正規分布エクスプローラー

平均とばらつきを定め、好きな範囲を塗って、値がそこに入る確率を読み取りましょう。

初期値 — 正規分布エクスプローラー

平均 (μ)	0
標準偏差 (σ)	1
x₁（下限）	-1
x₂（上限）	1

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

68–95–99.7ルール 🖖

これらの割合は、丸めた概算ではありません。ガウス積分から直接得られる値で、e^(−z²/2) のグラフの下で、平均からそれぞれ ±1、±2、±3 標準偏差の範囲が占める面積です。下の誤差関数による計算も、まさにこの値を求めています。

物理学では、発見の判定基準にもこの尺度が使われます。2012年のヒッグス粒子発見の発表で求められたのは 5σ の証拠でした。片側検定で偽陽性となる確率は、およそ3.5百万回に1回です。統計的な揺らぎではなく真の信号だと認めるには、それほど高い基準を超えなければなりません。

この法則から、大規模なデータでは「起こりそうにない」事象も珍しくないことがわかります。独立な測定を百万回行えば、偶然だけで約63回が ±4σ の外側に入ると見込まれますが、±5σ を超えるものは1回未満です。発見の基準が四シグマではなく五シグマに置かれる最大の理由は、この差にあります。三シグマの結果が後に消えてしまう例を、この分野がすでに何度も経験してきたことも無関係ではありません。

高さではなく面積が答え 🖖

ベル曲線が表すのは確率そのものではなく、確率の密度です。したがって、ある一点での曲線の高さは確率ではありません。高さを比べれば値どうしの起こりやすさがわかり、高さが二倍なら、xの単位幅あたりの起こりやすさも二倍です。ただし、値がその一点にぴたりと一致する確率はゼロです。大切なのは面積です。x₁からx₂までの網掛け部分の面積が、値がその範囲に入る確率を表します。曲線全体の下の面積は常にちょうど1です。μを動かすと頂点が左右へ移り、σを大きくすると曲線は低く、幅広くなります。それでも全体の面積は変わりません。

紙幣に描かれた釣鐘曲線 🖖

この曲線は、紙幣に印刷されるほど有名でした。1991年から2001年まで流通したドイツの10マルク紙幣には、カール・フリードリヒ・ガウスとともに、この曲線と式f(x)が描かれています。ガウスは天文観測の測定誤差をモデル化するなかで理論を洗練させました。そのため、この曲線は誤差曲線とも呼ばれます。しかし、その形をすでに1733年に導いていたのは、ガウスが生まれる数十年前のアブラーム・ド・モアブルでした。「発見者本人の名が付くものはない」と皮肉るスティグラーの法則、その教科書どおりの例です。

全プロセスの詳細解説

μ = 170 cm でランダムに選ばれた2人の大人 5 ステップ
ランダムに選ばれた2人の成人はどれくらい離れているでしょうか？ これは身長の設定です：μ = 170 cm、σ = 10 cm であり、陰影のついた帯は x₁ = 160 から x₂ = 180 cm まで伸びています。
1. 標準化によってセンチメートルが標準偏差に変換されます。これは標準正規分布表が受け付ける唯一の単位です。この帯は平均の両側にちょうど 1 σ ずつ広がっています。
  
  $z_{1} = \frac{160 - 170}{10} = - 1, z_{2} = \frac{180 - 170}{10} = + 1$
2. 曲線は平均に関して対称であるため、−1 未満の面積は +1 超の面積と等しく、陰影のついた中央部分は残りの領域となります。正規分布表の値を 1 つ使うだけで、計算全体が完了します。
  
  $P = Φ (1) - Φ (- 1) = 2Φ (1) - 1 = 2 (0.8413) - 1 = 0.6827 = 68.3%$
3. ここで問いを変えてみましょう。1 人と平均値を比較するのではなく、2 人を互いに比較します。独立な量については、量を引き算する場合であっても分散は足し合わされるため、差の広がりはどちらか一方の身長の広がりよりも大きくなります。
  
  $D = X_{1} - X_{2} : E [D] = 0, Var (D) = σ^{2} + σ^{2} ⟹ σ_{D} = 102 = 14.142 cm$
4. したがって、2 人の間の 10 cm の差は D の標準偏差のわずか 0.71 倍にすぎません。同じ 10 cm が、1 人にとっては丸々 1 標準偏差であったのとは対照的です。
  
