Konfidenzintervall-Rechner

Intervalle für Mittelwert/Anteil mit Live-Formeln

Startwerte — Konfidenzintervall-Rechner

Stichprobenmittelwert (x̄)	100
Stichproben-Standardabweichung (s)	15
Stichprobenanteil (p̂)	0.5
Stichprobengröße (n)	30

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Überlappende Fehlerbalken bedeuten nicht „kein Unterschied" 🖖

Es ist üblich, zwei Intervalle zu zeichnen, ihre Überlappung zu sehen und daraus zu schließen, die beiden Dinge seien nicht unterscheidbar. Dieser Test ist viel strenger, als er aussieht. Zwei 95-%-Intervalle überlappen erst dann nicht mehr, wenn ihre Schätzwerte 3,92 Standardfehler auseinanderliegen — und bei diesem Abstand trägt der Unterschied einen p-Wert von 0,0056. Echte Signifikanz auf dem 0,05-Niveau tritt viel früher ein, bei 2,77 Standardfehlern. Dazwischen liegt ein Band von 1,15 Standardfehlern Breite, fast ein Drittel des Weges, in dem die Intervalle sichtbar überlappen und der Unterschied dennoch signifikant ist. Auf eine sichtbare Lücke zu bestehen ist also etwa ein Test mit p < 0,006: rund neunmal härter als die 0,05, die man anzuwenden glaubte, und ein guter Weg, einen echten Effekt zu übersehen.

Ein Bereich schlägt einen Einzelwert 🖖

Ein aus einer Stichprobe gemessener Mittelwert oder Prozentsatz trifft fast nie exakt die Wahrheit, deshalb liefert dieses Werkzeug einen Bereich statt einer einzelnen Zahl. Der Fehlerbereich ist das "plus/minus" deiner Schätzung. Der ehrliche Kompromiss: Aus denselben Daten ist ein 99%-Intervall breiter als ein 90%-Intervall. Mehr Sicherheit kostet Genauigkeit, also wähle das Niveau, das deine Entscheidung wirklich braucht.

Die Zahl hinter "±3 Punkten" 🖖

Bei einem Anteil ist der Standardfehler √(p(1−p)/n), und p(1−p) wird genau bei p = 0,5 maximal (Wert 0,25). Meinungsforscher nutzen das, indem sie eine 50/50-Aufteilung als schlimmsten Fall annehmen; dann beträgt der 95%-Fehlerbereich etwa 0.98/√n. Setzt man n = 1000 ein, ergibt sich rund ±3,1% — die klassische Umfragezahl. Deshalb wachsen nationale Umfragen selten über ~1000 Personen hinaus: für ±1,5% bräuchte man die vierfache Stichprobe.

KONFIDENZINTERVALLE — WAS SCHÄTZT DU, UND WIE SICHER MUSS ES SEIN?

In welchem Konfidenzintervall-Fall bist du?

Jedes Intervall hat dieselbe Gestalt: die Schätzung plus/minus eine Fehlermarge. Verschieden ist nur, woher die Marge kommt. Beim Mittelwert ist der Standardfehler s/√n, beim Anteil √(p(1−p)/n). Das Konfidenzniveau wählt dann den Faktor, und der Stichprobenumfang entscheidet, was dieser Faktor kostet. Diese drei Entscheidungen sind das ganze Thema.

Ein Mittelwert bei 95 % — der Standardfall, und worauf sich die 95 bezieht x̄ ± z·s/√n

Höhere Konfidenz — ein breiteres Intervall bei gleichen Daten z: 1.96 → 2.576 (+31%)

Ein Anteil — der Standardfehler kommt aus p selbst SE = √(p(1−p)/n)

Ein seltener Anteil — kleines p, und die Näherung gerät unter Druck np > 5, n(1 − p) > 5

Ein Mittelwert bei 95 % — der Standardfall, und worauf sich die 95 bezieht

Was du weißt: Ein Stichprobenmittel mit Standardabweichung und Umfang. Die Marge ist z·s/√n, und bei 95 % beträgt der Faktor 1,96.

