正規分布エクスプローラー
ベルカーブ確率 — ライブ対話型
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68–95–99.7ルール 🖖
すべての正規分布において、値の68.27%が平均から±1標準偏差以内に、95.45%が±2標準偏差以内に、99.73%が±3標準偏差以内に収まります。この固定された割合はμとσに関わらず成立し、ガウス関数のPDFを積分することで導かれます。このルールは統計の基盤です：z得点、信頼区間、p値、中心極限定理はすべてこの上に構築されています。
高さではなく面積が答え 🖖
釣鐘曲線が表すのは確率そのものではなく確率密度なので、一点の高さはほとんど何も語りません。重要なのは面積です。x₁ と x₂ に挟まれた影の帯は、値がその範囲に入る確率を表し、曲線全体が囲む面積は常にちょうど 1 になります。μ を動かせば山は左右に移動し、σ を大きくすると曲線は平たく広がりますが、この全体の面積は決して変わりません。
紙幣に描かれた釣鐘曲線 🖖
この曲線は紙幣に印刷されるほど有名でした。1991年から2001年まで流通したドイツの10マルク紙幣には、カール・フリードリヒ・ガウスとともに、まさにこの曲線と式 f(x) が描かれていました。彼が天文学の測定誤差をモデル化する中でこれを洗練させたことを思えば、ふさわしい図柄です。ところがアブラーム・ド・モアブルは、ガウス誕生の数十年前、1733年にすでにこの形を導いていました。真の発見者の名は決して残らないと皮肉る「スティグラーの法則」の典型例です。
例題
- 標準正規分布 - 教科書の基本ケース — μ = 0、σ = 1。σ = 1 は、値が平均から典型的に約1単位ばらつくことを意味します。グラフは常にμ ± 4.5σ — ここでは−4.5から+4.5 — を表示し、分布の99.999%をカバーします。どの正規分布もこのスケールに変換できます。スライダーを動かして、μが曲線を左右にシフトし、σが引き伸ばしたり圧縮したりする様子を確認してください。
- IQスコア - IQテストは集団平均が100になるよう設計されています — そしてσ = 15は、個人のIQスコアが平均から典型的に約15点ばらつくことを意味します。グラフはμ ± 4.5σ = 100 ± 67.5で、約33から168の範囲にわたります：±3σを超えるスコア（55未満または145超）は実在しますが稀で、約750人に1人です。±2σを試して、極端なスコアがどれほど珍しいかを確認してください。
- 身長 - 多くの集団の成人身長は正規分布に近く従います。σ = 10 cm は、個人の身長が平均から典型的に約10 cmばらつくことを意味します。グラフはμ ± 4.5σ = 170 ± 45で、125から215 cmの範囲にわたります — 200 cmを超える身長は実在しますが少なく、約750人に1人の割合です。シェードされた帯（160–180 cm）は、ほとんどの人が「平均的な身長」と呼ぶ範囲です。
- テスト成績 - 平均65点のクラスの結果です。σ = 12は、個人の得点が平均から典型的に約12点ばらつくことを意味します。グラフはμ ± 4.5σ = 65 ± 54で、約11から119の範囲にわたり、100を超えます — 正規曲線には固定の上限がなく、100を超える裾野は非常に平坦で稀な結果を表しています。x₁とx₂を任意の得点帯に調整して、何%の生徒がその範囲に入るかを確認してください。