Kaksikpendli uurija

uuri deterministlikku kaost ja liblikaefekti seotud liikumises

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks kaksikpendlid muutuvad ennustamatuks 🖖

See on deterministlik kaos, mitte juhuslikkus. Käivita kaks simulatsiooni ainult 0,1° erinevusega: mõne aja pärast ei näi need enam üldse seotud, sest eraldumine kasvab ligikaudu eksponentsiaalselt (positiivne Ljapunovi eksponent). Energia liigub mittelineaarse seotuse tõttu pidevalt kahe õla vahel, nii et tillukesed faasierinevused võimenduvad täiesti erinevateks tulevasteks olekuteks. Võrrandid on täpsed; kokku variseb ennustatavuse horisont.
See pendel ei liigu ainult vasakule-paremale — ta muudab pidevalt meelt, kumb õlg tantsu juhib.

ainult kaks varrast ja raskusjõud 🖖

Ei mingit mootorit, juhuslikkuse generaatorit ega trikki — ainult kaks hooba, kaks liigendit ja raskusjõud. Metsik liikumine tuleneb täielikult teisest liigendist, mille kaudu üks hoob lükkab teist. Proovi alustada väikese tõukega tasakaalu lähedalt: siis kõigub see peaaegu nagu tavaline pendel. Kaos võtab võimust alles siis, kui annad piisavalt energiat, et hoovad üle kõrgeima punkti pöörleksid.
Keerukus pole siia sisse ehitatud; see kasvab välja millestki peaaegu piinlikult lihtsast.

tipp võib langeda kiiremini kui gravitatsioon 🖖

Vabasta pendel paigalseisust, hoides hoobasid horisontaalselt, ja jälgi välimist massi: hetkeks võib see kiireneda allapoole kiiremini kui vabalt langev pall — ehk rohkem kui g. Jäigad hoovad toimivad kangi ja piitsana, nii et sisemine hoob paiskab välimise alla tugevamalt, kui gravitatsioon üksi suudaks. Sama efekt laseb liigendiga kepil jõuda põrandale enne langevat münti.
Gravitatsioon alustab langemist, aga geomeetria otsustab, kes esimesena maandub.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kahe puhta võnke periood paigalseisust vabastamisel 7 sammu
Vabastatud paigalseisust nurkade θ₁ = 20° ja θ₂ = 10° juures, kui m₁ = m₂ = 1, l₁ = l₂ = 1 ja g = 9,81 ning sumbuvus c = 0. Nii väikesed nurgad ei ole kaootilised — liikumine on kahe puhta võnkumise summa. Leidke kummagi periood ja otsustage seejärel, kumbat neist paneelil olevad tsüklitähised loendavad.
1. Lihtsustage ülaltoodud liikumisvõrrandeid. Väikesed nurgad tähendavad, et sin θ muutub liikmeks θ ja cos 2Δ muutub arvuks 1 ning kiiruse ruuduliikmed on väikese amplituudi suhtes teist järku, mistõttu need kaovad. Mõlemad nimetajad taanduvad kujule 2m₁ + m₂ − m₂ = 2 ning järelejäänu on lineaarne ja ikka veel sidus: kumbki pendlikeha ei liigu teist tõukamata.
  
  $\ddot{θ}_{1} = - 2 k θ_{1} + k θ_{2}, \ddot{θ}_{2} = 2 k θ_{1} - 2 k θ_{2}, k = \frac{g}{ℓ}$
2. Seadke enne lahendama asumist võrdlusalus. Ühekordne 1 m pendel võngub sagedusel ω₀ = √(g/l), andes tulemuseks 2,01 s, mida paneel kuvab oma perioodivihjena ja märgib igale tsüklitähisele. Pidage seda meeles, sest miski allpool ei ole sellega võrdne.
  
  $k = \frac{9.81}{1} = 9.81 s^{- 2}, ω_{0} = k = 3.132 rad/s, T_{0} = \frac{2 π}{ω _{0}} = 2.01 s$
3. Normaalvõnkumine on liikumine, mille puhul mõlemad nurgad võnguvad ühel ühisel sagedusel ja säilitavat püsiva suhte. Asendades θᵢ = aᵢ cos ωt, annab kumbki kahest võrrandist teile selle suhte a₂/a₁, jõudes selleni vastassuundadest.
  
