z-Wert-Rechner

Werte auf der Normalverteilungsskala standardisieren

Startwerte — z-Wert-Rechner

Rohwert (x)	85
z-Wert (z)	1.5
Mittelwert (μ)	70
Std.-Abw. (σ)	10

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Standardisieren macht deine Daten nicht normalverteilt 🖖

Den Mittelwert abzuziehen und durch die Standardabweichung zu teilen verschiebt und streckt eine Verteilung; die Form kann es nicht ändern. Standardisiere etwas stark Schiefes, und es kommt genauso schief heraus, wie es hineinging. Das z übersteht das — es meldet weiterhin ehrlich, wie viele Standardabweichungen du entfernt bist — die Perzentil-Zeile aber nicht, denn sie wird als Φ(z) berechnet, und Φ ist die Normalverteilung. Wie viel leistet diese Annahme? Bei einer Normalverteilung liegen 4,55 % der Werte außerhalb von ±2. Bei einer beliebigen Verteilung verspricht die Tschebyscheff-Ungleichung lediglich höchstens 25 %. Die Normalannahme bringt bei z = 2 also den Faktor fünfeinhalb — es lohnt zu wissen, ob man sie verdient hat, bevor man das Perzentil zitiert.

Ein Maßstab für jede Skala 🖖

Ein z-Wert beantwortet eine einfache Frage: Wie viele Standardabweichungen liegt dieser Wert vom Mittelwert entfernt? Da er die ursprünglichen Einheiten entfernt, lassen sich damit völlig unterschiedlich gemessene Größen vergleichen — eine Note von 100 Punkten und eine Körpergröße in Zentimetern werden direkt vergleichbar, sobald beide zu z-Werten werden. Ein Wert bei z = 1.5 liegt im selben relativen Abstand über seinem Mittelwert, egal ob es eine Prüfungsnote oder eine Marathonzeit ist.

Kleine Stichproben begrenzen den z-Wert 🖖

Stammt ein z-Wert aus einer echten Stichprobe von n Werten statt aus einer bekannten Grundgesamtheit, kann kein einzelner Punkt mehr als (n − 1)/√n Standardabweichungen erreichen — eine Grenze, die Ronald Shiffler 1988 bewies. In einer Klasse mit 10 Schülern liegt die beste Note bei höchstens etwa z = 2.85, so brillant sie auch sei; z = 4 ist mit weniger als 18 Datenpunkten unmöglich. Ein echter Ausreißer 'eins zu einer Million' kann in einem kleinen Datensatz schlicht nicht existieren.

Z-WERTE — WIE WEIT VOM MITTEL, IN EINHEITEN, DIE ÜBERALL GELTEN

In welchem Z-Wert-Fall bist du?

Ein z-Wert beantwortet eine Frage: Wie viele Standardabweichungen liegt dieser Wert vom Mittelwert entfernt? z = (x − μ)/σ streift die Einheiten ab, sodass eine Klausurnote und eine Körpergröße vergleichbare Zahlen werden. Welcher Fall vorliegt, hängt davon ab, ob du einen Wert in ein z verwandelst, das zugehörige Perzentil abliest oder die Rechnung rückwärts laufen lässt, um einen Rohwert zurückzugewinnen.

Über dem Mittel — wie viele Standardabweichungen darüber z = (x − μ)/σ = 2.125

Unter dem Mittel — dieselbe Entfernung, gespiegelt z = −2.125

z = 1 — der Anker, auf dem die Faustregel ruht z = 1 → Φ = 84.13%

Ein großes z — der Rand dünnt weit schneller aus als erwartet z = 3 → 1 − Φ = 0.135%

Rückwärts gerechnet — vom z zum Rohwert x = μ + zσ = 130

Über dem Mittel — wie viele Standardabweichungen darüber

Was du weißt: Ein Rohwert samt Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit. z = (x − μ)/σ, und ein positives z heißt überdurchschnittlich.

Umrechnung: z = (x − μ)/σ = 2.125

Rechenbeispiel: x = 92 bei μ = 75 und σ = 8 → z = 17/8 = 2,125, das 98,32. Perzentil, mit 1,68 % besseren Ergebnissen.

Diesen Fall öffnen: Klausur hoch (x=92)

Über dem Mittel — wie viele Standardabweichungen darüber. Der Wert liegt gut zwei Standardabweichungen rechts der Mitte, mit sehr wenig Kurve dahinter. Ein Rohwert samt Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit. z = (x − μ)/σ, und ein positives z heißt überdurchschnittlich. — Der Wert liegt gut zwei Standardabweichungen rechts der Mitte, mit sehr wenig Kurve dahinter.

