Portrait de phase du pendule

Fais glisser l'angle initial pour voir comment le pendule non linéaire diffère de l'approximation linéaire. Le portrait de phase révèle la topologie du système.

Exemple résolu — Portrait de phase du pendule

Équation du mouvement	0
Fréquence propre	3.1321rad/s
Formule de la période exacte	2.0410s

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Le seul balancement qui dure une éternité 🖖

La séparatrice est la seule trajectoire qui ne se referme jamais tout à fait : c'est le chemin que trace un pendule lâché exactement à θ = 180° avec une vitesse nulle, vacillant indéfiniment sur l'équilibre inversé avant de finalement redescendre. Comme la force de rappel s'annule exactement au sommet, le pendule met un temps infini à le quitter — c'est pourquoi la période exacte calculée ici (via l'intégrale elliptique K(m)) diverge quand θ0 s'approche de 180°, alors que la formule linéaire des petits angles T = 2π√(L/g) reste parfaitement finie. Toute trajectoire à l'intérieur de la séparatrice oscille d'avant en arrière ; toute trajectoire à l'extérieur — avec assez d'énergie — continue simplement de tourner par-dessus le sommet plutôt que d'osciller.

Une carte de chaque oscillation possible 🖖

Au lieu de regarder un pendule osciller au fil du temps, un portrait de phase trace son angle en fonction de sa vitesse angulaire. Chaque point capture l'état complet du pendule à un instant donné, et suivre ce point dessine une unique boucle fermée : une oscillation qui se répète indéfiniment. Le diagramme entier montre tous les mouvements possibles à la fois, si bien qu'un léger balancement et une large oscillation apparaissent comme des boucles imbriquées sur la même image. Plus la boucle est grande, plus le pendule transporte d'énergie.

La période cache la moyenne la plus rapide de Gauss 🖖

La période exacte vaut 2π√(L/g) / M(1, cos(θ₀/2)), où M est la moyenne arithmético-géométrique — un nombre que Gauss a trouvé en remplaçant sans cesse deux valeurs par leur moyenne ordinaire et leur moyenne géométrique. Les deux moyennes se rejoignent à toute vitesse, le nombre de décimales correctes doublant à chaque étape, si bien que trois tours suffisent à fixer la période. À θ₀ = 90°, on obtient T = 1.18 × T_linear, le même allongement de 18 % que donne l'intégrale elliptique.

Problème entièrement résolu

La période d'un pendule de 1 m lâché du repos à 30° 11 étapes
Un pendule de 1 m est lâché sans vitesse initiale à 30°. Calculez sa période exacte — la formule du manuel n'est pas la réponse — puis déterminez à quel point il faudrait le lâcher près de la verticale pour porter une oscillation complète à 10 s. Prenez g = 9,81 m/s², sans amortissement.
1. Deux grandeurs fixent la fréquence propre, et la masse n'en fait pas partie : elle multiplie chaque terme de l'équation du mouvement et se simplifie avant toute autre chose.
  
  $ω_{0} = g / L = 9.81 = 3.1321 rad/s$
2. Remplacez sin θ par θ et ce qui reste est un oscillateur harmonique, dont la période vaut 2π/ω₀. Remarquez ce qui a disparu : θ₀. L'indépendance par rapport à l'amplitude est une propriété de cette substitution, pas du pendule.
  
  $T_{linear} = \frac{2 π}{ω _{0}} = 2.0061 s$
3. Faites présentement le calcul sans cette substitution. La conservation de l'énergie n'a pas besoin de l'hypothèse des petits angles — l'énergie cinétique à l'angle θ est exactement l'énergie potentielle cédée lors de la descente depuis θ₀ — exprimez donc plutôt la vitesse angulaire.
  
  $\frac{1}{2} L^{2} \dot{θ}^{2} = g L (cos θ - cos θ_{0}) ⟹ \dot{θ} = ω_{0} 2 (cos θ - cos θ_{0})$
4. Le temps est une distance divisée par une vitesse, intégrée, et un quart de période correspond au balancement de 0 jusqu'à θ₀. L'angle de lâcher est de retour, présent à la fois dans l'intégrand et dans la borne supérieure, de sorte que la période ne peut en être indépendante.
  
  $T = \frac{4}{ω _{0}} \int_{0}^{θ_{0}} \frac{d θ}{2 ( cos θ - cos θ _{0} )}$
5. L'intégrand tend vers l'infini en θ = θ₀, et l'identité cos θ = 1 − 2sin²(θ/2) montre que cette divergence n'est qu'une racine carrée d'un zéro simple : la différence de cosinus est une différence de carrés. Posons k égal au sinus de la demi-amplitude, et laissons φ varier de 0 à π/2 pendant que θ varie jusqu'à θ₀.
  
