信頼区間計算機

ライブ数式による平均・比率の区間計算

初期値 — 信頼区間計算機

標本平均 (x̄)	100
標本標準偏差 (s)	15
標本比率 (p̂)	0.5
標本サイズ (n)	30

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インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

エラーバーが重なっていても「差がない」ことにはならない 🖖

2 つの区間を描き、重なっているのを見て、この 2 つは区別できないと結論する。よくある手つきですが、この検定は見た目よりずっと厳しいものです。2 つの 95 % 区間が重ならなくなるのは、推定値が 3.92 標準誤差だけ離れてからで、その隔たりにおける差の p 値は 0.0056 です。0.05 水準での本当の有意性はもっと早く、2.77 標準誤差で訪れます。この 2 つの数のあいだには幅 1.15 標準誤差、道のりのほぼ 3 分の 1 にあたる帯があり、そこでは区間が目に見えて重なっているのに差は有意です。つまり目に見える隙間を要求することは、およそ p < 0.006 の検定に相当します。当てているつもりだった 0.05 の約 9 倍厳しく、本物の効果を見落とすのに格好の方法です。

1つの値より範囲が優れる 🖖

標本から測った平均や割合が真の値にぴったり一致することはまずないため、このツールは1つの数値ではなく範囲を返します。誤差の範囲は推定値に付く「プラスマイナス」です。正直なトレードオフとして、同じデータでも99%区間は90%区間より広くなります。確信度を上げると精度は下がるので、判断に本当に必要な水準を選びましょう。

「±3ポイント」の正体 🖖

割合の標準誤差は √(p(1−p)/n) で、p(1−p) はちょうど p = 0.5 で最大(値 0.25)になります。世論調査ではこれを最悪ケースとして 50/50 を仮定し、95% の誤差はおよそ 0.98/√n になります。n = 1000 を入れると約 ±3.1% — おなじみの調査の数字です。全国調査が ~1000 人を超えて増えにくいのもこのためで、±1.5% にするには4倍の標本が必要になります。

信頼区間 — 何を推定し、どれだけ確かでありたいのか

あなたはどの信頼区間のケースにいますか？

どの区間も形は同じです。推定値に、誤差の幅を足し引きする。変わるのは幅がどこから来るかだけ。平均を推定するなら標準誤差は s/√n、割合を推定するなら √(p(1−p)/n) です。次に信頼水準が倍率を選び、標本の大きさがその倍率の代償を決めます。この三つの選択がこの話題のすべてです。

平均を 95 % で — 既定の場合と、その 95 が指しているもの x̄ ± z·s/√n

信頼水準を上げる — 同じデータで区間が広くなる z: 1.96 → 2.576 (+31%)

割合の場合 — 標準誤差は p 自身から出てくる SE = √(p(1−p)/n)

まれな割合 — p が小さく、近似がきしみはじめる np > 5, n(1 − p) > 5

平均を 95 % で — 既定の場合と、その 95 が指しているもの

わかっていること: 標本平均と、その標準偏差と大きさ。幅は z·s/√n で、95 % のときの倍率は 1.96 です。

誤差の幅: x̄ ± z·s/√n

計算例: x̄ = 100、s = 15、n = 30 → 標準誤差 2.739、幅 5.368、区間は 94.63 から 105.37

このケースを開く: 平均 95%

平均を 95 % で — 既定の場合と、その 95 が指しているもの. 推定値が中心にあり、その両側に標準誤差 1.96 個ぶんの幅が伸びています。標本平均と、その標準偏差と大きさ。幅は z·s/√n で、95 % のときの倍率は 1.96 です。 — 推定値が中心にあり、その両側に標準誤差 1.96 個ぶんの幅が伸びています。

信頼水準を上げる — 同じデータで区間が広くなる

わかっていること: 同じ種類の推定を 99 % で。倍率は 1.96 から 2.576 に上がるので、標本は何も変わっていないのに区間は 31 % 広がります。

誤差の幅: z: 1.96 → 2.576 (+31%)

計算例: x̄ = 72、s = 12、n = 64 → 標準誤差 1.5、幅 3.864、区間は 68.14 から 75.86

このケースを開く: 平均 99%

信頼水準を上げる — 同じデータで区間が広くなる. 同じデータで信頼水準だけを上げると、中心は動かず幅だけが伸びます。同じ種類の推定を 99 % で。倍率は 1.96 から 2.576 に上がるので、標本は何も変わっていないのに区間は 31 % 広がります。 — 同じデータで信頼水準だけを上げると、中心は動かず幅だけが伸びます。

割合の場合 — 標準誤差は p 自身から出てくる

わかっていること: 平均ではなく割合を推定します。別に測るばらつきはありません。SE = √(p(1−p)/n)。はい・いいえの結果では分散が p だけで決まるからです。

誤差の幅: SE = √(p(1−p)/n)

計算例: p = 0.42、n = 800 → 標準誤差 0.0174、幅 0.0342、区間は 0.386 から 0.454。誤差の幅 3.4 ポイントの世論調査です

