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Théorème de Pick : L'aire par comptage de points

Placez les sommets d'un polygone sur les points d'un quadrillage carré, en cliquant ou en choisissant un modèle prédéfini. La page compte les points de la grille situés à l'intérieur ainsi que sur ses bords. Elle calcule ensuite l'aire à partir de ces comptages, mais aussi depuis les coordonnées des sommets, afin de vous montrer que les deux méthodes concordent. Le tableau sous le dessin détaille ce comptage et les opérations arithmétiques.

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Leçon

La théorie — Théorème de Pick : L'aire par comptage de points

Un polygone sur réseau est un polygone simple dont les sommets sont des points de la grille carrée à coordonnées entières. Le théorème de Pick affirme que son aire vaut A = I + B ÷ 2 − 1, où I représente le nombre de points de la grille strictement à l'intérieur et B le nombre de points situés sur ses arêtes, sommets compris. Une arête reliant un point du réseau à un autre traverse gcd(|Δx|, |Δy|) pas de grille. La valeur de B correspond donc à la somme de ces pas sur l'ensemble des arêtes. Pour un polygone contenant h trous, l'aire devient A = I + B ÷ 2 + h − 1, les arêtes des trous étant incluses dans le calcul de B.

Ce que signifie chaque symbole

I
les points de la grille strictement à l'intérieur du polygone
B
les points de la grille sur ses arêtes, sommets compris. Chaque arête contribue à hauteur de gcd(|Δx|, |Δy|)
A
l'aire, en carreaux de la grille. Toujours un multiple de ½
h
le nombre de trous. Chacun ajoute un à la formule

Comptez les points et vous obtenez l'aire 🖖

Cliquez sur Étoile à quatre branches. Ce polygone contient 53 points de la grille à l'intérieur et 8 sur ses arêtes. Son aire vaut 53 + 8 ÷ 2 − 1 = 56. La formule des lacets, qui se base uniquement sur les coordonnées des sommets sans jamais recourir au comptage, donne également 56. C'est le théorème de Pick, publié par Georg Pick en 1899 : pour tout polygone simple (une frontière unique, sans croisement ni trou) dont les sommets reposent sur les points d'une grille, l'aire correspond à I + B ÷ 2 − 1. La variable I représente les points intérieurs et B les points sur la frontière. Faites glisser un sommet, et vous verrez les deux nombres s'ajuster simultanément. Aucune règle, aucune soustraction de triangles, aucune approximation ne sont nécessaires. L'aire d'un tel polygone est entièrement déterminée par ces deux nombres entiers.

Tout triangle vide a une aire d'un demi 🖖

Cliquez sur Triangle effilé. Il mesure 13 unités de large et ressemble presque à une ligne. À l'exception de ses trois sommets, il ne touche aucun point de la grille. Son aire vaut exactement ½. Tout triangle du réseau dépourvu d'autres points à l'intérieur ou sur ses bords possède cette même aire, quelle que soit sa longueur ou sa finesse. C'est précisément sur ce principe que repose le théorème. Un polygone simple sur un réseau peut toujours être découpé en de tels triangles : il y en a 2I + B − 2, auxquels s'ajoutent deux triangles supplémentaires pour chaque trou. Cliquez sur Étoile à quatre branches, activez Afficher les triangles primitifs puis comptez-les. Vous trouverez 112 triangles d'une aire de ½ chacun, pour un total de 56.

En trois dimensions, les deux comptages ne suffisent plus 🖖

Cliquez sur Reeve, r = 5. Ses quatre sommets sont des points du réseau et, quelle que soit sa hauteur, aucun autre point ne se trouve à l'intérieur ni sur ses faces. Son volume correspond à sa hauteur divisée par 6, soit 5 ÷ 6 pour une hauteur de 5. Le tableau présente les hauteurs de 1 à 10 et associe dix volumes distincts à des comptages pourtant identiques. On y dénombre zéro point à l'intérieur et quatre sur la frontière. Si une formule permettait de convertir ces deux seuls nombres en volume, elle devrait produire dix résultats différents à partir d'une même donnée initiale. John Reeve a découvert ce solide en 1957. Il illustre pourquoi le théorème de Pick ne possède aucun équivalent direct en trois dimensions.

Problème entièrement résolu

  1. L'aire d'un carré, par comptage 5 étapes

    Un carré possède ses sommets en (2, 2), (6, 2), (6, 6) et (2, 6). Déterminez son aire en comptant les points de la grille selon le théorème de Pick. Vérifiez ensuite ce résultat avec la formule des lacets, puis indiquez ce que deviennent ces comptages lorsque le carré est doublé. Cliquez sur Carré pour vérifier votre réponse.

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    1. Chaque arête s'étend sur 4 unités le long d'une ligne de la grille, elle compte donc gcd(4, 0) = 4 pas. Le nombre de points sur la frontière est alors de :

    2. Les points strictement à l'intérieur forment un bloc de 3 sur 3 :

    3. Le théorème de Pick :

    4. La formule des lacets calculée depuis les sommets, pour comparaison :

    5. Une fois doublé, le carré fait 8 sur 8. Il abrite un bloc de 7 sur 7 points à l'intérieur, et 32 sur ses arêtes :

    Réponse

    L'aire vaut 16 par comptage et 16 par le calcul des coordonnées. Après l'avoir doublé, les comptages s'élèvent à 49 points à l'intérieur et 32 sur les arêtes. L'aire passe ainsi à 64, soit quatre fois plus. Le nombre de points sur la frontière n'ayant que doublé, le comptage intérieur a dû croître bien plus vite (de 9 à 49) pour rendre l'aire quatre fois plus grande. Un polygone doublé contient toujours 4I + B − 3 points à l'intérieur.

· Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.