  $k = sin \frac{θ _{0}}{2}, sin \frac{θ}{2} = k sin φ ⟹ cos θ - cos θ_{0} = 2 k^{2} cos^{2} φ$
6. La racine gênante se simplifie maintenant avec dθ, et ce qui reste est l'intégrale elliptique complète de première espèce — la formule affichée par le panneau ci-dessus, qui écrit son argument sous la forme sin²(θ₀/2), c'est-à-dire k², et non k.
  
  $T = \frac{4}{ω _{0}} \int_{0}^{π /2} \frac{d φ}{1 - k ^{2} sin ^{2} φ} = \frac{4}{ω _{0}} K (k)$
7. K ne possède pas de forme close élémentaire, mais son intégrand en a une : une série binomiale en u = k²sin²φ, dont les coefficients sont les coefficients binomiaux centraux.
  
  $(1 - u)^{- 1/2} = n \geq 0 \sum c_{n} u^{n}, c_{n} = \frac{( 2 n )!}{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}}$
8. Intégrez cette série terme à terme et l'intégrale de Wallis redonne exactement le même c_n que celui venant d'être produit par le développement binomial. Cette coïncidence constitue toute l'astuce.
  
  $\int_{0}^{π /2} sin^{2 n} φ d φ = \frac{π}{2} c_{n}$
9. Chaque terme reprend donc c_n deux fois, de sorte que chaque coefficient de la série de la période est le carré d'un coefficient binomial : 1/4, 9/64 et 25/256 sont les carrés de 1/2, 3/8 et 5/16.
  
  $\frac{T}{T _{linear}} = n \geq 0 \sum c_{n}^{2} k^{2 n} = 1 + \frac{k ^{2}}{4} + \frac{9 k ^{4}}{64} + \frac{25 k ^{6}}{256} + \dots$
10. À 30°, la demi-amplitude est de 15°, k² ne vaut donc que 0,067 et chaque terme est plus de 20 fois plus petit que le précédent. En s'arrêtant à 3 termes, on obtient 1,017378, ce qui donne 2,0409 s après multiplication ; le 4e terme est celui qui modifie le dernier chiffre.
  
  $k^{2} = sin^{2} 1 5^{\circ} = 0.066987 : 1 + 0.016747 + 0.000631 + 0.000029 = 1.017407$
11. Effectuez la multiplication. C'est la période exacte affichée par le panneau, et 1,0174 est le rapport imprimé à côté — tous deux obtenus sans évaluer une seule fois K numériquement.
  
  $T = 2.0061 \times 1.017407 = 2.0410 s$
Réponse

2,0410 s, là où la formule des petits angles promettait 2,0061 s. La série qui vous y a amené a une portée limitée : ses termes contiennent k²ⁿ avec k = sin(θ₀/2), de sorte que lorsque l'angle de lâcher s'approche de la verticale, ils cessent de décroître et l'intégrale doit être traitée directement. Là, K(k) croît comme ln(4/cos(θ₀/2)) — la période diverge bien à 180°, mais seulement de façon logarithmique, et un logarithme est une chose cruelle à inverser. Une période de 10 s, environ 5 fois la valeur des petits angles, exige un lâcher à moins de 0,182° de la verticale. La doubler à 20 s élève l'exigence au carré : 7,2×10⁻⁵ degrés, environ 2500 fois plus resserré. Le pendule ne gagne pas ce temps en dérivant lentement tout au long de son orbite — il passe la presque totalité de son temps dans cette toute dernière fraction de degré.

$K (k) \sim ln \frac{4}{cos ( θ _{0} /2 )} (θ_{0} \to 18 0^{\circ})$

Références (2)

The exact period as an elliptic integral, and the separatrix: L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics, 3rd ed., §11 and §12. Butterworth-Heinemann, 1976. ISBN 978-0-7506-2896-9.
How badly the small-angle formula fails at large amplitude: A. Big-Alabo, "Approximate period for large-amplitude oscillations of a simple pendulum based on quintication of the restoring force." European Journal of Physics 41, 015001, 2019.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

Petit angle (10°) - Petit angle : approximation linéaire valide, orbite de phase circulaire
Grand (90°) - 90° : période 18% plus longue que la prédiction linéaire
Près du sommet (170°) - 170° : orbite proche de la séparatrice, la période diverge
Amorti - Amorti : spirale convergeant vers l'équilibre