中心極限定理エクスプローラー

標本平均が釣鐘型になる様子を観察する

初期値 — 中心極限定理エクスプローラー

元の分布	一様分布
標本サイズ (n)	30
自動速度	12
ヒストグラムの区間	34
指数分布の率	1
双峰の分離度	2

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

奇妙な分布からでも平均が正規分布に近づく理由 🖖

標本平均が正規分布に近づくのは、平均を取る操作が、尺度の調整を除けば畳み込みの繰り返しだからです。同じ分布を何度も畳み込むと、その分布特有の癖はならされていきます。幅を揃えれば、広がりは保たれたまま、歪みや山の凹凸がしだいに小さくなるため、もとの分布が何であっても形はガウス分布に近づきます。本質的な条件は、分散が有限であることだけです。一様分布も指数分布も二峰性分布も、速さこそ違いますが、同じ釣鐘形へ引き寄せられます。だから n = 30 は厳密な境界ではなく、統計学で便宜的な目安として定着したのです。

収縮を支える平方根の法則 🖖

抽出を重ねるほど、平均値のヒストグラムは滑らかになるだけでなく、幅も狭くなります。そのばらつきは標準誤差 σ/√n で表され、精度は標本サイズの平方根でしか向上しません。幅を半分にするには n を4倍にする必要があります。これがこの定理の実用的な核心です。標本を大きくすれば平均をより正確に絞り込めますが、その効果は次第に小さくなります。

定理を破る分布 🖖

この定理は分散が有限であることを暗黙に仮定していますが、有名な無法者がそれを破ります。2つの標準正規分布の比であるコーシー分布です。100万回のコーシー抽出を平均しても、結果は1回の抽出とまったく同じコーシー曲線に従い、釣鐘型は決して現れず、データを増やしても無意味です。その裾は非常に重く、たった1つの巨大な値がどれほど大きな平均でも支配してしまうのです。

全プロセスの詳細解説

[0, 1]上の一様分布におけるn = 30の法則 5 ステップ
「n = 30 のルール」とは、実のところ何に関するルールなのだろうか？ これは初期状態であり、サンプルサイズ n = 30 における [0, 1] 上の一様分布の母集団を示している。
1. 一様分布の母集団は [0, 1] 上で平坦であるため、その平均は中央に位置し、分散は 2 次モーメントから平均の 2 乗を引いたものとなる。以下に示す数値はすべて、この関係から導かれる。
  
  $μ = \frac{1}{2}, σ^{2} = \int_{0}^{1} x^{2} d x - μ^{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}, σ = \frac{1}{12} = 0.288675$
2. 標準誤差は分散のみから決まり、それ以外の要素には依存しない。母集団が対称であることや釣鐘型であること、あるいは n が大きいことを必要としない。公式は n = 1 でも n = 30 でも同様に厳密に成り立ち、利用している事実は「独立な確率変数の分散には加法性が成り立つ」ということだけである。
  
  $σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = \frac{0.288675}{30} = \frac{0.288675}{5.477226} = 0.052705$
3. したがって、分布の広がり（幅）は中心極限定理が扱う対象ではなかった。定理が扱うのは形状であり、傾き（歪み）の標準的な指標は歪度（skewness）である。独立な抽出における 3 次の中心モーメントも分散と全く同様に加法性を示し、歪度は軸の尺度変更を受けても変化しないよう設計されているため、この 2 つを組み合わせると、標本平均の傾きは 1/√n に比例して減少することが導かれる。
  
  $μ_{3} (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = n μ_{3}, σ (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = σ n ⟹ γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{n μ _{3}}{( σ n ) ^{3}} = \frac{γ _{1}}{n}$
4. ツールが用意している母集団は、それぞれ大きく異なる傾きから始まっている。一様分布の母集団には失うべき傾きがもともとないため、その標本平均は n = 1 を含むあらゆる n において対称となる。一方、指数分布の母集団は歪度 2 から始まり、n = 30 でもなお右に傾いている。
  
  $U (0, 1) : γ_{1} = 0 \Rightarrow γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = 0 \forall n; Exp (1) : γ_{1} = 2 \Rightarrow \frac{2}{30} = 0.3651$
5. 傾きが無視できるほど小さくなる条件を求めて、同じ関係を逆算してみよう。
  
  $\frac{2}{n} \leq 0.1 ⟹ n \geq 400$
解答

表に表示される母平均は0.5、標準誤差は0.052705です。この結果を再現するのに必要なのは、分散 1/12 だけでした。最後の三段階が示しているのは、この行の結果が中心極限定理によるものではないということです。標準誤差は、分散が有限なら、どの母集団分布でも任意の n に対して厳密に求まります。n を大きくすることで改善されるのは、分布の形です。

一様分布はもともと対称なので、n を 30 にしても歪みは改善しません。このページの初期設定では、経験則は何の役割も果たしていないのです。指数分布では n = 30 でも歪度が 0.365 残り、ヒストグラムにはまだ偏りが見えます。これを 0.1 未満にするには n = 400 が必要です。

三つのうち最も正規分布らしく見えない二峰性分布も、収束の速さは一様分布とほぼ同じです。これも対称なので、歪度はどの n でも 0。減少すべきなのは −1.28 の超過尖度で、1/√n ではなく 1/n に比例して小さくなり、n = 30 では −0.043 になります。一様分布では −0.040 です。この三つの値は表に行として示されないため、収束の様子を確かめられるのはヒストグラムだけです。

$σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = 0.052705, γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{1}}{n}, γ_{2} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{2}}{n}$

学習の道すじ

個数から曲線へ

この次に Zスコア

参考文献 (1)

Insight block 3 — why averaging Cauchy draws returns the same Cauchy curve: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 2, 2nd ed., ch. VI and XVII. Wiley, 1971. ISBN 978-0-471-25709-7 — stable laws, and the finite-variance condition the central limit theorem actually needs.

42Math チーム · 更新 2026-08-17

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

一様分布、n=5 - [0, 1] 上の一様分布の標準偏差は 0.2887 なので、5回の抽出による標本平均の標準誤差は 0.129 です。一様分布にはもともと歪みがなく、ヒストグラムもすでに対称です。n = 5 で足りないのは形ではなく、分布の狭さです。
一様分布、n=30 - 標本サイズを 6 倍にすると、精度は √6 倍になり、標準誤差は 0.129 から 0.0527 に下がります。それ以外は変わりません。一様分布では形が問題にならないため、この設定では n = 30 という目安はまったく働きません。
指数分布、n=30 - この分布は右に大きく歪み、歪度は 2 です。30回抽出しても、√30 で割った 0.365 が残るため、ヒストグラムにはまだ明らかな偏りが見えます。0.1 未満にするには、標本サイズ 400 が必要です。
双峰分布、n=30 - 山は二つありますが、収束の速さは一様分布とほぼ同じです。対称なので、歪度はどの n でも 0。減少すべき超過尖度は −1.28 で、1/√n ではなく 1/n に比例して小さくなり、30回の抽出で −0.043 に達します。