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Poisson-Verteilungs-Explorer

Erkunde die Poisson-Verteilung — sieh, wie sich seltene Ereignisse verteilen und wie die Binomialverteilung gegen die Poisson-Verteilung konvergiert.

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Eine Zahl legt Mitte und Streuung zugleich fest 🖖

Poisson hat einen einzigen Parameter, also sind Mittelwert und Varianz dieselbe Zahl. Du kannst die Verteilung nicht verbreitern, ohne sie zugleich nach rechts zu schieben – es gibt keinen Breitenregler, und das Werkzeug bietet auch keinen, weil die Mathematik keinen hat. Lade die Voreinstellung „selten“ mit λ = 0,5, und die Standardabweichung ist √0,5 = 0,707, der Modus klebt bei null; lade „normal“ mit λ = 10, und sie beträgt √10 = 3,162, während die Form nahezu symmetrisch geworden ist – denn die Schiefe ist genau 1/√λ. Diese Starrheit ist zugleich ein Diagnosewerkzeug: Echte Zähldaten, deren Varianz deutlich über dem Mittelwert liegt, sind überdispers und sagen dir, dass Poisson das falsche Modell ist und nicht bloß schlecht angepasst.

Viele winzige Chancen werden zu einer sauberen Kurve 🖖

Stell dir eine riesige Zahl unabhängiger Gelegenheiten vor, bei denen jeweils nur mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit etwas geschieht: Tippfehler auf einer Seite, Blitzeinschläge in einem Landkreis, Fehler in einer Fertigungslinie. Wirf eine Münze n-mal, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit p beträgt. Lässt du n wachsen und zugleich p so weit schrumpfen, dass n × p = λ konstant bleibt, geht die Binomialverteilung stetig in die Poisson-Verteilung über. Blende hier die Poisson-Kurve ein, erhöhe n und beobachte, wie sich die kantigen Balken der Binomialverteilung an die Kurve anschmiegen. Viele Versuche mit jeweils winziger Erfolgswahrscheinlichkeit: Genau dann liefert Poisson die praktische Abkürzung.

Tod durch Pferdetritt und das Gesetz der kleinen Zahlen 🖖

1898 untersuchte der Statistiker Ladislaus Bortkiewicz die Todesfälle durch Pferdetritte in 10 preußischen Armeekorps über einen Zeitraum von 20 Jahren. Die jährlichen Fallzahlen, meist 0, gelegentlich 1 oder 2 und nur selten mehr, entsprachen nahezu vollkommen einer Poisson-Verteilung mit λ ≈ 0.61. Bortkiewicz nannte dieses Muster das Gesetz der kleinen Zahlen. Poisson hatte die Verteilung sechzig Jahre zuvor in einem Buch über die Wahrscheinlichkeit gerichtlicher Urteile hergeleitet. Bortkiewicz zeigte, dass dieselbe Mathematik auch seltene Unglücksfälle beschreibt. Elf Jahre später nutzte Erlang sie zur Berechnung des Telefonverkehrs.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Ein Prozess mit durchschnittlich 3 Ereignissen pro Intervall, der genau 3 erzielt 5 Schritte

    Ein Prozess weist im Durchschnitt 3 Ereignisse pro Intervall auf. Berechnen Sie, wie oft man mindestens 3 erhält und anschließend, wie oft man exakt 3 erhält. Die beiden Antworten liegen weiter auseinander, als die meisten erwarten, und die zweite ist der Grund, warum Mittelwerte irreführen.

    1. Die Poisson-Wahrscheinlichkeit für k Ereignisse lautet λᵏe^(−λ)/k!. Alles auf dieser Seite ergibt sich aus diesem einen Ausdruck und dem einzigen Parameter λ.

    2. Berechnen Sie die drei kleinsten Fälle. e^(−3) = 0,049787 ist die Wahrscheinlichkeit für ein völlig leeres Intervall, und sie ist nicht vernachlässigbar — bei einem Prozess mit durchschnittlich drei Ereignissen bleibt eines von zwanzig Intervallen komplett leer.

    3. Mindestens 3 ist das Gegenereignis zu höchstens 2; addieren Sie also die drei eben berechneten Wahrscheinlichkeiten und subtrahieren Sie von 1.

    4. Exakt 3 — der Erwartungswert, der Modus, die einzeln wahrscheinlichste Anzahl — tritt in 22,4 % der Fälle ein. In vier von fünf Fällen erhält man etwas anderes.

    5. Dieses Werkzeug besitzt keinen Regler für die Breite, da die Mathematik keinen Breitenparameter kennt: Erwartungswert und Varianz sind dieselbe Zahl. Legt man die Rate fest, ist die Streuung bereits bestimmt, nämlich σ = √3 = 1,732.

    Antwort

    Das Tool zeigt für mindestens 3 den Wert 57,681 % an; Mittelwert und Varianz betragen jeweils 3. Setzt du k = 3, ergeben sich für genau 3 Ereignisse 22,4 %. Auf diesen Zusammenhang kommt es an: „im Mittel 3“ heißt nicht „meistens 3“. Die Verteilung ist um 3 zentriert, nimmt aber in mehr als drei Vierteln der Fälle einen anderen Wert an; in einem Zwanzigstel der Fälle tritt gar kein Ereignis ein. Eine Station mit durchschnittlich drei Aufnahmen pro Stunde erlebt alle zwanzig Stunden eine Stunde ganz ohne Aufnahme und doppelt so häufig eine Stunde mit fünf Aufnahmen. Wer das Personal am Mittelwert ausrichtet, plant für einen Fall, der nur einmal in fünf Stunden eintritt.

Lernpfad

Von Zählwerten zu Kurven

Führt zu Normalverteilung den ersten Grenzwert: Halte np konstant, lass n wachsen und p schrumpfen.

Quellen (2)
  • The horse-kick data in the third block: L. von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen. B. G. Teubner, Leipzig, 1898.
  • The Poisson limit of the binomial, and why variance equals the mean: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd ed., ch. VI. Wiley, 1968. ISBN 978-0-471-25708-0.

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Beispielaufgaben

  • Typisch λ=5 - Bei λ = 3 hat die Verteilung zwei gleich hohe Modalwerte: Sowohl 3 als auch 2 Ereignisse haben die Wahrscheinlichkeit 0,2240. Bei einem ganzzahligen Mittelwert sind die beiden benachbarten Werte gleich wahrscheinlich. Verschiebst du λ ein wenig, wird einer von ihnen zum eindeutigen Maximum.
  • Seltene Ereignisse - Bei λ = 0,5 ist 0 der wahrscheinlichste Wert; seine Wahrscheinlichkeit beträgt 0,6065. Durchschnittlich ein halbes Ereignis pro Intervall bedeutet nicht, dass jemals ein halbes Ereignis eintritt. Die meisten Intervalle bleiben leer.
  • Binomial→Poisson - Bei 20 Binomialversuchen mit p = 0,25 gilt np = 5, genau wie bei dieser Poisson-Verteilung. Erhöhst du die Zahl der Versuche und hältst dabei dieses Produkt konstant, schmiegen sich die kantigen Balken an die glatte Kurve an. Als diese Grenzverteilung wurde die Poisson-Verteilung hergeleitet.
  • Großes λ→Normal - Bei λ = 10 beträgt die Standardabweichung √10 = 3,162 und die Schiefe 1/√10 = 0,316; die Verteilung ist damit nahezu symmetrisch. Selbst am Maximum hat der wahrscheinlichste Einzelwert nur die Wahrscheinlichkeit 0,1251. Bei einer breiten Verteilung ist kein einzelner Wert besonders wahrscheinlich.