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La règle qui fut le plafond de l'arithmétique pendant mille ans
Il existe de solides arguments mathématiques contre l'enseignement du produit en croix. Mais il en existe de meilleurs sur le plan cognitif, et l'histoire penche de ce second côté.
Abraham Lincoln a décrit sa propre scolarité dans la courte autobiographie qu'il a rédigée pour Jesse W. Fell :
À ma majorité, bien sûr, je ne savais pas grand-chose. Pourtant, tant bien que mal, je savais lire, écrire et compter jusqu'à la règle de trois ; mais c'était tout.
Abraham Lincoln, 20 décembre 1859
Pour la plupart des gens au cours de la majeure partie de l'histoire, la règle de trois constituait le point final de l'enseignement des mathématiques : la dernière chose apprise avant que le cursus ne s'arrête.
La règle est la suivante : connaissant trois grandeurs, trouver la quatrième qui se trouve dans la même proportion. Sachant que 3 pommes coûtent 2,40, combien en coûtent 7 ? Disposez les quatre nombres en carré, tracez-y une croix, et la réponse découle immédiatement de leur position.
Consignée au VIIe siècle
Brahmagupta a exposé la règle dans le Brāhmasphuṭasiddhānta en 628 de notre ère, et ce qui frappe dans son énoncé est ce qui en est absent : il n'y a ni équation, ni inconnue.
Il nomme trois grandeurs — pramāṇa, phala et icchā, conventionnellement l'argument, le fruit et la réquisition — et donne une règle pour les combiner, assortie de l'observation que deux des trois sont de même nature et que la troisième ne l'est pas. Cette dernière condition joue un rôle essentiel. C'est la contrainte qui empêche de diviser des pommes par de l'argent, et dans la disposition en tableau, elle est garantie par la géométrie : les grandeurs de même nature se placent les unes sous les autres, et si le carré a été correctement disposé, les unités s'ajustent d'elles-mêmes.
La formulation a voyagé. Jens Høyrup a retracé la manière dont une tournure manifestement identique réapparaît des siècles plus tard dans des sources arabes, puis dans les traités italiens d'abbaco, cette arithmétique commerciale enseignée dans les écoles d'abaque qui ont suivi le Liber abaci de Fibonacci en 1202. Elle est parvenue en Angleterre sous le nom de « Règle d'or ». Elle a atteint le Kentucky, et Lincoln.
Les arguments contre
Le produit en croix est une procédure, et une procédure peut être exécutée sans être comprise. Un élève qui a appris le tableau peut produire des réponses correctes à des problèmes de proportionnalité sans avoir le moindre modèle de ce qu'est la proportionnalité. Pire encore, le tableau masque la structure multiplicative sur laquelle repose le reste des mathématiques : le fait qu'une hausse de 20 % est une multiplication par 1,2, que des hausses répétées se composent, et qu'il s'agit là d'une fonction exponentielle déguisée. Un élève qui raisonne en multiplicateurs est prêt pour les intérêts composés, la décroissance radioactive et les équations différentielles. Un élève qui raisonne en tableaux 2×2 est prêt pour d'autres tableaux 2×2.
Et la méthode a ses limites. Elle ne fonctionne que lorsqu'une grandeur est un multiple fixe d'une autre. La proportionnalité inverse exige une disposition différente, et les textes classiques en fournissaient une : Brahmagupta donne la vyasta-trairāśika, la règle de trois inverse, immédiatement après la règle directe. Le reproche légitime n'est donc pas que la méthode échoue ici, mais que rien dans le tableau n'indique à l'apprenant à laquelle des deux règles il a affaire. Les lois de puissance constituent le véritable mur : aucune disposition de quatre nombres dans un carré ne permettra d'obtenir la loi de Kepler T² ∝ a³.
Les arguments pour, malgré tout
Considérons ce qui échoue, et comment, lorsqu'on ne se souvient qu'à moitié de chaque méthode.
