01
ちょうど k、しかも p = ½ — 対称なケース
わかっていること: 固定した n、各試行で同じ p、そして特定の回数についての問い。p = ½ なら棒は n/2 を中心に左右対称に並びます。
式: P(X = k) = C(n,k) pk(1−p)n−k
計算例: n = 10、p = 0.5、k = 5 → C(10,5)·0.5¹⁰ = 252/1024 = 0.2461
このケースを開く: 公平なコインを10回投げる
二項分布 — 本当に聞きたいのはどの問いか
あなたはどの二項分布のケースにいますか？
二項分布に必要なのは三つだけです。独立な試行の固定回数 n、そのすべてで同じ成功確率 p、そして回数 k。問題ごとに変わるのは問いの立て方 — ちょうど k か、k 以下か — と、p が分布に与える形だけです。この二つが決まれば、あとは機械的な計算にすぎません。
ちょうど k、しかも p = ½ — 対称なケース
P(X = k) = C(n,k) pk(1−p)n−k
k 以下 — 棒を足す、1 本だけ読まない
P(X ≤ k) = ∑i≤k P(X = i)
p が ½ から遠い — 分布が片側に傾く
μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋
試行が多く p が極小 — ポアソン極限
λ = np, P(X = k) ≈ e−λλk/k!
02
k 以下 — 棒を足す、1 本だけ読まない
わかっていること: 問われているのはしきい値であって、単独の回数ではありません。0 から k までの棒をすべて足します。単独の P(X = k) はまったく別の問いに答えています。
式: P(X ≤ k) = ∑i≤k P(X = i)
計算例: n = 40、p = 0.08、k ≤ 2 → P(X ≤ 2) = 0.3694。一方、単独の棒 P(X = 2) は 0.2100 にすぎません
このケースを開く: 品質管理の不良品
03
p が ½ から遠い — 分布が片側に傾く
わかっていること: 成功確率が片寄っている場合。山は np の近くに立ち、混み合う側の裾は n の境界に押し付けられます。
式: μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋
計算例: n = 25、p = 0.78、k = 20 → 0.1903。平均は np = 19.5、最頻値は ⌊(n+1)p⌋ = 20
このケースを開く: バスケットボールのフリースロー
04
試行が多く p が極小 — ポアソン極限
わかっていること: n が大きく、p が小さく、その積が控えめな値にとどまる場合。二項分布と λ = np のポアソン分布は小数第 2 位あたりまで一致します。
式: λ = np, P(X = k) ≈ e−λλk/k!
計算例: n = 60、p = 0.03 → λ = 1.8。厳密には P(X ≤ 1) = 0.4592、ポアソン分布では 0.4628
このケースを開く: まれな事象のプロセス
全プロセスの詳細解説
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p = 0.35での20回の試行におけるちょうど7回の成功 5 ステップ
p = 0.35 で 20 回の試行のうちちょうど 7 回成功。 これは n = 20、p = 0.35、k = 7 での PMF 表示です。バーをゼロから構築し、次に標準偏差のみからその高さをもう一度算出します。
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二項係数は、20 回の試行のうちどの 7 回が成功したかをカウントするものであり、現れる順序については何も考慮しません。分子に 7 個の因数、分母に 7! — この約分は一度手計算で行ってみる価値があります。
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試行が独立であり p が決して変動しないため、7 回の成功と 13 回の失敗のどの具体的な並びも同じ確率を持ちます。これらがその 2 つの構成要素です。
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並びの数に、そのうちの 1 つの並びの確率を掛け合わせます。2 つの確率因数を合わせると約 2.4 × 10⁻⁶ となるため、答えを 18% まで引き上げるには 77,520 個の並びすべてが必要となります。
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上側の裾は累積値の余事象ではありません。1 − 0.6010266 を計算すると、両方の裾に属する k = 7 を捨ててしまうことになります。ツールは P(X ≤ 7) と P(X ≥ 7) を出力しますが P(X ≤ 6) は表示しないため、その引き算は読者自身が行う必要があります。
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ここで階乗を破棄します。平均が 0 と n のどちらからも十分に離れている二項分布は、同じ標準偏差を持つ正規曲線の形状をとり、正規曲線のピークの高さは他の何にも依存しません。
解答
ツールは係数 77,520、P(X = 7) = 0.18440119、P(X ≤ 7) = 0.6010266、P(X ≥ 7) = 0.58337458、および σ = 2.133073 を出力します。ステップ 5 は σ のみから 0.18703 に達します。これは n も p も階乗も含まない式でありながら、わずか 1.4% 高いだけです。p を 0.35 に保持したまま n を大きくすると、その誤差は 1/n に比例します（n = 40 で 0.71%、n = 100 で 0.28%、n = 400 で 0.07%）。したがって、中央付近のすべてのバーを描くには μ と σ だけで十分であり、厳密な公式が真価を発揮するのは裾の部分だけです。k = 0 では同じ正規曲線が 4.7 倍高すぎ、k = 17 では 43% 低すぎます。中央部ではパーセンテージ誤差、端部では倍率誤差：これが、これから出会うあらゆる正規近似の姿です。
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np がわずか1.8となる3%での60回の試行 6 ステップ
このプリセットは 60 回の試行、確率 3%。パネルは P(X = 1) = 0.29840413 を与えます。最初の問題の正規近似はここでは役に立ちません——np はわずか 1.8 です。ほぼ厳密な別の極限があり、しかもそれは 2 つのパラメータの一方を完全に捨ててしまいます。
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まず厳密値、パネルそのままに。1 回の成功を置く 60 通り、掛ける成功 1 回、掛ける失敗 59 回。
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積 np を固定して λ と呼びます。極限を生き延びる量はこれだけです。
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二項係数を取ります。p を λ/n と書くと、下降階乗を nᵏ で割ったものは 1 に近づきます。各因子が「n から小さい数を引いたもの÷n」だからです。残るのは λᵏ ÷ k! です。
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失敗項は e の定義そのものです。(1 − λ/n) の n 乗は e^(−λ) に近づき、指数の余分な k は効かなくなります。
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2 つの半分を k = 1 で合わせます。
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そして誤差は「小さい」と主張するのではなく、測りましょう。
解答
厳密値 0.29840 に対して 0.29754——0.29% 低いだけ、しかも試行はたった 60 回です。ポアソン極限は λ = np を保ち、n と p を別々には忘れます。だからこそ、そもそも n を知りようがない状況を記述できるのです。交換台に届く電話、ゲノムあたりの変異、ページあたりの誤植。どれにも試行回数はなく、あるのは頻度だけ。そして誤差は 1/n で落ちます——600 回・0.3% なら 0.030%、6000 回・0.03% なら 0.003%。試行を 10 倍にすれば誤差は 10 分の 1、λ は動きません。
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学習の道すじ
個数から曲線へ
参考文献 (2)
- Three centuries of the result this distribution was invented in order to prove: E. Seneta, "A Tricentenary history of the Law of Large Numbers." Bernoulli 19(4), 1088–1121, 2013 — on Jakob Bernoulli’s Ars Conjectandi of 1713.
- And a shorter account of the book itself: I. Schneider, "Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713)", in Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, 88–104. Elsevier, 2005.