Marge: x̄ ± z·s/√n

Rechenbeispiel: x̄ = 100 bei s = 15 und n = 30 → SE = 2,739, Marge = 5,368, Intervall 94,63 bis 105,37

Diesen Fall öffnen: Mittelwert 95%

Ein Mittelwert bei 95 % — der Standardfall, und worauf sich die 95 bezieht. Die Schätzung sitzt in der Mitte, mit 1,96 Standardfehlern Marge auf jeder Seite. Ein Stichprobenmittel mit Standardabweichung und Umfang. Die Marge ist z·s/√n, und bei 95 % beträgt der Faktor 1,96. — Die Schätzung sitzt in der Mitte, mit 1,96 Standardfehlern Marge auf jeder Seite.

Höhere Konfidenz — ein breiteres Intervall bei gleichen Daten

Was du weißt: Dieselbe Art Schätzung bei 99 %. Der Faktor steigt von 1,96 auf 2,576, das Intervall wird also um 31 % breiter, obwohl sich an der Stichprobe nichts geändert hat.

Marge: z: 1.96 → 2.576 (+31%)

Rechenbeispiel: x̄ = 72 bei s = 12 und n = 64 → SE = 1,5, Marge = 3,864, Intervall 68,14 bis 75,86

Diesen Fall öffnen: Mittelwert 99%

Höhere Konfidenz — ein breiteres Intervall bei gleichen Daten. Dieselben Daten bei höherer Konfidenz: Die Mitte bleibt, die Marge wird länger. Dieselbe Art Schätzung bei 99 %. Der Faktor steigt von 1,96 auf 2,576, das Intervall wird also um 31 % breiter, obwohl sich an der Stichprobe nichts geändert hat. — Dieselben Daten bei höherer Konfidenz: Die Mitte bleibt, die Marge wird länger.

Ein Anteil — der Standardfehler kommt aus p selbst

Was du weißt: Geschätzt wird ein Anteil statt eines Mittelwerts. Es gibt keine gesonderte Streuung zu messen: SE = √(p(1−p)/n), denn bei einem Ja-Nein-Ergebnis liegt die Varianz durch p fest.

Marge: SE = √(p(1−p)/n)

Rechenbeispiel: p = 0,42 aus n = 800 → SE = 0,0174, Marge = 0,0342, Intervall 0,386 bis 0,454 — eine Umfrage mit 3,4 Prozentpunkten Fehlermarge

Diesen Fall öffnen: Anteil 95%

Ein Anteil — der Standardfehler kommt aus p selbst. Das Intervall liegt symmetrisch um den beobachteten Anteil, mit einer allein von p und n bestimmten Marge. Geschätzt wird ein Anteil statt eines Mittelwerts. Es gibt keine gesonderte Streuung zu messen: SE = √(p(1−p)/n), denn bei einem Ja-Nein-Ergebnis liegt die Varianz durch p fest. — Das Intervall liegt symmetrisch um den beobachteten Anteil, mit einer allein von p und n bestimmten Marge.

Ein seltener Anteil — kleines p, und die Näherung gerät unter Druck

Was du weißt: Ein kleiner Anteil, geschätzt bei hoher Konfidenz. Absolut ist das Intervall schmal, relativ zu p aber breit.

Marge: np > 5, n(1 − p) > 5

Rechenbeispiel: p = 0,08 aus n = 1200 bei 99 % → SE = 0,0078, Marge = 0,0202, Intervall 0,060 bis 0,100

Diesen Fall öffnen: Anteil 99%

Ein seltener Anteil — kleines p, und die Näherung gerät unter Druck. Absolut ein schmales Intervall, aber auf jeder Seite ein Viertel der Schätzung breit. Ein kleiner Anteil, geschätzt bei hoher Konfidenz. Absolut ist das Intervall schmal, relativ zu p aber breit. — Absolut ein schmales Intervall, aber auf jeder Seite ein Viertel der Schätzung breit.

Aufgabe vollständig gelöst

Das Versprechen eines 95%-Konfidenzintervalls mit n = 30 5 Schritte
Was verspricht die 95 in einem 95-%-Konfidenzintervall tatsächlich? Dies ist Mittelwert-KI mit x̄ = 100, s = 15 und n = 30 bei 95 % Konfidenz.
1. Das Intervall wird um den Stichprobenmittelwert herum aufgebaut, und der Stichprobenmittelwert ist selbst zufällig: Wiederholt man die Studie, landet er an einer anderen Stelle. Seine Streuung ist die Streuung der Daten, geschrumpft um √n, was der einzige Grund ist, warum eine größere Stichprobe an Präzision gewinnt.
  