Unter dem Mittel — dieselbe Entfernung, gespiegelt

Was du weißt: Ein Wert unter μ ergibt ein negatives z. Das Vorzeichen trägt nur die Richtung; der Betrag sagt weiterhin, wie ungewöhnlich der Wert ist.

Umrechnung: z = −2.125

Rechenbeispiel: x = 58 bei denselben μ = 75 und σ = 8 → z = −2,125, das 1,68. Perzentil — das exakte Spiegelbild der 92.

Diesen Fall öffnen: Klausur niedrig (x=58)

Unter dem Mittel — dieselbe Entfernung, gespiegelt. Das Spiegelbild des vorigen Falls: dieselbe Entfernung, nur auf der anderen Seite. Ein Wert unter μ ergibt ein negatives z. Das Vorzeichen trägt nur die Richtung; der Betrag sagt weiterhin, wie ungewöhnlich der Wert ist. — Das Spiegelbild des vorigen Falls: dieselbe Entfernung, nur auf der anderen Seite.

z = 1 — der Anker, auf dem die Faustregel ruht

Was du weißt: Genau eine Standardabweichung entfernt. Rund 68 % der Verteilung liegen innerhalb von ±1, also 84 % unterhalb von +1.

Umrechnung: z = 1 → Φ = 84.13%

Rechenbeispiel: Ein IQ von 115 bei μ = 100 und σ = 15 → z = 1,00, das 84,13. Perzentil.

Diesen Fall öffnen: IQ 115 (z=1)

z = 1 — der Anker, auf dem die Faustregel ruht. Eine Standardabweichung entfernt: Die schattierte Fläche sind die 84 % darunter, 16 % bleiben darüber. Genau eine Standardabweichung entfernt. Rund 68 % der Verteilung liegen innerhalb von ±1, also 84 % unterhalb von +1. — Eine Standardabweichung entfernt: Die schattierte Fläche sind die 84 % darunter, 16 % bleiben darüber.

Ein großes z — der Rand dünnt weit schneller aus als erwartet

Was du weißt: Drei Standardabweichungen entfernt. Das Perzentil beträgt 99,87, es übertrifft ihn also etwa einer von 740.

Umrechnung: z = 3 → 1 − Φ = 0.135%

Rechenbeispiel: Ein IQ von 145 bei μ = 100 und σ = 15 → z = 3,00, mit nur 0,135 % darüber.

Diesen Fall öffnen: IQ 145 (z=3)

Ein großes z — der Rand dünnt weit schneller aus als erwartet. Drei Standardabweichungen draußen hat die Kurve fast keine Fläche mehr zu geben. Drei Standardabweichungen entfernt. Das Perzentil beträgt 99,87, es übertrifft ihn also etwa einer von 740. — Drei Standardabweichungen draußen hat die Kurve fast keine Fläche mehr zu geben.

Rückwärts gerechnet — vom z zum Rohwert

Was du weißt: Umgestellt lautet dieselbe Beziehung x = μ + zσ. Man nutzt sie, wenn das z oder das Perzentil feststeht und der zugehörige Wert gesucht ist.

Umrechnung: x = μ + zσ = 130

Rechenbeispiel: z = 2 bei μ = 100 und σ = 15 → x = 100 + 2 × 15 = 130, das 97,72. Perzentil.

Diesen Fall öffnen: aus z=2

Rückwärts gerechnet — vom z zum Rohwert. Man beginnt beim z und liest hinunter zum Rohwert, der dazu gehört. Umgestellt lautet dieselbe Beziehung x = μ + zσ. Man nutzt sie, wenn das z oder das Perzentil feststeht und der zugehörige Wert gesucht ist. — Man beginnt beim z und liest hinunter zum Rohwert, der dazu gehört.

Quellen (1)

Insight block 3 — the (n − 1)/√n ceiling on any z-score from a sample: R. E. Shiffler, "Maximum Z Scores and Outliers." The American Statistician 42(1), 79–80, 1988.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Ergebnis von 85 in einer Klasse mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10 5 Schritte
Eine Punktzahl von 85 in einer Klasse mit einem Mittelwert von 70 und einer Standardabweichung von 10. Wandeln Sie diese in ein Perzentil um und bestimmen Sie anschließend, wie viel dieses Perzentils Messung und wie viel Annahme ist.
1. Der z-Wert ist der in Standardabweichungen gemessene Abstand vom Mittelwert. Er hat keine Einheit — zieht man eine Punktzahl in Punkten ab und dividiert durch eine Streuung in Punkten, bleibt eine reine Zahl übrig, was Ergebnisse aus verschiedenen Prüfungen überhaupt erst vergleichbar macht.
  
