Zentraler-Grenzwertsatz-Explorer

beobachte, wie Stichprobenmittelwerte glockenförmig werden

Startwerte — Zentraler-Grenzwertsatz-Explorer

Quellverteilung	Gleichverteilung
Stichprobengröße (n)	30
Auto-Geschwindigkeit	12
Histogramm-Klassen	34
Exponentialrate	1
Bimodaler Abstand	2

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

Interaktive Simulation wird geladen...

Warum Mittelwerte selbst bei ungewöhnlichen Quellen normalverteilt werden 🖖

Mittelwerte nähern sich der Normalverteilung, weil wiederholtes Mitteln bis auf eine Skalierung einer wiederholten Faltung entspricht. Faltet man eine Verteilung oft genug mit sich selbst, glätten sich ihre Eigenheiten. Rechnet man die abnehmende Breite heraus, werden Schiefe und Wölbungen immer schwächer, während die Streuung erhalten bleibt. So entsteht unabhängig von der Ausgangsverteilung zunehmend die Form einer Gauß-Kurve. Die entscheidende Voraussetzung ist eine endliche Varianz. Eine Gleichverteilung, eine Exponentialverteilung und eine zweigipflige bimodale Verteilung nähern sich alle derselben Glockenkurve, nur unterschiedlich schnell. Deshalb wurde n = 30 in der Statistik zu einer ungefähren Faustregel, nicht zu einem exakten Schwellenwert.

Das Wurzelgesetz hinter der Verengung 🖖

Je mehr du ziehst, desto schmaler wird das Histogramm der Mittelwerte — nicht nur glatter. Seine Streuung ist der Standardfehler σ/√n, sodass die Präzision nur mit der Quadratwurzel des Stichprobenumfangs wächst: Um die Breite zu halbieren, musst du n vervierfachen. Das ist der praktische Kern des Satzes — größere Stichproben fixieren einen Mittelwert genauer, aber mit stetig abnehmendem Ertrag.

Die Verteilung, die den Satz bricht 🖖

Der Satz setzt stillschweigend eine endliche Varianz voraus, und ein berühmter Gesetzloser verletzt sie: die Cauchy-Verteilung, der Quotient zweier standardnormalverteilter Größen. Mittelt man eine Million Cauchy-Ziehungen, folgt das Ergebnis genau derselben Cauchy-Kurve wie eine einzelne Ziehung — die Glocke entsteht nie, und mehr Daten bringen nichts. Ihre Ränder sind so schwer, dass ein einziger monströser Wert jeden Mittelwert dominieren kann, wie groß er auch sei.

Aufgabe vollständig gelöst

Die n = 30-Regel für eine Gleichverteilung auf [0, 1] 5 Schritte
Worüber sagt die n = 30-Regel tatsächlich etwas aus? Das ist der Standardzustand: eine Gleichverteilung auf [0, 1] mit Stichprobenumfang n = 30.
1. Die gleichverteilte Quelle ist flach auf [0, 1], sodass ihr Mittelwert in der Mitte liegt und ihre Varianz das zweite Moment minus das Quadrat davon ist. Jede nachfolgende Zahl ergibt sich aus dieser einen.
  
  $μ = \frac{1}{2}, σ^{2} = \int_{0}^{1} x^{2} d x - μ^{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}, σ = \frac{1}{12} = 0.288675$
2. Der Standardfehler folgt aus der Varianz und aus sonst nichts. Er setzt weder voraus, dass die Quelle symmetrisch oder glockenförmig ist, noch dass n groß ist — die Formel ist bei n = 1 ebenso exakt wie bei n = 30, und das einzige Faktum, das sie nutzt, ist, dass sich Varianzen unabhängiger Größen addieren.
  
  $σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = \frac{0.288675}{30} = \frac{0.288675}{5.477226} = 0.052705$
3. Die Breite war also nie Sache des Satzes. Es geht um die Form, und das Standardmaß für eine Schiefe ist die Schiefe selbst. Dritte zentrale Momente addieren sich für unabhängige Ziehungen genau wie Varianzen, und die Schiefe ist so konstruiert, dass sie eine Skalierung der Achse übersteht; kombiniert man beides, fällt die Schiefe des Mittelwerts wie 1/√n.
  
