Normalverteilung — interaktiv

Stell einen Mittelwert und eine Streuung ein, markiere ein beliebiges Intervall und lies ab, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert darin liegt.

Startwerte — Normalverteilung — interaktiv

Mittelwert (μ)	0
Standardabweichung (σ)	1
x₁ (untere Grenze)	-1
x₂ (obere Grenze)	1

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

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die 68–95–99,7-Regel 🖖

Diese Prozentwerte sind keine gerundeten Schätzungen. Sie ergeben sich unmittelbar aus dem gaußschen Integral: Jeder Wert entspricht der Fläche unter e^(−z²/2) zwischen ±1, ±2 beziehungsweise ±3 Standardabweichungen. Genau diese Flächen berechnen die Schritte mit der Fehlerfunktion weiter unten.

In der Physik dient diese Skala auch dazu, Schwellen für eine „Entdeckung“ festzulegen. Für die Bekanntgabe des Higgs-Bosons im Jahr 2012 waren Belege mit einer Signifikanz von 5σ erforderlich. Das entspricht bei einer einseitigen Prüfung einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 1 zu 3,5 Millionen für einen falsch positiven Befund. Eine so hohe Hürde soll verhindern, dass statistisches Rauschen für ein echtes Signal gehalten wird.

Die Regel zeigt außerdem, warum „unwahrscheinliche“ Ereignisse in großen Datensätzen keineswegs selten sind. Bei einer Million unabhängigen Messungen dürften allein durch Zufall etwa 63 außerhalb von ±4σ liegen; ±5σ würde dagegen im Mittel nicht einmal eine Messung überschreiten. Vor allem deshalb liegt die Schwelle bei fünf statt bei vier. Hinzu kommt die Erfahrung eines Fachgebiets, in dem sich Drei-Sigma-Ergebnisse schon mehrfach in Luft aufgelöst hatten.

Warum die Fläche zählt, nicht die Höhe 🖖

Die Glockenkurve stellt die Wahrscheinlichkeitsdichte dar, nicht die Wahrscheinlichkeit selbst. Ihre Höhe an einem einzelnen Punkt ist also keine Wahrscheinlichkeit. Sie erlaubt aber Vergleiche: Die doppelte Höhe bedeutet pro x-Einheit die doppelte Wahrscheinlichkeit. Genau diesen einen Wert anzunehmen, hat dennoch die Wahrscheinlichkeit null. Entscheidend ist die Fläche. Der markierte Streifen zwischen x₁ und x₂ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Wert in diesem Intervall liegt; die gesamte Fläche unter der Kurve beträgt immer genau 1. Verschiebst du μ, wandert der Gipfel nach links oder rechts. Vergrößerst du σ, wird die Kurve flacher und breiter, während ihre Gesamtfläche unverändert bleibt.

Die Glockenkurve auf dem Geldschein 🖖

Die Kurve war so berühmt, dass sie sogar auf einem Geldschein erschien: Auf dem deutschen 10-Deutsche-Mark-Schein, der von 1991 bis 2001 im Umlauf war, war Carl Friedrich Gauß neben dieser Kurve und ihrer Formel f(x) abgebildet. Gauß verfeinerte sie bei der mathematischen Beschreibung astronomischer Messfehler; daher heißt sie auch Gaußsche Fehlerkurve. Abraham de Moivre hatte ihre Form allerdings schon 1733 hergeleitet, Jahrzehnte vor Gauß’ Geburt. Ein Musterbeispiel für Stiglers Gesetz, dem zufolge keine Entdeckung nach ihrem tatsächlichen Entdecker benannt ist.

Aufgabe vollständig gelöst

Zwei zufällig ausgewählte Erwachsene mit μ = 170 cm 5 Schritte
Wie weit liegen zwei zufällig ausgewählte Erwachsene auseinander? Dies ist Körpergrößen: μ = 170 cm mit σ = 10 cm, und das schraffierte Band reicht von x₁ = 160 bis x₂ = 180 cm.
1. Durch Standardisieren werden aus Zentimetern Standardabweichungen – die einzige Währung, die die Normalverteilungstabelle akzeptiert. Das Band liegt genau ein σ zu beiden Seiten des Mittelwerts.
  
  $z_{1} = \frac{160 - 170}{10} = - 1, z_{2} = \frac{180 - 170}{10} = + 1$
2. Die Kurve ist symmetrisch um den Mittelwert, sodass die Fläche unterhalb von −1 der Fläche oberhalb von +1 entspricht und die schraffierte Mitte der verbleibende Rest ist. Ein einziger Tabellenwert erledigt die gesamte Berechnung.
  
  $P = Φ (1) - Φ (- 1) = 2Φ (1) - 1 = 2 (0.8413) - 1 = 0.6827 = 68.3%$
3. Nun ändern wir die Fragestellung: Nicht eine Person im Vergleich zum Durchschnitt, sondern zwei Personen im Vergleich zueinander. Bei unabhängigen Größen addieren sich die Varianzen selbst dann, wenn die Größen subtrahiert werden; somit streut die Differenz breiter als jede der beiden Einzelgrößen.
  