このケースを開く: 比率 95%

割合の場合 — 標準誤差は p 自身から出てくる. 区間は観測された割合を中心に対称で、幅は p と n だけで決まります。平均ではなく割合を推定します。別に測るばらつきはありません。SE = √(p(1−p)/n)。はい・いいえの結果では分散が p だけで決まるからです。 — 区間は観測された割合を中心に対称で、幅は p と n だけで決まります。

まれな割合 — p が小さく、近似がきしみはじめる

わかっていること: 小さな割合を高い信頼水準で推定する場合。絶対値では区間は狭いのに、p 自身と比べると広くなります。

誤差の幅: np > 5, n(1 − p) > 5

計算例: p = 0.08、n = 1200、99 % → 標準誤差 0.0078、幅 0.0202、区間は 0.060 から 0.100

このケースを開く: 比率 99%

まれな割合 — p が小さく、近似がきしみはじめる. 絶対値では狭い区間ですが、両側それぞれが推定値の 4 分の 1 ほどの広さです。小さな割合を高い信頼水準で推定する場合。絶対値では区間は狭いのに、p 自身と比べると広くなります。 — 絶対値では狭い区間ですが、両側それぞれが推定値の 4 分の 1 ほどの広さです。

全プロセスの詳細解説

n = 30での95%信頼区間の見込み 5 ステップ
95%信頼区間における95という数値は、実際には何を保証しているのだろうか。これは信頼水準95%のもとでx̄ = 100、s = 15、n = 30とした平均の信頼区間である。
1. 信頼区間は標本平均を中心として構築されるが、標本平均自体が確率的に変動する。研究を繰り返せば、異なる値へと到達する。そのばらつきはデータのばらつきを√nで縮小したものであり、標本サイズを大きくすることで精度が向上する理由はこれ以外にない。
  
  $SE = \frac{s}{n} = \frac{15}{30} = \frac{15}{5.4772} = 2.7386$
2. 両側95%区間では左右の裾にそれぞれ2.5%を残すため、乗数には下側確率が97.5%となる標準正規分布の値を用います。15は30個の観測値から求めた標本標準偏差なので、教科書に忠実な選択はt₂₉ = 2.045です。このパネルでは大標本近似であるzを用いており、区間の両端はそれぞれ約4分の1単位ずれます。
  
  $z^{*} = Φ^{- 1} (\frac{1 + C}{2}) = Φ^{- 1} (0.9750) = 1.9600$
3. この係数は標準誤差を測定時の単位へと変換し、信頼区間は推定値の両側にその距離だけ広がる。
  
  $ME = z^{*} SE = 1.9600 \times 2.7386 = 5.3677 ⟹ [94.6323, 105.3677]$
4. 95%という数値は作成手順の性質を表すものであり、この区間そのものを表すのではない。この区間は真の平均を含んでいるか含んでいないかのどちらかであり、データ内の情報からそのどちらであるかを知ることはできない。研究全体を100回繰り返すと、個々の区間は5%の確率で外れる独立した的中か外れかの試行となり、外れの回数は固定された5回という割り当てではなく、二項分布に従う個数となる。
  
  $M \sim Bin (100, 0.05) : E [M] = 5, σ_{M} = 100 \times 0.05 \times 0.95 = 2.179$
5. 2.179のばらつきをもつカウントが異例と言えるのは、自身の平均からその約2倍を超えて離れた値をとったときだけである。
  
  $5 \pm 2 σ_{M} = [0.64, 9.36] M = 12 : z = \frac{12 - 5}{2.179} = 3.21$
解答

標準誤差2.7386と係数1.9600により許容誤差は5.3677となり、したがって区間は94.6323から105.3677まで広がる。覚えておくべき重要な部分は最後の2行である。この研究を100回繰り返したとき、外れの平均は5回であるが標準偏差2.179で散らばるため、1回から9回までの外れはごく普通のことである。外れが3回であってもその手法が慎重である証拠にはならず、8回であっても破綻している証拠にはならない。そのカウントが何らかの意味をもつには、標準偏差の3.21倍離れた約12回の外れが必要となる。緑と赤の区間の帯はその実験をまさに視覚化したものであり、見ているときに毎回その的中率が95を示すわけではない。信頼水準とは手順の長期的な性質であり、100回の試行は長期とは言えない。

$σ_{M} = N C (1 - C) = 2.179 misses on E [M] = 5$

学習の道すじ

個数から曲線へ

参考文献 (1)

The paper that defined the confidence interval, and was careful about what the 95% is a statement about: J. Neyman, "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability." Philosophical Transactions of the Royal Society A 236(767), 333–380, 1937.

42Math チーム · 更新 2026-08-17

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例題

平均 95% - n=30、標準偏差15における、信頼度95%の平均の信頼区間
平均 99% - 信頼度を高くすると、nが大きくても区間は広がる
比率 95% - 中程度の支持率と大きな標本サイズにおける比率の信頼区間
比率 99% - 稀な比率を高い信頼度の区間で推定する