Les règles des puissances, et pourquoi a⁰ vaut 1

Choisissez une base et deux exposants. Les trois règles de calcul s'affichent côte à côte. L'échelle en dessous montre d'où viennent a⁰ et a⁻ⁿ. Vous pouvez placer un autre nombre sur le barreau zéro et voir la colonne perdre sa régularité.

Exemple résolu — Les règles des puissances, et pourquoi a⁰ vaut 1

Le barreau en 0	1
Le barreau en −1	1/2
Étapes divisant par la base	6 / 6
Valeurs préservant chaque étape	1

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Personne n'a décidé que a⁰ vaut 1 🖖

Cliquez sur Supposons que 2⁰ = 7. Dans une colonne, les puissances de 2 s'enchaînent : 8, 4, 2, un espace vide, puis 1/2, 1/4, 1/8. Chaque descente d'un cran divise par 2. Placez 7 dans cet espace et deux sauts se brisent net. L'étape qui y mène divise par 2/7, celle qui la suit divise par 14. Un seul nombre préserve l'amplitude de chaque saut. Essayez les autres boutons. Passez la base à 10 ou à 20. La valeur vaut 1 à chaque fois. Essayer neuf valeurs candidates sur l'ensemble de ces vingt bases révèle d'ailleurs un unique vainqueur. Observez maintenant sous l'espace vide, là où la même division se poursuit avec 1/2, puis 1/4, puis 1/8. Aucune seconde règle n'a été introduite. Aucune n'était nécessaire. C'est l'essence même de ce que signifie un exposant négatif.

Trois lois dans les manuels, une seule idée sur la page 🖖

La rangée du haut écrit 2³ × 2² sous forme de facteurs. L'argument tient tout entier là-dedans. Trois 2 à côté de deux 2 donnent cinq 2. La division les annule au lieu de les rassembler, les exposants se soustraient donc. Élever une puissance à une puissance revient à compter le comptage, ils se multiplient alors. L'intérêt se révèle au-delà de cette image. Définissez m et n comme négatifs, et « compter les a » ne veut plus rien dire. Pourtant, les trois lois restent valables sur les bases 2 à 12 et les exposants de −6 à 6, pour chacun des 5 229 états où les deux côtés demeurent exactement calculables. Le comptage justifie la règle pour les nombres entiers. Cette même règle vous dicte ensuite ce que doivent être les cas impossibles à dessiner.

L'unique recoin qui échappe à la logique 🖖

Cliquez sur Base zéro. Deux des trois lois y résistent : 0³ × 0² donne 0⁵ et (0³)² donne 0⁶, valant toutes 0. La ligne de division n'affiche aucune réponse. En effet, 0³ ÷ 0² exige de calculer 0 ÷ 0, ce qui constitue la première apparition de l'obstacle bloquant l'échelle plus bas. La colonne descend par 0, 0, 0 puis s'arrête. Chaque étape précédente étant une division, celle-ci imposerait de diviser par 0. Le raisonnement qui contraignait a⁰ à valoir 1 n'atteint donc jamais ce barreau. Deux règles exactes se rencontrent à cette intersection avec des résultats divergents. L'égalité a⁰ = 1 reste valable pour toute base à l'exception de 0. L'égalité 0ⁿ = 0 se vérifie pour tout exposant sauf 0. Approchez l'intersection par un axe, et xᵞ tend vers 1. Suivez l'autre, et l'expression tend vers 0. La limite n'existe donc pas. Un texte traitant de limites conservera le symbole tel quel. JavaScript et Python renvoient tous deux 1, car un produit vide vaut 1 et le théorème du binôme requiert que x⁰ vaille 1 en x = 0 pour demeurer valide. Personne ne fait preuve de négligence dans ce débat. On attend simplement de cette intersection qu'elle remplisse des fonctions différentes.

Problème entièrement résolu

Que vaut a½ et qui l'a décidé ? L'outil ne calcule que des exposants entiers. La règle qui dicte la valeur de a⁰ ne s'arrête pourtant pas là. Déduisez-en ce qu'elle impose à un exposant d'un demi.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Partez de la loi que l'outil affiche sur sa troisième ligne. Vérifiez-la sur un exemple visible : élevez une puissance à une puissance et les exposants se multiplient.
  
  $(a^{m})^{n} = a^{mn} ⟹ (3^{2})^{3} = 3^{6} = 729$
2. Appliquez maintenant à cette même loi un exposant d'un demi, avec une puissance externe de 2. Le membre de droite se simplifie en a¹, ce qui donne a.
  
  $(a^{1/2})^{2} = a^{\frac{1}{2} \times 2} = a^{1} = a$
3. Lisez le résultat. La valeur a½ correspond à un nombre dont le carré vaut a. C'est la définition même d'une racine carrée. Rien n'a été arbitrairement défini. La loi ne laissait tout simplement aucune place à autre chose.
  
  $a^{1/2} = a$
4. La même logique s'applique à chaque racine. Une puissance externe de 3 donne un nombre dont le cube vaut a.
  
  $(a^{1/3})^{3} = a^{1} = a ⟹ a^{1/3} = 3 a$
5. Elle résout également le cas des exposants fractionnaires sans nécessiter de nouvelle règle. Le nombre 16 à la puissance trois demis est soit le cube de la racine carrée, soit la racine carrée du cube. La loi affirme que ces résultats concordent : 4³ et √4096 donnent tous deux 64.
  
  $1 6^{3/2} = (1 6^{1/2})^{3} = 4^{3} = 64, (1 6^{3})^{1/2} = 4096 = 64$
6. La limite ne vient pas de l'algèbre, mais du choix de la racine. Le nombre −8 possède une racine cubique réelle de −2, ainsi que deux racines complexes. Interrogez trois machines et vous obtiendrez trois réponses : −2 par convention réelle, NaN pour JavaScript, et 1 + i√3 pour Python, qui privilégie la racine principale.
  
  $(- 8)^{1/3} \in {- 2, 1 + i 3, 1 - i 3}$
Réponse

L'expression a^(1/q) est contrainte d'être une racine q-ième par la même loi qui impose a⁰ = 1. Aucune nouvelle définition n'intervient entre les entiers et les fractions. C'est pour cette raison que les exposants fractionnaires obéissent à toutes les règles des exposants entiers. Le seul véritable choix consiste à déterminer quelle racine q-ième adopter lorsqu'un nombre en possède plusieurs. Ce choix concentre tout le désaccord autour de l'expression (−8)^(1/3). Une base positive possède une unique racine positive et ne soulève aucun débat. Les manuels scolaires réservent donc la règle de l'exposant fractionnaire au cas a > 0 et repoussent le cas négatif à un chapitre sur les nombres complexes.

$a^{p / q} = q a^{p} = (q a)^{p} (a > 0)$

Références (2)

Where the two answers at 0⁰ come from, and why neither camp is careless: Donald E. Knuth, "Two Notes on Notation", The American Mathematical Monthly 99(5), 403–422, 1992. doi:10.2307/2325085
What the machines named in the same block actually do, measured rather than assumed: Measured in this repo: Node 22 gives Math.pow(0,0) = 1 and 0 ** 0 = 1; CPython gives 0 ** 0 = 1 and (-8) ** (1/3) = 1 + i√3, while JavaScript's Math.pow(-8, 1/3) is NaN. Asserted in scripts/check-compute.mjs.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.