中心極限定理エクスプローラー

これは、平均化が本質的に繰り返しの畳み込みであり、ある分布を十分な回数だけ自分自身と畳み込むと、その個々の特徴が滑らかになるためだ——歪みや多峰性の山は広がりよりも速く減衰するため、残るものは出発点にかかわらずますますガウス分布に近づいていく。唯一の本当の条件は分散が有限であることであり、一様分布、指数分布、二峰性の双峰分布はいずれも、抽出を十分に平均化すれば同じ釣鐘曲線へと引き寄せられる——ただし速度は異なる。だからこそ n=30 は正確な閾値ではなく、統計学の非公式な経験則になったのだ。

抽出を重ねるほど、平均値のヒストグラムは滑らかになるだけでなく、幅も狭くなります。そのばらつきは標準誤差 σ/√n で表され、精度は標本サイズの平方根でしか向上しません。幅を半分にするには n を4倍にする必要があります。これがこの定理の実用的な核心です。標本を大きくすれば平均をより正確に絞り込めますが、その効果は次第に小さくなります。

この定理は分散が有限であることを暗黙に仮定していますが、有名な無法者がそれを破ります。2つの標準正規分布の比であるコーシー分布です。100万回のコーシー抽出を平均しても、結果は1回の抽出とまったく同じコーシー曲線に従い、釣鐘型は決して現れず、データを増やしても無意味です。その裾は非常に重く、たった1つの巨大な値がどれほど大きな平均でも支配してしまうのです。