Portrait de phase du pendule

La séparatrice est la seule trajectoire qui ne se referme jamais tout à fait : c'est le chemin que trace un pendule lâché exactement à θ = 180° avec une vitesse nulle, vacillant indéfiniment sur l'équilibre inversé avant de finalement redescendre. Comme la force de rappel s'annule exactement au sommet, le pendule met un temps infini à le quitter — c'est pourquoi la période exacte calculée ici (via l'intégrale elliptique K(m)) diverge quand θ0 s'approche de 180°, alors que la formule linéaire des petits angles T = 2π√(L/g) reste parfaitement finie. Toute trajectoire à l'intérieur de la séparatrice oscille d'avant en arrière ; toute trajectoire à l'extérieur — avec assez d'énergie — continue simplement de tourner par-dessus le sommet plutôt que d'osciller.

Au lieu de regarder un pendule osciller au fil du temps, un portrait de phase trace son angle en fonction de sa vitesse angulaire. Chaque point capture l'état complet du pendule à un instant donné, et suivre ce point dessine une unique boucle fermée : une oscillation qui se répète indéfiniment. Le diagramme entier montre tous les mouvements possibles à la fois, si bien qu'un léger balancement et une large oscillation apparaissent comme des boucles imbriquées sur la même image. Plus la boucle est grande, plus le pendule transporte d'énergie.

La période exacte vaut 2π√(L/g) / M(1, cos(θ₀/2)), où M est la moyenne arithmético-géométrique — un nombre que Gauss a trouvé en remplaçant sans cesse deux valeurs par leur moyenne ordinaire et leur moyenne géométrique. Les deux moyennes se rejoignent à toute vitesse, le nombre de décimales correctes doublant à chaque étape, si bien que trois tours suffisent à fixer la période. À θ₀ = 90°, on obtient T = 1.18 × T_linear, le même allongement de 18 % que donne l'intégrale elliptique.