010266 - 0.1844012) = 1 - 0.4166254 = 0.5833746$
5. Descarte ahora los factoriales. Una binomial cuya media esté bien alejada tanto de 0 como de n adopta la forma de una curva normal con la misma desviación típica, y la altura del pico de una curva normal no depende de nada más.
  
  $σ = n p (1 - p) = 4.55 = 2.133073, \frac{1}{σ 2 π} = \frac{1}{5.34682} = 0.18703$
Respuesta

La herramienta muestra el coeficiente 77.520, P(X = 7) = 0,18440119, P(X ≤ 7) = 0,6010266, P(X ≥ 7) = 0,58337458 y σ = 2,133073. El paso 5 alcanza 0,18703 a partir solo de σ (un 1,4% por encima), a partir de una expresión que no contiene ni n, ni p, ni ningún factorial. Si se aumenta n manteniendo p en 0,35, ese error evoluciona como 1/n: 0,71% con n = 40, 0,28% con n = 100, 0,07% con n = 400. De modo que μ y σ bastan para esbozar cada barra cerca del centro, y la fórmula exacta solo demuestra su valía en las colas: en k = 0 la misma curva normal es 4,7 veces demasiado alta, y en k = 17 es un 43% demasiado baja. Errores porcentuales en el centro, errores por factores en los extremos: este es el comportamiento de toda aproximación normal que vaya a encontrar.

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = 0.18440119 \approx \frac{1}{σ 2 π} = 0.18703$
60 ensayos al 3 % donde np es solo 1,8 6 pasos
Esta configuración son 60 intentos al 3 %, y el panel da P(X = 1) = 0,29840413. La aproximación normal del primer problema aquí no sirve: np vale solo 1,8. Hay otro límite que es casi exacto, y tira por completo uno de los dos parámetros.
1. Primero la respuesta exacta, tal cual la da el panel: sesenta formas de colocar el único acierto, por el acierto, por cincuenta y nueve fallos.
  
  $(1 60) (0.03)^{1} (0.97)^{59} = 60 \times 0.03 \times 0.16578007 = 0.29840413$
2. Mantén fijo el producto np y llámalo λ. Es la única cantidad que va a sobrevivir al límite.
  
  $λ = n p = 60 \times 0.03 = 1.8$
3. Toma el número combinatorio. Escribe p como λ/n: el factorial descendente dividido por nᵏ tiende a 1, porque cada factor es n menos algo pequeño, partido por n. Queda λᵏ entre k factorial.
  
  $(k n) p^{k} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !} (\frac{λ}{n})^{k} n \to \infty \frac{λ ^{k}}{k !}$
4. El término de fallo es la definición de e disfrazada: (1 − λ/n) elevado a n tiende a e^(−λ), y la k extra del exponente deja de importar.
  
  $(1 - p)^{n - k} = (1 - \frac{λ}{n})^{n - k} n \to \infty e^{- λ}$
5. Junta las dos mitades en k = 1.
  
  $P (X = 1) \approx λ e^{- λ} = 1.8 e^{- 1.8} = 0.29753800$
6. Ahora mide el error en lugar de afirmar que es pequeño.
  
  $\frac{0.29753800 - 0.29840413}{0.29840413} = - 0.0029$
Respuesta

0,29754 frente al exacto 0,29840: un 0,29 % por debajo, y con solo sesenta intentos. El límite de Poisson conserva λ = np y olvida n y p por separado, y por eso describe situaciones en las que nunca se supo n: llamadas que llegan a una centralita, mutaciones por genoma, erratas por página. En ninguna hay un número de intentos, solo una tasa. Y el error cae como 1/n: con 600 intentos al 0,3 % es 0,030 %, y con 6000 al 0,03 % es 0,003 %. Diez veces más intentos, la décima parte de error, sin que λ se mueva.

$P (k) \to \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ} : 0.29754 ⟷ 0.29840, - 0.29%$

Ruta de aprendizaje

De recuentos a curvas

Lleva a Poisson la distribución exacta de un recuento: n ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad p.

Referencias (2)

Three centuries of the result this distribution was invented in order to prove: E. Seneta, "A Tricentenary history of the Law of Large Numbers." Bernoulli 19(4), 1088–1121, 2013 — on Jakob Bernoulli’s Ars Conjectandi of 1713.
And a shorter account of the book itself: I. Schneider, "Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713)", in Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, 88–104. Elsevier, 2005.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

10 lanzamientos de moneda justa - Obtener cinco caras en diez lanzamientos es el resultado más probable, pero ocurre menos de una cuarta parte de las veces: 0,2461. Que un valor sea el más probable de una binomial no significa que sea frecuente.
defectos de control de calidad - Con cuarenta unidades y una tasa de defectos del 8 %, la media es de 3,2 defectos. Si solo aceptas un lote cuando contiene dos o menos, rechazarás la mayoría de los que se comportan justo como cabe esperar; la probabilidad acumulada es 0,3694.
tiros libres de baloncesto - Un jugador que acierta el 78 % de sus tiros libres consigue una media de 19,5 canastas en 25 intentos. Exactamente 20 es el entero más próximo a esa media y solo ocurre el 19 % de las veces. Así de amplia es la distribución para este valor de n.
proceso de eventos raros - Con sesenta ensayos y una probabilidad de éxito del 3 %, la media es de 1,8 éxitos. «Como máximo uno» no es un resultado tan excepcional como parece: ocurre el 46 % de las veces, y no obtener ninguno ocurre el 16 %.