Normalverteilung — interaktiv

Diese Prozentwerte sind keine gerundeten Schätzungen — sie ergeben sich direkt aus dem Gauß-Integral, jeweils als Fläche unter e^(−z²/2) zwischen ±1, ±2 und ±3 Standardabweichungen, genau das, was die Fehlerfunktions-Schritte unten berechnen. Physiker verwenden diese Skala für 'Entdeckungs'-Schwellenwerte: Die Ankündigung des Higgs-Bosons 2012 verlangte 5σ-Evidenz, eine einseitige Falsch-positiv-Rate von etwa 1 zu 3,5 Millionen — genau deshalb, weil ein echtes Signal eine so hohe Hürde nehmen muss, bevor man ihm mehr vertraut als dem statistischen Rauschen. Die Regel erklärt auch, warum 'unwahrscheinliche' Ereignisse in großen Datensätzen gar nicht so selten sind — bei einer Million unabhängiger Messungen solltest du erwarten, dass ein paar rein zufällig jenseits von ±5σ landen, und genau vor dieser Falle soll die 5σ-Schwelle schützen.

Die Glockenkurve zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte, nicht die Wahrscheinlichkeit selbst — die Höhe an einem einzelnen Punkt sagt also fast nichts aus. Entscheidend ist die Fläche: Der schattierte Streifen zwischen x₁ und x₂ ist die Chance, dass ein Wert in diesem Bereich landet, und die gesamte Kurve umschließt stets eine Fläche von genau 1. Verschieben von μ bewegt den Gipfel nach links oder rechts; ein größeres σ flacht die Kurve ab und verbreitert sie, doch diese Gesamtfläche bleibt unverändert.

Die Kurve war berühmt genug, um auf Geld zu erscheinen: Der deutsche 10-Mark-Schein, von 1991 bis 2001 im Umlauf, zeigte Carl Friedrich Gauß neben genau dieser Kurve und ihrer Formel f(x). Passenderweise verfeinerte er sie beim Modellieren von Messfehlern in der Astronomie. Doch Abraham de Moivre hatte die Form schon 1733 hergeleitet, Jahrzehnte vor Gauß’ Geburt — ein Musterbeispiel für Stiglers Gesetz, das scherzt, nichts sei nach seinem wahren Entdecker benannt.