ポアソン分布エクスプローラー

ポアソン分布を探索 — 稀な事象がどのように分布するか、また二項分布がどのようにポアソン分布に収束するかを見てみましょう。

計算例 — ポアソン分布エクスプローラー

補集合	57.681%
平均 (λ)	3
分散 (λ)	3

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

たった一つの数が中心と広がりを同時に決める 🖖

ポアソン分布のパラメータは一つだけなので、平均と分散は同じ数になります。分布を右へずらさずに広げることはできません。幅を決めるつまみは存在せず、ツールがそれを用意していないのは、数学の側にそれが無いからです。「まれ」のプリセット λ = 0.5 を読み込めば標準偏差は √0.5 = 0.707、最頻値はゼロに張りついたまま。「正規的」の λ = 10 なら √10 = 3.162 となり、形はほぼ左右対称になります。歪度がちょうど 1/√λ だからです。この硬さはそのまま診断にも使えます。実際の計数データで分散が平均を大きく上回るなら、それは過分散であり、ポアソンが当てはまりの悪いモデルなのではなく、そもそも間違ったモデルだと告げているのです。

無数の小さな確率が一本の滑らかな曲線になる 🖖

互いに独立した機会が無数にあり、一つひとつが起こる確率はごく小さい。ページ上の誤植、ある地域への落雷、製造工程の不良などがその例です。成功確率を p としてコインを n 回投げるとしましょう。n × p = λ を一定に保ったまま n を大きくし、p を小さくしていくと、二項分布はしだいにポアソン分布へ近づきます。ここで重ね表示を切り替え、n を増やしてみてください。ぎざぎざした二項分布の棒が、ポアソン分布の曲線に重なっていきます。試行回数が多く、個々の確率が小さいときこそ、ポアソン分布が威力を発揮します。

馬に蹴られた死とポアソンの少数の法則 🖖

1898年、統計学者ラディスラウス・ボルトキエヴィチは、プロイセン陸軍の10個軍団で20年間に起きた馬の蹴傷による死亡事故を調べました。年間の死亡者数は大半が0、ときおり1または2、それを超えることはまれで、λ ≈ 0.61 のポアソン分布にほぼ完全に一致しました。彼はこの規則性を小数の法則と名づけます。ポアソンがこの分布を導いたのは、その六十年前。裁判の評決が正しく下される確率を論じた著書の中でした。ボルトキエヴィチは、同じ数理が偶発的な事故にも働くことを示したのです。さらに十一年後、アーランは電話の呼量を扱うためにこれを応用しました。

全プロセスの詳細解説

1区間平均3回のプロセスにおける正確に3回の発生 5 ステップ
あるプロセスでは、1 区間あたり平均 3 件の事象が発生する。少なくとも 3 件発生する頻度を求め、次にちょうど 3 件発生する頻度を求めよ。この 2 つの答えの隔たりは多くの人の予想以上に大きく、後者の結果こそが平均値に惑わされる理由を示している。
1. k 件の事象が発生するポアソン確率は λᵏe^(−λ)/k! である。本ページにおけるすべての計算は、この 1 つの数式と単一のパラメーター λ から導かれる。
  
  $P (X = k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}, λ = 3$
2. 最も小さい 3 つのケースを計算してみよう。e^(−3) = 0.049787 は事象がまったく発生しない（空の）区間の確率であり、これは無視できる値ではない。平均 3 件が発生するプロセスにおいて、20 区間に 1 回は何も起きないのである。
  
  $P (0) = e^{- 3} = 0.049787, P (1) = 3 e^{- 3} = 0.149361, P (2) = 4.5 e^{- 3} = 0.224042$
3. 「少なくとも 3 件」は「高々 2 件」の余事象であるため、計算したばかりの 3 つの確率を足し合わせ、1 から差し引く。
  
  $P (X \geq 3) = 1 - (0.049787 + 0.149361 + 0.224042) = 1 - 0.423190 = 0.576810$
4. 「ちょうど 3 件」――平均値であり最頻値、最も発生しやすい単一の件数――が起こる確率は 22.4% である。つまり 5 回中 4 回はそれ以外の件数になる。
  
  $P (X = 3) = \frac{27}{6} e^{- 3} = 0.224042 = 22.4%$
5. このツールには幅を調節するコントロールがない。数学的に幅を表すパラメーターが存在せず、平均と分散が同じ値になるからである。発生率を固定すれば広がり具合は自ずと決定され、σ = √3 = 1.732 となる。
  
  $μ = σ^{2} = λ = 3 ⟹ σ = 3 = 1.732$
解答

ツールでは、平均と分散をともに3とすると、3以上となる確率は57.681%と表示されます。k = 3 に設定すれば、ちょうど3となる確率は22.4%です。ここで押さえたいのは、この二つの結果の組み合わせです。「平均が3」というのは「たいてい3」という意味ではありません。分布の中心は3にありますが、実際には四分の三を超える割合で3以外の値をとり、二十分の一は0です。一時間あたり平均三件の入院がある病棟では、二十時間に一度は入院が一件もなく、五件ある時間はその二倍の頻度で訪れます。平均に合わせた人員配置は、五回に一回しか起こらない結果に合わせた配置なのです。

$P (X \geq 3) = 57.681% but P (X = 3) = 22.4%; μ = σ^{2} = λ$

学習の道すじ

個数から曲線へ

参考文献 (2)

The horse-kick data in the third block: L. von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen. B. G. Teubner, Leipzig, 1898.
The Poisson limit of the binomial, and why variance equals the mean: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd ed., ch. VI. Wiley, 1968. ISBN 978-0-471-25708-0.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。