Zentraler-Grenzwertsatz-Explorer

Das funktioniert, weil Mittelung im Grunde wiederholte Faltung ist: Faltet man eine Verteilung oft genug mit sich selbst, glätten sich ihre Eigenheiten — Schiefe und mehrgipflige Ausprägungen klingen schneller ab als die Streuung, sodass das Ergebnis zunehmend gaußförmig aussieht, unabhängig vom Ausgangspunkt. Die einzige echte Voraussetzung ist eine endliche Varianz; eine Gleichverteilung, eine Exponentialverteilung und eine zweigipflige bimodale Quelle werden bei genügend gemittelten Ziehungen alle zur selben Glockenkurve gezogen, nur unterschiedlich schnell — weshalb n=30 zur informellen Faustregel der Statistik wurde und nicht zu einer exakten Schwelle.

Je mehr du ziehst, desto schmaler wird das Histogramm der Mittelwerte — nicht nur glatter. Seine Streuung ist der Standardfehler σ/√n, sodass die Präzision nur mit der Quadratwurzel des Stichprobenumfangs wächst: Um die Breite zu halbieren, musst du n vervierfachen. Das ist der praktische Kern des Satzes — größere Stichproben fixieren einen Mittelwert genauer, aber mit stetig abnehmendem Ertrag.

Der Satz setzt stillschweigend eine endliche Varianz voraus, und ein berühmter Gesetzloser verletzt sie: die Cauchy-Verteilung, der Quotient zweier standardnormalverteilter Größen. Mittelt man eine Million Cauchy-Ziehungen, folgt das Ergebnis genau derselben Cauchy-Kurve wie eine einzelne Ziehung — die Glocke entsteht nie, und mehr Daten bringen nichts. Ihre Ränder sind so schwer, dass ein einziger monströser Wert jeden Mittelwert dominieren kann, wie groß er auch sei.