Aufgabe vollständig gelöst
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Die Dauer zweier sauberer Schwingungen ab dem Loslassen aus der Ruhe 7 Schritte
Aus der Ruhe losgelassen bei θ₁ = 20° und θ₂ = 10°, mit m₁ = m₂ = 1, l₁ = l₂ = 1 und g = 9,81 sowie Dämpfung c = 0. So kleine Winkel sind nicht chaotisch — die Bewegung ist eine Summe zweier sauberer Schwingungen. Bestimmen Sie die Periodendauer jeder Schwingung und entscheiden Sie dann, welche davon die Zyklusmarkierungen auf dem Bedienfeld zählen.
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Vereinfachen wir die obigen Bewegungsgleichungen auf ein überschaubares Maß. Kleine Winkel bedeuten, dass sin θ zu θ wird und cos 2Δ zu 1; die Terme mit quadratischer Geschwindigkeit sind bezüglich einer kleinen Amplitude von zweiter Ordnung und entfallen daher. Beide Nenner vereinfachen sich zu 2m₁ + m₂ − m₂ = 2, und was übrig bleibt, ist linear und nach wie vor gekoppelt: Keiner der Pendelkörper bewegt sich, ohne den anderen mitzubewegen.
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Legen wir einen Vergleichsmaßstab fest, bevor wir irgendetwas lösen. Ein einfaches Pendel von 1 m Länge schwingt mit ω₀ = √(g/l), was genau die 2,01 s ergibt, die das Bedienfeld als Hinweis zur Periodendauer angibt und bei jeder Zyklusmarkierung aufprägt. Behalten Sie diesen Wert im Kopf, denn nichts von dem, was folgt, wird ihm gleichen.
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Eine Eigenmode ist eine Bewegung, bei der beide Winkel mit einer gemeinsamen Frequenz schwingen und ein festes Verhältnis beibehalten. Setzt man θᵢ = aᵢ cos ωt ein, liefert jede der beiden Gleichungen dieses Verhältnis a₂/a₁, jeweils von entgegengesetzten Enden her abgeleitet.
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Die zwei Ausdrücke für dasselbe Verhältnis müssen übereinstimmen; durch Gleichsetzen fallen beide Amplituden weg. Was übrig bleibt, ist eine quadratische Gleichung in ω², und eine quadratische Gleichung hat 2 Lösungen. Daraus ergibt sich die zweite Periodendauer.
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Dieses Pendel hat also 2 Periodendauern, 2,62 s und 1,09 s, und die 2,01 s auf den Zyklusmarkierungen sind weder die eine noch die andere. Der Wert liegt zwischen ihnen und gehört zu keiner der beiden.
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Jede Lösung führt zu einer eigenen Schwingungsform. Die langsame Lösung ergibt a₂/a₁ = +1,414: Beide Pendelkörper schwingen in dieselbe Richtung, der untere 1,414-mal so weit. Die schnelle Lösung ergibt −1,414: Sie schwingen gegensinnig, und das Gelenk zwischen ihnen schert.
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Anfangsauslenkungen von 20° und 10° entsprechen keiner der beiden Schwingungsformen, sodass beide Moden gleichzeitig aktiv sind. Teilt man dies in eine langsame Amplitude A und eine schnelle Amplitude B auf — der obere Pendelkörper benötigt A + B = 20°, der untere √2(A − B) = 10° —, so entfallen 13,54° der Anfangsauslenkung auf die langsame Mode und 6,46° auf die schnelle.
Antwort
2,62 s und 1,09 s, und ihr Verhältnis ist exakt 1 + √2. Ein irrationales Verhältnis bedeutet, dass die 2 Moden nie wieder in Phase kommen, sodass die Figur, die der untere Pendelkörper zeichnet, sich nie ganz wiederholt — und das ist bereits der zahme Fall kleiner Winkel, völlig ohne Chaos. Damit ist auch geklärt, was die 2,01 s auf den Zyklusmarkierungen bedeuten: Ein Maßstab für ein einfaches Pendel, angewendet auf eine Bewegung mit 2 Frequenzen. Deshalb driften die bei jeder Markierung protokollierten Winkel weiter ab, anstatt zu 20,0° und 10,0° zurückzukehren. Erhöht man die Auslenkung beim Loslassen auf 145°, verschwinden selbst die 2 Frequenzen, da sin 145° = 0,5736 ist, während der Winkel selbst 2,531 rad beträgt — ein Fehler um den Faktor 4,4, sodass die Linearisierung, auf der diese gesamte Herleitung beruht, keinerlei Aussagekraft mehr besitzt.
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Quellen (1)
- Insight block 3 — a rigid arm whose tip beats a free fall: W. F. D. Theron, "The ''faster than gravity'' demonstration revisited." American Journal of Physics 56(8), 736–739, 1988.