  $SE = \frac{s}{n} = \frac{15}{30} = \frac{15}{5.4772} = 2.7386$
2. Bei einem zweiseitigen 95-%-Intervall entfallen auf jeden Randbereich 2,5 %. Der Multiplikator ist daher der Wert der Standardnormalverteilung, unterhalb dessen 97,5 % der Fläche liegen. Da 15 die aus 30 Beobachtungen berechnete Stichprobenstandardabweichung ist, wäre t₂₉ = 2,045 nach strenger Lehrbuchauffassung die richtige Wahl. Dieses Feld verwendet z, also die Näherung für große Stichproben; dadurch verschiebt sich jede Intervallgrenze um etwa ein Viertel einer Einheit.
  
  $z^{*} = Φ^{- 1} (\frac{1 + C}{2}) = Φ^{- 1} (0.9750) = 1.9600$
3. Der Multiplikator rechnet Standardfehler in die Einheiten der Messung um, und das Intervall erstreckt sich auf beiden Seiten des Schätzwerts genau so weit nach außen.
  
  $ME = z^{*} SE = 1.9600 \times 2.7386 = 5.3677 ⟹ [94.6323, 105.3677]$
4. Die 95 % beschreiben das Verfahren, nicht dieses konkrete Intervall: Dieses enthält den wahren Mittelwert entweder oder es enthält ihn nicht, und nichts in den Daten verrät, was von beidem zutrifft. Wiederholt man die gesamte Studie 100-mal, ist jedes Intervall ein unabhängiger Treffer oder Fehlschlag mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % für einen Fehlschlag, wodurch die Anzahl der Fehlschläge eine binomialverteilte Anzahl und keine feste Quote von fünf ist.
  
  $M \sim Bin (100, 0.05) : E [M] = 5, σ_{M} = 100 \times 0.05 \times 0.95 = 2.179$
5. Eine Anzahl, die um 2,179 streut, ist erst dann überraschend, wenn sie mehr als etwa zwei dieser Einheiten von ihrem eigenen Mittelwert entfernt liegt.
  
  $5 \pm 2 σ_{M} = [0.64, 9.36] M = 12 : z = \frac{12 - 5}{2.179} = 3.21$
Antwort

Ein Standardfehler von 2,7386 und ein Multiplikator von 1,9600 ergeben eine Fehlerspanne von 5,3677, sodass das Intervall von 94,6323 bis 105,3677 reicht. Der wesentliche Teil sind die letzten beiden Zeilen: Bei 100 Wiederholungen dieser Studie liegen die Fehlschläge im Durchschnitt bei 5, streuen jedoch mit einer Standardabweichung von 2,179, sodass jede Anzahl von 1 bis 9 Fehlschlägen völlig gewöhnlich ist. Drei Fehlschläge sind kein Beleg dafür, dass die Methode vorsichtig ist, und acht sind kein Beleg dafür, dass sie fehlerhaft ist; man bräuchte etwa 12 – was 3,21 Standardabweichungen entfernt liegt –, bevor die Anzahl überhaupt etwas aussagt. Der Streifen aus grünen und roten Intervallen zeigt genau dieses Experiment, und seine Trefferquote wird nicht jedes Mal 95 anzeigen, wenn man darauf blickt. Ein Konfidenzniveau ist eine langfristige Eigenschaft des Verfahrens, und 100 Durchläufe sind noch keine lange Frist.

$σ_{M} = N C (1 - C) = 2.179 misses on E [M] = 5$

Lernpfad

Von Zählwerten zu Kurven

Quellen (1)

The paper that defined the confidence interval, and was careful about what the 95% is a statement about: J. Neyman, "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability." Philosophical Transactions of the Royal Society A 236(767), 333–380, 1937.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Mittelwert 95% - Konfidenzintervall für den Mittelwert bei 95% Konfidenz mit n=30, sd=15
Mittelwert 99% - Höhere Konfidenz verbreitert das Intervall, selbst bei größerem n
Anteil 95% - Konfidenzintervall für einen Anteil bei moderater Zustimmung und großer Stichprobe
Anteil 99% - Schätzung eines seltenen Anteils mit hoher Konfidenz