  $D = X_{1} - X_{2} : E [D] = 0, Var (D) = σ^{2} + σ^{2} ⟹ σ_{D} = 102 = 14.142 cm$
4. Ein Unterschied von 10 cm zwischen zwei Personen entspricht daher nur 0,71 Standardabweichungen von D, während dieselben 10 cm für eine einzelne Person eine volle Standardabweichung darstellten.
  
  $P (∣ D ∣ \leq 10) = 2Φ (\frac{10}{14.142}) - 1 = 2Φ (0.7071) - 1 = 2 (0.7603) - 1 = 52.1%$
5. Der äußere Endbereich derselben Differenzenverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Paar auffallend unterschiedlich aussieht.
  
  $P (∣ D ∣ \geq 20) = 2 [1 - Φ (1.4142)] = 2 (0.0787) = 15.7% \approx \frac{1}{6}$
Antwort

68,3% der Erwachsenen liegen zwischen 160 und 180 cm, und die 15,9% über 180 cm sind das, was übrig bleibt, wenn man die von dem Werkzeug angegebenen Φ(z₂) = 84,1% darunter abzieht. Die Differenz zwischen zwei Erwachsenen streut um 10√2 = 14,142 cm, sodass sich knapp die Hälfte aller Paare (52,1%) um weniger als 10 cm unterscheidet, während sich etwa jedes sechste Paar um mehr als 20 cm unterscheidet. Diese beiden Werte von etwa einem Sechstel stellen nicht denselben Sachverhalt dar, und es lohnt sich, sie voneinander zu trennen: Eine Einzelperson übertrifft den Mittelwert etwa in einem von sechs Fällen um 10 cm, und ein Paar unterscheidet sich etwa in einem von sechs Fällen um 20 cm. Das auf einer Verteilung angegebene σ misst den Abstand vom Mittelwert, doch die Differenzen, die man tatsächlich wahrnimmt, bestehen zwischen zwei Stichprobenziehungen – und diese fallen um das 1,414-Fache breiter aus.

$σ_{X_{1} - X_{2}} = σ 2 = 1.414 σ$

Lernpfad

Von Zählwerten zu Kurven

Führt zu Zentraler Grenzwertsatz den anderen Grenzwert, und zwar den ersten stetigen: Ein großes n bei einem p weit weg von null.

Quellen (3)

Insight block 1 — the 5σ bar, and the announcement that had to clear it: ATLAS Collaboration, "Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC." Physics Letters B 716(1), 1–29, 2012.
CMS Collaboration, "Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC." Physics Letters B 716(1), 30–61, 2012.
Insight block 3 — the law that says the curve is misnamed: S. M. Stigler, "Stigler's Law of Eponymy." Transactions of the New York Academy of Sciences 39(1), 147–157, 1980.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

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Beispielaufgaben

Standardnormal - Der Lehrbuchfall — μ = 0, σ = 1. σ = 1 bedeutet, dass Werte typischerweise 1 Einheit vom Mittelwert entfernt liegen. Die Grafik zeigt immer μ ± 4,5σ — hier −4,5 bis +4,5 — um 99,999 % der Verteilung abzudecken. Jede Normalverteilung lässt sich auf diese Skala umrechnen.
IQ-Werte - Intelligenztests werden so normiert, dass der Mittelwert in der Bevölkerung bei 100 liegt. Die Streuung von 15 ist dabei keine gemessene Größe, sondern Teil der festgelegten Skala. Deshalb hat ein Wert in jedem korrekt normierten Test dieselbe Bedeutung. Ergebnisse jenseits von drei Standardabweichungen, also unter 55 oder über 145, kommen durchaus vor, sind aber selten: Beide Randbereiche zusammen betreffen etwa 1 von 370 Menschen. Stell ±2σ ein und schau, wie ungewöhnlich extreme Werte tatsächlich sind.
Körpergröße - Die Körpergröße Erwachsener ist in vielen Bevölkerungsgruppen annähernd normalverteilt. Sie gilt als Musterbeispiel, doch die übliche Erklärung greift etwas kurz: Zahlreiche Gene und Umwelteinflüsse tragen jeweils ein wenig dazu bei, ohne dass ein einzelner Faktor dominiert. Deshalb passt die Kurve in der Mitte gut, an den Rändern dagegen schlecht, denn dort wirken sich Wachstumsstörungen aus. Das Diagramm zeigt den Bereich von 125–215 cm (μ ± 4,5σ, also 170 ± 45). Körpergrößen über 200 cm kommen vor, sind aber selten: Etwa 1 von 750 Menschen ist so groß. Den markierten Bereich von 160–180 cm würden die meisten als „durchschnittliche Körpergröße“ bezeichnen.
Prüfungsnoten - Eine Klasse mit einer Durchschnittspunktzahl von 65. Bei Prüfungsergebnissen passt das Modell am schlechtesten: Die Werte sind nach unten und oben begrenzt und häufen sich oft in der Nähe der Bestehensgrenze. Die Verteilungsränder sind daher eher eine rechnerische Vereinfachung als eine realistische Beschreibung. Das Diagramm reicht ungefähr von 11–119 (μ ± 4,5σ, also 65 ± 54) und damit über 100 hinaus. Eine Normalverteilung hat keine feste Obergrenze; der Kurvenverlauf oberhalb von 100 ist sehr flach und steht für seltene Ergebnisse. Stell x1 und x2 auf einen beliebigen Notenbereich ein, um den prozentualen Anteil zu sehen.