  $μ_{3} (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = n μ_{3}, σ (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = σ n ⟹ γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{n μ _{3}}{( σ n ) ^{3}} = \frac{γ _{1}}{n}$
4. Die Quellen des Werkzeugs gehen von sehr unterschiedlichen Schiefen aus. Eine gleichverteilte Quelle hat keine zu verlieren, sodass ihr Stichprobenmittelwert bei jedem n symmetrisch ist, n = 1 eingeschlossen; eine exponentialverteilte Quelle beginnt bei einer Schiefe von 2 und ist bei n = 30 immer noch rechtsschief.
  
  $U (0, 1) : γ_{1} = 0 \Rightarrow γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = 0 \forall n; Exp (1) : γ_{1} = 2 \Rightarrow \frac{2}{30} = 0.3651$
5. Wenden Sie dieselbe Beziehung rückwärts an für eine Schiefe, die klein genug ist, um vernachlässigt zu werden.
  
  $\frac{2}{n} \leq 0.1 ⟹ n \geq 400$
Antwort

Die Tabelle gibt für die Ausgangsverteilung einen Mittelwert von 0,5 und einen Standardfehler von 0,052705 aus. Um diese Werte nachzurechnen, genügt die Varianz 1/12. Die letzten drei Schritte verdeutlichen, dass diese Tabellenzeile nicht auf den zentralen Grenzwertsatz zurückgeht: Der Standardfehler gilt exakt für jedes n und jede Ausgangsverteilung mit endlicher Varianz. Ein größeres n verändert die Form.

Die Gleichverteilung ist bereits symmetrisch. Bei einer Erhöhung auf n = 30 kann ihre Schiefe daher nicht weiter abnehmen; für die Voreinstellung dieser Seite ist die Faustregel ohne Bedeutung. Eine Exponentialverteilung weist bei n = 30 immer noch eine Schiefe von 0,365 auf. Erst bei n = 400 sinkt sie unter 0,1.

Die bimodale Ausgangsverteilung sieht von den drei Verteilungen der Normalverteilung am unähnlichsten, konvergiert aber ungefähr so schnell wie die Gleichverteilung. Auch sie ist symmetrisch, sodass ihre Schiefe für jedes n gleich 0 ist. Ihre Exzess-Kurtosis von −1,28 nimmt proportional zu 1/n ab und erreicht bei n = 30 den Wert −0,043; bei der Gleichverteilung sind es −0,040. Keiner dieser drei Werte erscheint in einer Tabellenzeile. Die Konvergenz lässt sich deshalb nur im Histogramm erkennen.

$σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = 0.052705, γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{1}}{n}, γ_{2} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{2}}{n}$

Lernpfad

Von Zählwerten zu Kurven

Führt zu z-Wert den Grund dafür, dass diese Kurve immer wieder auftaucht, selbst wenn nichts binomial verteilt ist.

Quellen (1)

Insight block 3 — why averaging Cauchy draws returns the same Cauchy curve: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 2, 2nd ed., ch. VI and XVII. Wiley, 1971. ISBN 978-0-471-25709-7 — stable laws, and the finite-variance condition the central limit theorem actually needs.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Statistik & Finanzen →

Beispielaufgaben

gleichverteilt, n=5 - Eine Gleichverteilung auf [0, 1] hat eine Standardabweichung von 0,2887. Der Mittelwert aus fünf Ziehungen besitzt daher einen Standardfehler von 0,129. Das Histogramm ist bereits symmetrisch, denn die Gleichverteilung hat keine Schiefe, die noch verschwinden müsste. Bei n = 5 ist die Verteilung lediglich noch zu breit.
gleichverteilt, n=30 - Der sechsfache Stichprobenumfang verbessert die Präzision um den Faktor √6: Der Standardfehler sinkt von 0,129 auf 0,0527. Bei einer Gleichverteilung war die Form von Anfang an unproblematisch. In dieser Voreinstellung bewirkt die Faustregel n = 30 daher nichts.
exponential, n=30 - Diese Ausgangsverteilung ist mit einer Schiefe von 2 stark rechtsschief. Dreißig Ziehungen verringern die Schiefe um den Faktor √30; übrig bleiben 0,365, was im Histogramm noch deutlich zu sehen ist. Für einen Wert unter 0,1 wäre ein Stichprobenumfang von 400 nötig.
bimodal, n=30 - Trotz ihrer beiden Gipfel konvergiert diese Verteilung ungefähr so schnell wie die Gleichverteilung. Aufgrund ihrer Symmetrie ist ihre Schiefe für jedes n gleich null. Abgebaut werden muss ihre Exzess-Kurtosis von −1,28. Sie nimmt proportional zu 1/n statt zu 1/√n ab und erreicht nach dreißig Ziehungen −0,043.