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A regra que foi o teto da aritmética durante mil anos
Há bons argumentos matemáticos contra ensinar a multiplicação cruzada. Há argumentos cognitivos melhores a favor dela, e a história está do segundo lado.
Abraham Lincoln descreveu a sua própria escolaridade na curta autobiografia que redigiu para Jesse W. Fell:
Claro que, quando atingi a maioridade, não sabia grande coisa. Ainda assim, de algum modo sabia ler, escrever e calcular até à Regra de Três; mas era tudo.
Abraham Lincoln, 20 de dezembro de 1859
Para a maioria das pessoas, durante a maior parte da história registada, a Regra de Três era o fim da educação matemática: a última coisa que se aprendia antes de o programa parar.
A regra é esta: dadas três quantidades, achar a quarta que está na mesma proporção. Se 3 maçãs custam 2,40, quanto custam 7? Arrumam-se os quatro números num quadrado, traça-se uma cruz por cima e a resposta decorre do lugar onde cada número está.
Fixada no século VII
Brahmagupta expôs a regra no Brāhmasphuṭasiddhānta, em 628, e o que mais impressiona no seu enunciado é aquilo que lá não está: não há equação nem incógnita.
Nomeia três quantidades, pramāṇa, phala e icchā, habitualmente o argumento, o fruto e a requisição, dá uma regra para as combinar e observa que duas das três são coisas da mesma espécie e a terceira não. Esta última condição faz trabalho a sério. É ela que impede que se dividam maçãs por dinheiro e, na grelha, quem a impõe é a geometria: o semelhante fica debaixo do semelhante e, se o quadrado estiver bem arrumado, as unidades tratam de si próprias.
A formulação viajou. Jens Høyrup seguiu-lhe o rasto e mostrou como a mesma fraseologia reaparece, reconhecível, séculos mais tarde em fontes árabes e depois nos livros de abbaco italianos, a aritmética comercial ensinada nas escolas de cálculo que se seguiram ao Liber abaci de Fibonacci, de 1202. Chegou a Inglaterra como "Regra de Ouro". Chegou ao Kentucky, e a Lincoln.
O que se diz contra
A multiplicação cruzada é um procedimento, e um procedimento pode ser executado sem se perceber nada. Um aluno que decorou a grelha dá respostas certas a problemas de proporção sem ter modelo nenhum daquilo que a proporcionalidade é. Pior: a grelha esconde a estrutura multiplicativa sobre a qual assenta o resto da matemática, isto é, que um aumento de 20% é multiplicar por 1,2, que aumentos sucessivos se compõem e que aquilo é uma exponencial disfarçada. Quem pensa em multiplicadores está pronto para juros compostos, decaimento radioativo e equações diferenciais. Quem pensa em grelhas 2×2 está pronto para mais grelhas 2×2.
E parte-se. Só funciona quando uma quantidade é múltiplo fixo de outra. A proporção inversa pede outra arrumação, e os textos clássicos sabiam-no e forneceram-na, a vyasta-trairāśika ou regra de três inversa, que Brahmagupta dá logo a seguir à regra direta. A queixa honesta não é, portanto, que o método falhe aí, mas que o aluno tem de saber em qual das duas regras está, e nada na grelha lho diz. A parede a sério são as relações de potência: não há arrumação de quatro números num quadrado que lhe dê o T² ∝ a³ de Kepler.
O que se diz a favor, ainda assim
Olhe para o que falha, e como falha, quando alguém se lembra de cada método pela metade.
Uma fórmula falha por ficar mal guardada na memória, e uma fórmula mal guardada falha em silêncio. Devolve um número seguro de si, plausível e errado, sem nada na resposta que denuncie o desvio. Uma imagem falha por não a termos, o que faz barulho e nos manda de volta aos primeiros princípios.
Quase todos os erros com percentagens que as pessoas cometem na prática são erros de base: não saberem de que quantidade é que a percentagem é percentagem. Pergunte a alguém quanto custava um casaco antes de um desconto de 20% o ter deixado em 60 e muita gente tira 20% a 60 e responde 48. A forma com multiplicador não protege disto, porque em novo = antigo × (1 + r) a base está implícita: esconde-se dentro daquilo a que antigo se refere, que é exatamente a coisa em que se está a errar.
Na grelha, o 100 é uma célula. Está na folha. "Percentagem de quê" passa a ser uma coisa que se olha em vez de uma coisa que é preciso recordar, e a resposta sai 75.
O que torna uma representação digna de ser ensinada
Há quatro perguntas que parecem separar as representações que sobrevivem das que não sobrevivem.
Reduz vários procedimentos a um só? Achar a parte, achar o todo, achar a percentagem, achar o novo valor depois de uma variação: quatro procedimentos do manual, quatro coisas para não confundir. Na grelha são um único gesto, rodear o número que se quer. A carga cognitiva acompanha o número de procedimentos distintos mais do que a dificuldade de qualquer um deles.
Põe no ecrã a quantidade invisível? Ver acima: a base.
A posição carrega significado? Na grelha a diagonal divide e os outros dois multiplicam, e a regra é a mesma seja qual for o canto que se rodeie. Codificação espacial e verbal em conjunto resistem muito melhor do que a verbal sozinha.
O passo que toda a gente salta fica à vista? Na grelha, um aumento de 20% não é "20"; é 120 contra 100. Esse passo intermédio, transformar uma variação numa razão, é o que as pessoas omitem, de modo que uma boa representação mostra-o em vez de apresentar um 120 já feito.
A Cross-Multiplication Grid foi construída em torno destes quatro testes e traz doze casos resolvidos, para que a versatilidade se veja em vez de ser apenas afirmada.
Porque é que a grelha é legítima
Nada disto contaria se o método fosse só um truque que por acaso funciona. Não é. É uma afirmação sobre triângulos semelhantes.
Espete uma régua de um metro no chão e meça-lhe a sombra. Meça a sombra de uma árvore ao lado. O Sol está longe o suficiente para os seus raios chegarem praticamente paralelos, pelo que a régua e a sua sombra formam um triângulo com exatamente os mesmos ângulos que a árvore e a dela. Ângulos iguais dão lados proporcionais, como se lê em Euclides, Elementos VI.4, e uma altura que ninguém alcança passa a ser três comprimentos que qualquer pessoa mede a passo.
É este o método inteiro por trás da medição de uma pirâmide pela sombra, e é o mesmo quadrado que se preenche na grelha. A proporção não é uma convenção sobre onde escrever os números. É um teorema sobre a forma.
Ensinar um método por razões cognitivas não autoriza ensiná-lo como universal, e trocar confusão por falsa confiança não é ganhar nada. Mas uma representação que se reconstrói nas costas de um talão vale mais do que uma fórmula que é preciso recordar sem falhas, e é por isso que quem a aprendeu assim ainda a usa décadas depois.