  $P (∣ D ∣ \leq 10) = 2Φ (\frac{10}{14.142}) - 1 = 2Φ (0.7071) - 1 = 2 (0.7603) - 1 = 52.1%$
5. その同じ差の分布の裾の遠い部分は、ペアが著しく異なって見える確率を示しています。
  
  $P (∣ D ∣ \geq 20) = 2 [1 - Φ (1.4142)] = 2 (0.0787) = 15.7% \approx \frac{1}{6}$
解答

成人の 68.3% は 160 から 180 cm の間に収まり、180 cm を超える 15.9% は、ツールの Φ(z₂) = 84.1% （180 cm 未満）を取り除いた残りにあたります。2 人の成人の差の広がりは 10√2 = 14.142 cm であり、全ペアのうち差が 10 cm 未満であるのはわずか半分程度（52.1%）にとどまる一方、およそ 6 ペアに 1 ペアは 20 cm 以上の差があります。これら 2 つの「6 回に 1 回」という数値は同じ事実ではなく、区別する価値があります。1 人の身長が平均を 10 cm 超えるのがおよそ 6 回に 1 回であり、1 つのペアの差が 20 cm を超えるのもおよそ 6 回に 1 回です。分布に記された σ は平均からの距離を測定するものですが、実際に目にする違いは 2 回の抽出の間に生じるものであり、それは 1.414 倍広く分布します。

$σ_{X_{1} - X_{2}} = σ 2 = 1.414 σ$

学習の道すじ

個数から曲線へ

この次に中心極限定理

参考文献 (3)

Insight block 1 — the 5σ bar, and the announcement that had to clear it: ATLAS Collaboration, "Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC." Physics Letters B 716(1), 1–29, 2012.
CMS Collaboration, "Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC." Physics Letters B 716(1), 30–61, 2012.
Insight block 3 — the law that says the curve is misnamed: S. M. Stigler, "Stigler's Law of Eponymy." Transactions of the New York Academy of Sciences 39(1), 147–157, 1980.

42Math チーム · 更新 2026-08-17

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

標準正規分布 - 教科書の基本ケース — μ = 0、σ = 1。σ = 1 は、値が平均から典型的に約1単位ばらつくことを意味します。グラフは常にμ ± 4.5σ — ここでは−4.5から+4.5 — を表示し、分布の99.999%をカバーします。どの正規分布もこのスケールに変換できます。スライダーを動かして、μが曲線を左右にシフトし、σが引き伸ばしたり圧縮したりする様子を確認してください。
IQスコア - IQ検査は、母集団の平均が100、標準偏差が15になるよう標準化されています。この15は測定から自然に決まった値ではなく、尺度を定める際に選ばれたものです。そのため、適切に標準化された検査なら、どれを受けても同じ得点は同じ意味をもちます。平均から3標準偏差を超える得点、つまり55未満または145超は、実際にあり得ますがまれです。両側を合わせても、およそ370人に1人しか該当しません。±2σ に設定し、極端な得点がどれほど少ないか確かめてみましょう。
身長 - 多くの集団では、成人の身長は正規分布に近い分布を示します。教科書の定番例ですが、その説明は見かけほど単純ではありません。多数の遺伝子とさまざまな環境要因が少しずつ影響し、どれか一つだけが支配的になるわけではないからです。そのため、分布の中央部にはよく当てはまる一方、成長障害などの影響が現れる両端では当てはまりが悪くなります。グラフの範囲は125～215 cm（μ ± 4.5σ、すなわち170 ± 45）です。200 cmを超える人もいますが珍しく、およそ750人に1人です。網掛けした範囲（160～180 cm）は、多くの人が「平均的な身長」と考える区間です。
テスト成績 - クラスの平均点が65点の場合です。試験の得点は、正規分布が最も当てはまりにくい例の一つです。得点には上下限があり、合格点の近くに集中することも多いため、裾の部分は実態の記述というより計算上の近似にすぎません。グラフはおよそ11～119（μ ± 4.5σ、すなわち65 ± 54）の範囲を示し、100を超える部分まで続きます。正規曲線そのものには上限がないからです。ただし、100を超える裾は非常に低く、まれな結果を表しています。x1 と x2 を任意の得点範囲に合わせると、その割合を確認できます。