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La règle qui fut, mille ans durant, le plafond de l'arithmétique
Il existe de bons arguments mathématiques contre l'enseignement du produit en croix. Les arguments cognitifs en sa faveur sont meilleurs, et l'histoire donne raison aux seconds.
Abraham Lincoln décrivait ainsi sa propre scolarité, dans la courte autobiographie qu'il rédigea pour Jesse W. Fell :
Bien sûr, à ma majorité, je ne savais pas grand-chose. J'arrivais tout de même à lire, à écrire et à calculer jusqu'à la règle de trois ; mais c'était tout.
Abraham Lincoln, 20 décembre 1859
Pour la plupart des gens et pendant la plus grande partie de l'histoire écrite, la règle de trois était le terme de l'éducation mathématique : la dernière chose apprise avant que le programme ne s'arrête.
La règle dit ceci : étant données trois quantités, trouver la quatrième qui se tient dans la même proportion. Si 3 pommes coûtent 2,40, combien en coûtent 7 ? Disposez les quatre nombres en carré, tracez une croix, et la réponse découle de la place qu'occupent les nombres.
Consignée au VIIe siècle
Brahmagupta expose la règle dans le Brāhmasphuṭasiddhānta en 628, et ce qui frappe dans son énoncé, c'est ce qui en est absent : ni équation, ni inconnue.
Il nomme trois quantités, pramāṇa, phala et icchā, traditionnellement l'argument, le fruit et la demande, puis donne une règle pour les combiner, assortie de cette remarque : deux des trois sont de même nature et la troisième ne l'est pas. Cette dernière condition travaille pour de bon. C'est elle qui vous empêche de diviser des pommes par de l'argent, et dans la grille, c'est la géométrie qui l'impose : le semblable se range sous le semblable, et si le carré est bien disposé, les unités se règlent d'elles-mêmes.
La formulation a voyagé. Jens Høyrup a retracé la façon dont le même énoncé, reconnaissable entre tous, réapparaît des siècles plus tard dans les sources arabes, puis dans les livres d'abbaco italiens, cette arithmétique commerciale qu'enseignaient les écoles de calcul nées après le Liber abaci de Fibonacci, en 1202. Elle est arrivée en Angleterre sous le nom de « Golden Rule ». Elle est arrivée jusqu'au Kentucky, et jusqu'à Lincoln.
Ce qu'on peut lui reprocher
Le produit en croix est une procédure, et une procédure s'exécute sans comprendre. Un élève qui a appris la grille peut produire des réponses justes à des problèmes de proportionnalité sans se faire la moindre idée de ce qu'est la proportionnalité. Pire, la grille masque la structure multiplicative sur laquelle repose tout le reste des mathématiques : qu'une hausse de 20 % est une multiplication par 1,2, que des hausses successives se composent, que tout cela est une exponentielle déguisée. L'élève qui pense en coefficients multiplicateurs est prêt pour les intérêts composés, la décroissance radioactive et les équations différentielles. L'élève qui pense en grilles 2×2 est prêt pour d'autres grilles 2×2.
Et elle se casse. Elle ne fonctionne que si une quantité est un multiple fixe de l'autre. La proportionnalité inverse exige une autre disposition ; les textes classiques le savaient et en fournissaient une, le vyasta-trairāśika, ou règle de trois inverse, que Brahmagupta donne aussitôt après la règle directe. Le reproche honnête n'est donc pas que la méthode échoue là, mais que l'élève doit savoir dans laquelle des deux règles il se trouve, et rien dans la grille ne le lui dit. Le vrai mur, ce sont les relations de puissance : aucune disposition de quatre nombres en carré ne vous donnera le T² ∝ a³ de Kepler.
Pourquoi elle tient malgré tout
Regardez ce qui lâche, et comment, lorsqu'on ne se souvient qu'à moitié de l'une ou de l'autre méthode.
Une formule tombe en panne quand on la retient de travers, et une formule mal retenue échoue en silence. Elle rend un nombre assuré, plausible et faux, sans que rien dans la réponse signale l'accident. Une image, elle, tombe en panne quand on ne l'a pas : l'échec est bruyant et vous renvoie aux principes premiers.
Presque toutes les erreurs de pourcentage commises dans la vie réelle sont des erreurs de base : on ignore de quoi le pourcentage est le pourcentage. Demandez à quelqu'un ce que coûtait une veste avant qu'une remise de 20 % ne la ramène à 60 : beaucoup retireront 20 % de 60 et répondront 48. La forme multiplicative ne protège en rien, car dans nouveau = ancien × (1 + r) la base reste implicite : elle se cache dans ce que désigne ancien, c'est-à-dire précisément ce sur quoi l'on se trompe.
Dans la grille, le 100 occupe une case. Il est sur la page. « Pourcentage de quoi » devient une chose que l'on regarde au lieu d'une chose dont il faut se souvenir, et la réponse tombe à 75.
Ce qui rend une représentation digne d'être enseignée
Quatre questions semblent séparer les représentations qui survivent de celles qui disparaissent.
Ramène-t-elle plusieurs procédures à une seule ? Trouver la partie, trouver le tout, trouver le pourcentage, trouver la nouvelle valeur après variation : quatre procédures de manuel, quatre choses à ne pas confondre. Dans la grille, c'est un seul geste : entourez le nombre que vous cherchez. La charge cognitive suit le nombre de procédures distinctes bien plus que la difficulté de chacune.
Met-elle à l'écran la quantité invisible ? Voir plus haut : la base.
La position porte-t-elle du sens ? Dans la grille, la diagonale divise et les deux autres se multiplient, et la règle ne change pas quel que soit le coin entouré. Un encodage à la fois spatial et verbal se conserve bien mieux qu'un encodage verbal seul.
L'étape que l'on saute est-elle rendue visible ? Une hausse de 20 % n'est pas « 20 » dans la grille : c'est 120 contre 100. Cette étape intermédiaire, qui transforme une variation en rapport, est celle que l'on omet ; une bonne représentation la montre au lieu de présenter un 120 déjà fait.
La Cross-Multiplication Grid est construite autour de ces quatre critères, et elle propose douze cas résolus pour que sa polyvalence se voie au lieu d'être affirmée.
Pourquoi la grille est légitime
Rien de tout cela n'aurait d'importance si la méthode n'était qu'une astuce qui marche par chance. Elle énonce un fait sur les triangles semblables.
Plantez en terre un bâton d'un mètre et mesurez son ombre. Mesurez l'ombre d'un arbre à côté. Le Soleil est assez loin pour que ses rayons arrivent pratiquement parallèles : le bâton et son ombre forment donc un triangle dont les angles sont exactement ceux de l'arbre et de son ombre. Des angles égaux donnent des côtés proportionnels (Euclide, Éléments, VI.4), et une hauteur que personne ne peut atteindre devient trois longueurs que n'importe qui peut arpenter.
C'est toute la méthode qui permet de mesurer une pyramide par son ombre, et c'est le même carré que l'on remplit dans la grille. La proportion n'est pas une convention sur l'endroit où écrire les nombres : c'est un théorème sur la forme.
Enseigner une méthode pour des raisons cognitives n'autorise pas à la présenter comme universelle, et troquer la confusion contre une fausse assurance n'est pas un progrès. Mais une représentation que l'on peut reconstruire au dos d'un ticket de caisse vaut mieux qu'une formule qu'il faut se rappeler exactement, et c'est pourquoi ceux qui l'ont apprise ainsi s'en servent encore des décennies plus tard.