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A regra que foi o teto da aritmética durante mil anos
Há boas razões matemáticas contra o ensino da multiplicação cruzada. Há razões cognitivas ainda melhores a seu favor, e a história está do lado das segundas.
Abraham Lincoln descreveu a sua própria escolaridade na breve autobiografia que escreveu para Jesse W. Fell:
Naturalmente, quando cheguei à maioridade não sabia muito. Ainda assim, de alguma forma, sabia ler, escrever e fazer contas até à Regra de Três; mas era tudo.
Abraham Lincoln, 20 de dezembro de 1859
Para a maioria das pessoas durante a maior parte da história documentada, a Regra de Três era o fim da educação matemática: a última coisa que se aprendia antes de o programa terminar.
A regra é esta: dadas três quantidades, determinar a quarta que mantém a mesma proporção. Sabendo que 3 maçãs custam 2,40, quanto custam 7? Dispõem-se os quatro números num quadrado, traça-se uma cruz através dele, e a resposta decorre da posição onde os números assentam.
Fixada no século VII
Brahmagupta apresentou a regra no Brāhmasphuṭasiddhānta em 628 d.C., e o aspeto mais impressionante da sua formulação é aquilo que nela falta: não há qualquer equação, nem qualquer incógnita.
O autor nomeia três quantidades — pramāṇa, phala e icchā, convencionalmente o argumento, o fruto e a requisição — e fornece uma regra para as combinar, juntamente com a observação de que duas das três são da mesma natureza e a terceira não. Esta última condição cumpre uma função decisiva. É a restrição que nos impede de dividir maçãs por dinheiro e, na forma de grelha, é assegurada pela geometria: grandezas idênticas ficam por baixo de grandezas idênticas e, se o quadrado tiver sido disposto corretamente, as unidades tratam de si próprias.
A formulação viajou. Jens Høyrup documentou de que modo a mesma formulação, claramente reconhecível, surge séculos mais tarde em fontes árabes e depois nos livros italianos de abbaco — a aritmética comercial ensinada nas escolas de cálculo que se seguiram ao Liber abaci de Fibonacci, de 1202. Chegou a Inglaterra sob o nome de "Regra de Ouro". Chegou ao Kentucky e a Lincoln.
As razões contra
A multiplicação cruzada é um procedimento, e os procedimentos podem ser executados sem qualquer compreensão. Um aluno que tenha aprendido a grelha consegue produzir respostas corretas a problemas de proporção sem possuir modelo algum daquilo que a proporcionalidade é. Pior ainda, a grelha oculta a estrutura multiplicativa sobre a qual assenta o resto da matemática: o facto de um aumento de 20% corresponder a uma multiplicação por 1,2, de aumentos sucessivos se comporem, de se tratar de uma exponencial disfarçada. Um aluno que pensa em multiplicadores está preparado para os juros compostos, o decaimento radioativo e as equações diferenciais. Um aluno que pensa em grelhas 2×2 está apenas preparado para mais grelhas 2×2.
E o método falha. Funciona apenas quando uma grandeza é um múltiplo fixo de outra. A proporcionalidade inversa exige uma disposição diferente, e os textos clássicos forneceram-na: Brahmagupta apresenta a vyasta-trairāśika, a regra de três inversa, imediatamente a seguir à regra direta. Portanto, a crítica honesta não reside no facto de o método falhar aí, mas sim em nada na grelha indicar ao estudante em qual das duas regras se encontra. As relações de potências são o verdadeiro limite: não existe disposição de quatro números num quadrado que permita obter a lei de Kepler T² ∝ a³.
Ainda assim, as razões a favor
Considere o que falha, e de que forma, quando alguém se lembra de cada método apenas a meias.
O modo de falha de uma fórmula é a memória imperfeita — e uma fórmula recordada incorretamente falha em silêncio. Devolve um número confiante, plausível e errado, sem que nada na resposta sugira qualquer desvio. O modo de falha de uma imagem mental reside em não a ter, o que falha com estrondo e nos remete de volta aos primeiros princípios.
Quase todos os erros com percentagens que as pessoas cometem na prática são erros de base: não saber de que quantidade a percentagem é, afinal, uma percentagem de partida. Pergunte a alguém quanto custava um casaco antes de um desconto de 20% o ter fixado em 60, e muitos retirarão 20% a 60, respondendo 48. A representação pelo multiplicador não protege contra isto, porque em novo = antigo × (1 + r) a base é implícita: esconde-se no interior daquilo a que antigo se refere, que é com precisão o elemento que está a ser mal interpretado.
Na grelha, o 100 é uma célula. Está presente na página. A dúvida «percentagem de quê» transforma-se em algo para o qual se pode olhar, em vez de algo que é obrigatório memorizar, e o resultado obtido é 75.
O que torna uma representação digna de ser ensinada
Quatro perguntas parecem distinguir as representações duradouras daquelas que se perdem.
Condensa vários procedimentos num só? Encontrar a parte, encontrar o todo, encontrar a percentagem, encontrar o novo valor após uma variação: quatro procedimentos de manual, quatro processos para não confundir. Na grelha reduzem-se a um único ato: rodear o número pretendido. A carga cognitiva acompanha mais o número de procedimentos distintos do que a dificuldade intrínseca de qualquer um deles.
Coloca a quantidade invisível no ecrã? Veja-se o caso acima: a base.
A posição é portadora de significado? Na grelha, a diagonal divide e os outros dois valores multiplicam-se, permanecendo essa regra idêntica qualquer que seja o canto que se rodeie. A codificação espacial combinada com a verbal perdura muito melhor do que a puramente verbal.
O passo que as pessoas omitem é tornado visível? Um aumento de 20% não é "20" na grelha; é 120 contra 100. Esse passo intermédio — transformar uma variação numa razão — é precisamente aquele que as pessoas omitem, pelo que uma boa representação mostra-o em vez de apresentar um 120 já pronto.
A Cross-Multiplication Grid foi concebida com base nesses quatro critérios e inclui doze casos resolvidos, para que a sua versatilidade seja visível e não apenas afirmada.
Por que razão a grelha é legítima
Nada disto teria relevância se o método fosse apenas um truque que por acaso funcionasse. Na sua essência, reside uma proposição sobre triângulos semelhantes.
Espete uma vara de um metro no chão e meça a sua sombra. Meça a sombra de uma árvore ao lado. O Sol está suficientemente distante para que os seus raios cheguem praticamente paralelos; deste modo, a vara e a sua sombra formam um triângulo com exatamente os mesmos ângulos que a árvore e a sua respetiva sombra. Ângulos geometricamente iguais implicam lados proporcionais — Euclides, Elementos VI.4 — e uma altura que ninguém consegue alcançar converte-se em três comprimentos que qualquer pessoa pode medir a passo.
Esse é todo o método por detrás da medição de uma pirâmide através da sua sombra, e corresponde ao mesmo quadrado preenchido na grelha. A proporção não é uma mera convenção sobre o local onde se escrevem os números. É um teorema sobre a geometria.
Ensinar um método por razões cognitivas não autoriza a que seja ensinado como se fosse universal, e trocar confusão por falsa confiança não é um ganho. No entanto, uma representação que se pode reconstruir no verso de um recibo supera qualquer fórmula que se tenha de recordar de memória, e é por essa razão que quem a aprendeu desta forma continua a utilizá-la décadas mais tarde.