Le mode de défaillance d'une formule est de mal s'en souvenir — et une formule mal mémorisée échoue silencieusement. Elle renvoie un nombre faux, mais assuré et plausible, et rien dans la réponse n'indique que quoi que ce soit s'est égaré. Le mode de défaillance d'une image est de ne pas en avoir, ce qui échoue de manière flagrante et vous renvoie aux premiers principes.
Dans la pratique, presque toutes les erreurs commises sur les pourcentages sont des erreurs de base : on ignore de quelle grandeur le pourcentage est tiré. Demandez combien coûtait une veste avant qu'une remise de 20 % n'en porte le prix à 60, et un grand nombre de personnes retrancheront 20 % de 60 pour répondre 48. La forme multiplicative ne prémunit pas contre cela, car dans nouveau = ancien × (1 + r) la base est implicite : elle se dissimule dans ce que désigne ancien, ce qui est précisément l'erreur commise.
Dans le tableau, le 100 occupe une case. Il figure sur la page. La question « pour cent de quoi » devient quelque chose que l'on peut voir plutôt qu'une chose qu'il faut retenir, et le résultat de 75 apparaît de lui-même.
Ce qui justifie d'enseigner une représentation
Quatre questions semblent distinguer les représentations qui perdurent de celles qui disparaissent.
Condense-t-elle plusieurs procédures en une seule ? Trouver la partie, trouver le tout, trouver le pourcentage, trouver la nouvelle valeur après variation : quatre procédures classiques de manuel, quatre mécanismes à ne pas confondre. Dans le tableau, tout se ramène à un seul geste : entourer le nombre recherché. La charge cognitive dépend davantage du nombre de procédures distinctes que de la difficulté de chacune d'elles.
Fait-elle apparaître à l'écran la grandeur invisible ? Voir plus haut : la base.
La position est-elle porteuse de sens ? Dans le tableau, la diagonale divise et les deux autres termes se multiplient ; cette règle reste identique quel que soit le coin entouré. Le double codage, spatial et verbal, subsiste bien mieux que le codage verbal seul.
L'étape que l'on a tendance à omettre est-elle rendue visible ? Une hausse de 20 % n'est pas « 20 » dans le tableau ; c'est 120 par rapport à 100. Cette étape intermédiaire — transformer une variation en un rapport — est celle que l'on omet, de sorte qu'une bonne représentation la montre au lieu de présenter directement un 120 tout fait.
Le Cross-Multiplication Grid est conçu autour de ces quatre critères, et il comprend douze cas résolus pour que sa polyvalence soit visible plutôt que simplement affirmée.
Pourquoi le tableau est légitime
Rien de tout cela n'aurait d'importance si la méthode n'était qu'un simple artifice qui se trouve fonctionner. Sous cette apparence, il s'agit d'un énoncé sur les triangles semblables.
Plantez un bâton d'un mètre dans le sol et mesurez son ombre. Mesurez l'ombre d'un arbre situé à côté. Le soleil est suffisamment éloigné pour que ses rayons arrivent pratiquement parallèles, de sorte que le bâton et son ombre forment un triangle ayant exactement les mêmes angles que l'arbre et son ombre. Des angles égaux impliquent des côtés proportionnels — Euclide, Éléments VI.4 — et une hauteur que nul ne peut atteindre se ramène à trois longueurs que n'importe qui peut arpenter.
C'est là tout le principe de la mesure d'une pyramide par son ombre, et c'est le même carré que l'on remplit dans le tableau. La proportionnalité n'est pas une convention sur l'emplacement où écrire des nombres. C'est un théorème sur les formes.
Enseigner une méthode pour des raisons cognitives n'autorise pas à la présenter comme universelle, et troquer la confusion contre une fausse assurance n'est pas un gain. Mais une représentation que l'on peut reconstruire au dos d'un reçu l'emporte sur une formule qu'il faut se rappeler exactement, et c'est pourquoi ceux qui l'ont apprise ainsi continuent de s'en servir des décennies plus tard.