  $z = \frac{x - μ}{σ} = \frac{85 - 70}{10} = 1.5$
2. Das Perzentil ergibt sich aus der Standardnormalverteilung: 93,32 % der Fläche liegen links von z = 1,5, sodass 6,68 % rechts davon liegen.
  
  $Φ (1.5) = 0.9332 ⟹ 1 - Φ (1.5) = 0.0668 = 6.68%$
3. Machen wir es konkret: In einer Klasse von dreißig erzielen etwa zwei Personen eine Punktzahl von über 85.
  
  $30 \times 0.0668 = 2.0 students$
4. Lass nun die Annahme einer Normalverteilung fallen. Die Tschebyscheffsche Ungleichung gilt für jede Verteilung mit endlicher Varianz. Für den Bereich außerhalb von ±1,5 Standardabweichungen garantiert sie lediglich, dass dort höchstens 44,4 % der Daten liegen – mehr als dreimal so viel wie die 13,36 % bei einer Normalverteilung.
  
  $Chebyshev : P (∣ z ∣ \geq 1.5) \leq \frac{1}{1. 5 ^{2}} = 44.4% vs 2 (0.0668) = 13.36%$
5. Rechnen wir die Frage für einen Zielwert rückwärts. Die obersten 1 % beginnen bei z = 2,326, was in dieser Prüfung einer Punktzahl von 93,3 entspricht.
  
  $top 1% : z = 2.326 ⟹ x = 70 + 10 (2.326) = 93.3$
Antwort

Das Werkzeug gibt z = 1,5, ein Perzentil von 93,32 und einen rechten Verteilungsrand von 6,68 aus. Die beiden Zeilen sind nicht gleichermaßen vertrauenswürdig, und das ist die nützliche Erkenntnis daraus. Der z-Wert ist eine Beschreibung: Er gilt für beliebige Daten und bedeutet genau das, was er aussagt. Das Perzentil ist ein Modell — es ist Φ(z), und Φ ist die Normalverteilungskurve —, sodass es bei schiefen Daten völlig falsch sein kann, während der z-Wert daneben exakt richtig bleibt. Schritt 4 beziffert das Ausmaß der Annahme: Bei 1,5 Standardabweichungen bringt die Annahme der Normalverteilung einen Faktor drei.

$z needs no distribution; Φ (z) needs a normal one$

Lernpfad

Von Zählwerten zu Kurven

Führt zu Konfidenzintervall einen einheitlichen Maßstab für jede Normalverteilung.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Klausur hoch (x=92) - Eine Prüfungsnote von 92 bei einem Mittelwert von 75 und einer Standardabweichung von 8. Der Wert liegt 2.13 Standardabweichungen über dem Mittelwert (98.32%-Perzentil).
Klausur niedrig (x=58) - Eine Prüfungsnote von 58 bei einem Mittelwert von 75 und einer Standardabweichung von 8. Der Wert liegt 2.13 Standardabweichungen unter dem Mittelwert (1.68%-Perzentil), was ungewöhnlich niedrig ist.
IQ 115 (z=1) - Ein IQ-Wert von 115 auf einer Standardskala (Mittelwert 100, Standardabweichung 15). Das entspricht genau 1 Standardabweichung über dem Durchschnitt (84.13%-Perzentil).
IQ 145 (z=3) - Ein IQ-Wert von 145 auf einer Standardskala (Mittelwert 100, Standardabweichung 15). Das entspricht 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt (99.87%-Perzentil), was extrem selten ist (etwa 1 von 740 Personen).
Körpergröße 190cm (z=2,14) - Eine Körpergröße von 190 cm bei Erwachsenen in einer Population mit Mittelwert 175 cm und Standardabweichung 7 cm. Das sind 2.14 Standardabweichungen über dem Mittelwert (98.39%-Perzentil).
aus z=2 - Berechnung des zugehörigen Rohwerts für einen z-Wert von +2 in einem IQ-Test (Mittelwert 100, Standardabweichung 15). Der Schwellenwert liegt bei 130 und entspricht der 97.72%-Perzentilgrenze.
aus z=-1,5 - Ermittlung des Rohwerts für einen z-Wert von -1.5 in einem Test mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10. Das Ergebnis ist 35, was dem 6.68%-Perzentil entspricht.