Crible des nombres premiers et spirale d'Ulam

La distribution précise des nombres premiers est régie par les zéros de la fonction zêta de Riemann ζ(s). Les 10¹³ zéros non triviaux connus se trouvent tous sur la droite critique Re(s) = 1/2. Démontrer cela pour tous les zéros donnerait les bornes les plus précises possibles pour le comptage des nombres premiers — et rapporterait le prix du millénaire d'un million de dollars. En 2025, cela reste non démontré.

Le crible d'Ératosthène trouve les nombres premiers par élimination, sans tester chaque nombre. Partez de 2, rayez tous ses multiples, sautez au nombre survivant suivant et recommencez ; ce qui n'est jamais rayé est premier. L'astuce astucieuse : pour cribler tous les nombres jusqu'à n, il suffit d'éliminer les multiples des nombres premiers jusqu'à √n. Ainsi, pour tout ce qui est inférieur à 100, rayer les multiples de 2, 3, 5 et 7 suffit.

En 1963, le mathématicien Stanisław Ulam, s'ennuyant pendant un exposé, a griffonné les entiers en spirale carrée et colorié les nombres premiers — d'étonnantes stries diagonales sont apparues. Ces diagonales suivent des polynômes quadratiques riches en premiers, comme le n² + n + 41 d'Euler, qui donne un nombre premier pour chaque n de 0 à 39. Pourquoi certaines diagonales restent si denses demeure incompris à ce jour.