Binomialverteilungs-Explorer

Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen an: P(X=k) = nCr * p^k * (1-p)^{n-k}. Bei großem n nähert sich die Verteilung der Normalverteilung (Satz von de Moivre-Laplace) oder der Poisson-Verteilung (bei kleinem p), was als Grundstein der Statistik dient.

Stell dir vor, du wirfst dieselbe gezinkte Münze n-mal und zählst einfach, wie oft Kopf fällt. Diese Anzahl ist eine binomialverteilte Zufallsgröße: Jeder Wurf ist unabhängig, und jeder hat dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p. Mit dem Tool verschiebst du n und p und siehst, wo sich die Wahrscheinlichkeit häuft. Dein bester Einzeltipp für die Zahl der Erfolge ist der Erwartungswert np — 20 Würfe einer fairen Münze zentrieren sich also auf 10-mal Kopf.

Das „binomial" in Binomialverteilung ist dasselbe wie im binomischen Lehrsatz der Algebra. Entwickelt man (p + q)n mit q = 1 − p, entstehen genau die Terme nCk · pk · qn−k — die Wahrscheinlichkeiten für jedes k. Da (p + q) = 1 gilt, ist die Entwicklung gleich 1n = 1, weshalb sich die Wahrscheinlichkeiten zu eins summieren müssen. Die Koeffizienten nCk sind buchstäblich die Zeilen des Pascalschen Dreiecks.