  $θ_{i} = a_{i} cos ω t ⟹ (2 k - ω^{2}) a_{1} = k a_{2}, (2 k - ω^{2}) a_{2} = 2 k a_{1}$
4. Ühe suhte kaks avaldist peavad kokku langema ning nende võrdsustamine taandab mõlemad amplituudid. Järele jääb ruutvõrrand ω² suhtes ning ruutvõrrandil on 2 lahendit. Sealt tulebki teine periood.
  
  $(2 k - ω^{2})^{2} = 2 k^{2} ⟹ ω^{2} = (2 \mp 2) k = 5.747, 33.49 s^{- 2}$
5. Seega on sellel pendlil 2 perioodi, 2,62 s ja 1,09 s, ning tsüklitähistel olev 2,01 s ei ole kumbki neist. See jääb nende vahele ega kuulu kummalegi.
  
  $ω_{-} = 2.397, ω_{+} = 5.787 rad/s ⟹ T_{-} = 2.62 s, T_{+} = 1.09 s$
6. Kumbki lahend toob kaasa oma võnkekuju. Aeglane lahend annab a₂/a₁ = +1,414: mõlemad pendlikehad võnguvad samas suunas, alumine 1,414 korda suurema amplituudiga. Kiire lahend annab −1,414: need võnguvad vastasfaasis ja nendevaheline liiges teeb kääriliigutuse.
  
  $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{2 k - ω ^{2}}{k} = \pm 2 = \pm 1.414$
7. Algolek nurkadega 20° ja 10° ei vasta kummalegi võnkekujule, seega toimuvad mõlemad võnkumised korraga. Jaotades selle aeglaseks amplituudiks A ja kiireks amplituudiks B — ülemine pendlikeha nõuab A + B = 20°, alumine nõuab √2(A − B) = 10° —, moodustab aeglane mood algolekust 13,54° ja kiire mood 6,46°.
  
  $A + B = 2 0^{\circ}, 2 (A - B) = 1 0^{\circ} ⟹ A = 13.5 4^{\circ}, B = 6.4 6^{\circ}$
Vastus

2,62 s ja 1,09 s ning nende suhe on täpselt 1 + √2. Irratsionaalne suhe tähendab, et need 2 moodi ei jõua kunagi uuesti ühte sammu, mistõttu alumise pendlikeha joonistatud kujund ei kordu kunagi täielikult — ja see on alles taltsas väikeste nurkade juhtum, milles pole kuskil kaost. Samuti selgitab see, mis on need 2,01 s tsüklitähised: ühekordse pendli joonlaud, mis on asetatud 2 sagedusega liikumise vastu, mistõttu iga tähise juures registreeritud nurgad triivivad edasi, selle asemel et naasta väärtustele 20,0° ja 10,0°. Suurendage vabastusnurka väärtuseni 145° ja isegi need 2 sagedust kaovad, sest sin 145° = 0,5736, samal ajal kui nurk ise on 2,531 rad — see eksib teguri 4,4 võrra ning lineariseerimisel, millel kogu see tuletus põhineb, pole enam midagi öelda.

$\frac{T _{-}}{T _{+}} = \frac{2 + 2}{2 - 2} = 1 + 2 = 2.4142 \dots$

Allikad (1)

Insight block 3 — a rigid arm whose tip beats a free fall: W. F. D. Theron, "The ''faster than gravity'' demonstration revisited." American Journal of Physics 56(8), 736–739, 1988.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-28

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

väikesed nurgad - Väikeste nurkade režiim on korrapärasem ja vähem tundlik.
kaootiline tõuge - Suur algnihe põhjustab kiire hälbimise faasis.
raske teine kuul - Pikem teine õlg koos kerge summutusega toob esile energia hääbumise.

YouTube

Up and Atom·The REAL Three Body Problem in Physics