Poisson-Verteilungs-Explorer

Die Poisson-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von unabhängigen Ereignissen in einem festen Intervall: P(X=k) = (λ^k * e^{-λ}) / k!, wobei λ die durchschnittliche Rate ist. Sie setzt voraus, dass Ereignisse unabhängig und mit konstanter Rate eintreffen (z. B. radioaktiver Zerfall).

Stellen Sie sich sehr viele unabhängige Gelegenheiten vor, jede für sich höchst unwahrscheinlich - Tippfehler auf einer Seite, Blitzeinschläge in einem Landkreis, Fehler in einer Produktionslinie. Wirft man eine Münze n-mal mit Erfolgswahrscheinlichkeit p und lässt n groß werden, während p schrumpft, sodass n × p = λ konstant bleibt, geht die Binomialverteilung fließend in die Poisson-Verteilung über. Schalten Sie hier die Überlagerung ein, erhöhen Sie n und beobachten Sie, wie sich die zackigen Binomialbalken auf die Poisson-Kurve legen. Fazit: Bei vielen Versuchen mit je winziger Chance ist Poisson die Abkürzung.

1898 untersuchte der Statistiker Ladislaus von Bortkiewicz Todesfälle durch Pferdetritte in 10 preußischen Armeekorps über 20 Jahre. Die jährlichen Zahlen - meist 0, gelegentlich 1 oder 2, selten mehr - passten fast perfekt zu einer Poisson-Verteilung mit λ ≈ 0,61. Er nannte dieses Muster das Gesetz der kleinen Zahlen. Es zeigte eindrucksvoll, dass eine für Physik und Telefonverkehr gedachte Verteilung auch seltene Unglücksfälle beschreibt - bis heute ein Lehrbuchbeleg dafür, dass Poisson die reale Welt trifft.